Funktsiooni muut

Olgu antud mingi pidev funktsioon y = f (x), mille argumendi üks väärtus (algväärtus) on x₁ ja teine väärtus (lõppväärtus) on x₂. Väärtuste vahet x₂ – x₁ nimetatakse argumendi muuduks ja tähistatakse sümboliga Δx (loe: delta x). Seega

Δx = x₂ – x₁.

Siit x₂ = x₁ + Δx. Muut Δx võib olla nii positiivne kui ka negatiivne (joonis 4.4).

Joon. 4.4

Et argumendi igale väärtusele vastab funktsiooni väärtus, siis ka argumendi muudule vastab funktsiooni muut (joonis 4.5), mida tähistatakse sümboliga Δy. Seega

Δy = y₂ – y₁ = f (x₂) – f (x₁).

Joon. 4.5

Joon. 4.6

Ka Δy võib olla nii positiivne (joonis 4.5) kui ka negatiivne (joonis 4.6), aga ka null.

Näide 1.

Leiame argumendi muudu ja funktsiooni muudu, kui y=3x^2-1 ning x_1=3 ja x_2=5. Argumendi muut \Delta x=5-3=2. Sellele vastav funktsiooni muut\Delta y=y_2-y_1 = \left(3\cdot5^2-1\right)-\left(3\cdot3^2-1\right) = \left(75-1\right)-\left(27-1\right) = 48.

Joon. 4.7

Tuletame üldvalemi funktsiooni muudu leidmiseks argumendi väärtuse ja argumendi muudu järgi. Olgu argumendi algväärtus x ja muut Δx. Argumendi lõppväärtus on siis x + Δx (joonis 4.7). Argumendi alg- ja lõppväärtusele vastavad funktsiooni väärtused on f (x) ja f (x + Δx). Seega on funktsiooni muut

Δy = f (x + Δx) – f (x).

Näide 2. Leiame funktsiooni y = 2x² + 3x – 4 muudu üldavaldise. Et f\left(x+\Delta x\right)=2\left(x+\Delta x\right)^2+3\left(x+\Delta x\right)-4 ja f\left(x\right)=2x^2+3x-4, siis antud funktsiooni korral\Delta y = \left[2\left(x+\Delta x\right)^2+3\left(x+\Delta x\right)-4\right]-\left(2x^2+3x-4\right) = 2x^2+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2+3x+3\Delta x-4-2x^2-3x+4 = 4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.Avaldis/valem funktsiooni muudu arvutamiseks on \Delta y=4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.

Näide 3. Arvutame sama funktsiooni y = 2x² + 3x – 4 muudu 1) kohal x = 0, kui Δx = 2 ja 2) kohal x = 2,2, kui Δx = 0,9. Kasutame eelmises näites saadud valemit Δy = 4xΔx + 3Δx + 2(Δx)²:

Δy = 4 ⋅ 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2² = 14;
Δy = 4 ⋅ 2,2 ⋅ 0,9 + 3 ⋅ 0,9 + 2 ⋅ 0,9² = 12,24.

Suhe \frac{\Delta y}{\Delta x} näitab, kui palju muutub funktsiooni väärtus keskmiselt argumendi ühe ühiku kohta lõigul [x; x + Δx]. Seega võib suurust \frac{\Delta y}{\Delta x} nimetada ka funktsiooni muutumise keskmiseks kiiruseks Δx ulatuses alates argumendi väärtusest x.

Näide 4. Näite 3 andmetel on juhul 1) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{14}{2}=7 ja juhul 2) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12,24}{0,9}=13,6. Lõigul [0; 2] on seega funktsiooni y = 2x² + 3x – 4 muutumise keskmine kiirus väiksem kui lõigul [2,2; 3,1]. Seega tõuseb funktsiooni y = 2x² + 3x – 4 graafik lõigul [2,2; 3,1] oluliselt järsemalt kui lõigul [0; 2].

Näide 5. Keha vabal langemisel on läbitud tee pikkus s=\frac{gt^2}{2}, kus g = 9,8 m/s² ja t on aeg sekundites. Leiame funktsiooni s=\frac{gt^2}{2} muudu valemi: \Delta s = \frac{g\left(t+\Delta t\right)^2}{2}-\frac{gt^2}{2} = \frac{g}{2}\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right].See valem võimaldab arvutada ajavahemiku Δt jooksul läbitud tee pikkuse Δs. Lisaks saame leida ka keskmise kiiruse v_k=\frac{\Delta s}{\Delta t} ajavahemiku Δt jooksul:v_k=\frac{g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right]}{2\Delta t} = \frac{g}{2}\left[2t+\Delta t\right].Leiame näiteks, kui palju langeb keha ja millise keskmise kiirusega 1) Δt = 2 sekundi jooksul, alates hetkest t = 0; 2) Δt = 3 sekundi jooksul, alates hetkest t = 10. Et

t = 0 ja Δt = 2, siis Δs = 2g =19,6 m ning v_k = 0,5g(2 ⋅ 0 + 2) = 9,8 m/s;
t = 10 ja Δt = 3, siis \Delta s=\frac{69g}{2}=338,1\ \mathrm{m} ning v_k = 0,5g(2 ⋅ 10 + 3) = 112,7 m/s.

Olgu funktsioon y = f (x) pidev kohal a (joon. 4.8). Siis

\lim_{x \to a} f (x) = f (a)

ehk f (x) → f (a), kui x\to a. Siit järeldub: kui x – a → 0, siis ka f (x) – f (a) → 0 ehk, kui Δx → 0, siis ka Δy → 0. Seega oleme tõestanud väite: kui funktsioon on pidev kohal a, siis argumendi muudu lähenemisel nullile kohal a läheneb ka funktsiooni muut nullile.Kehtib ka vastupidine väide: kui kohal a läheneb argumendi muut nullile ja sellest järeldub funktsiooni muudu lähenemine nullile, siis funktsioon on kohal a pidev.

Joon. 4.8

Joon. 4.9

Kokkuvõetult:

funktsioon y = f (x) on pidev kohal a siis ja ainult siis, kui argumendi muudu Δx lähenemisel nullile läheneb ka vastav funktsiooni muut Δy = f (a + Δx) – f (a) nullile, s.t

lim_{Δ x \to 0} Δ y = 0

Kui funktsioon on katkev kohal a, siis puudub tal sellel kohal väärtus ning Δy leidmine ei ole seega võimalik. Kui aga funktsioonil on kohal a väärtus, kuid funktsioon teeb siin hüppe (joonis 4.9), siis ei saa Δy läheneda tõkestamatult nullile, kui Δx → 0, sest Δy > h ja nagu näha, on funktsiooni graafik jälle katkev.

Näide 6.

* Uurime funktsiooni (vt näide 2) y = 2x² + 3x – 4 pidevust.

Funktsiooni muut \Delta y=4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.Et $\lim_{Δ x \to 0} Δ y = \lim_{Δ x \to 0} [4 x Δ x + 3 Δ x + 2 {(Δ x)}^{2}] = 0$ argumendi x iga väärtuse korral, siis vaadeldav funktsioon on pidev kogu määramispiirkonnas R. *

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Ülesanne 819. Funktsiooni väärtus

f\left(2\right), f\left(-1\right), f\left(4,5\right), kui y=3x-2x^2+4.

f\left(2\right) = =

f\left(-1\right) = =

f\left(4,5\right) = =

f\left(0,5\right), f\left(a\right), f\left(a-2\right), kui y=4^x.

f\left(0,5\right) = =

f\left(a\right) = =

f\left(a-2\right) = =

f\left(0\right), f\left(a+1\right), f\left(x-3\right), kui y=x^2-2x.

f\left(0\right) = =

f\left(a+1\right) = =

f\left(x-3\right) = =

f\left(2x\right), f\left(-x\right), kui y=\frac{x}{2-x}.

f\left(2x\right) = =

f\left(-x\right) = =

Ülesanne 820. Funktsiooni muut

y=x^2-3, x_1=2, x_2=3.

\Delta y = =

y=2x^2-4x, x_1=-2, x_2=0.

\Delta y = =

y=\frac{1}{x}, x_1=2, x_2=2,5.

\Delta y = =

y=\sin x, x_1=\frac{\pi}{6}, x_2=\frac{\pi}{4}.

\Delta y = =

Ülesanne 821. Funktsiooni muudu üldavaldis

y=x^2
\Delta y =

y=\frac{3}{x}
\Delta y =

y=4x-8
\Delta y =

y=\cos x
\Delta y =

y=e^x
\Delta y =

y=\ln x
\Delta y =

Ülesanne 822. Funktsiooni muut

y=x^2 ja

x=1, \Delta x=0,5
\Delta y = =
x=-1, \Delta x=2
\Delta y = =

y=\frac{3}{x} ja

x=-5, \Delta x=2

\Delta y = =

y=4x-8 ja

x=-2, \Delta x=3
\Delta y = =
x=2,5, \Delta x=-1
\Delta y = =

y=\cos x ja

x=\frac{\pi}{3}, \Delta x=\frac{\pi}{6}

\Delta y = =

y=e^x ja

x=0, \Delta x=0,25
\Delta y = =
x=4, \Delta x=3
\Delta y = =

y=\ln x ja

x=0,8, \Delta x=-0,2

\Delta y = =

Ülesanne 823. Lineaarfunktsioon

Ülesanne 824. Liikuva keha poolt läbitud tee pikkus

Leidke selle keha keskmine kiirus

4 sekundi jooksul alates ajahetkest t = 0;
Vastus. v_k = m/s
1 sekundi jooksul alates ajahetkest t = 4;
Vastus. v_k = m/s
2 sekundi jooksul alates ajahetkest t = 5.
Vastus. v_k = m/s

Ülesanne 825. Funktsiooni muutumise keskmine kiirus

y=x^2
v_k =

y=\frac{3}{x}
v_k =

y=4x-8
v_k =

y=\cos x
v_k =

y=e^x
v_k =

y=\ln x
v_k =

Lisää aiheesta

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Funktsiooni muut

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Ülesanne 819. Funktsiooni väärtus

Ülesanne 820. Funktsiooni muut

Ülesanne 821. Funktsiooni muudu üld­avaldis

Ülesanne 822. Funktsiooni muut

Ülesanne 823. Lineaar­funktsioon

Ülesanne 824. Liikuva keha poolt läbitud tee pikkus

Ülesanne 825. Funktsiooni muutumise keskmine kiirus

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä

Ülesanne 821. Funktsiooni muudu üldavaldis

Ülesanne 823. Lineaarfunktsioon