Зависимые и независимые события

Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”

В урне 12 белых и 3 синих шара. Из урны поочередно извлекаются наудачу два шара. Пусть событие В означает, что в первый раз вынут белый шар, а событие А – что во второй раз вынут белый шар. Предположим также, что вынутый первый раз шар возвращают в урну и только после этого вынимают второй шар. В этом случае P\left(B\right)=\frac{12}{15}=0,8 и P\left(A\right)=\frac{12}{15}=0,8. Вероятность события А не зависит от того, произошло или нет перед этим событие В. В таком случае говорят, что события А и В независимы.

Изменим теперь условия описанного выше испытания, предположив, что вынутый в первый раз шар не возвращают в урну. Если на первом шаге испытания произошло событие В, то в урне останется 11 белых шаров, а всего в урне будет 14 шаров. Поэтому в этом случае вероятность события А будет равна \frac{11}{14}. Если же на первом шаге событие В не происходит (то есть происходит событие \overline{B}), то вероятностью события А будет \frac{12}{14}. Как мы видим, вероятности оказываются различными.

Поскольку вероятность события А зависит от того, произошло или нет событие В, то говорят, что событие А зависит от события В.

Выясним, как вычисляется вероятность произведения событий А и В в случае, когда эти события независимы. Пусть для события А имеется k благоприятствующих возможностей и общее число возможностей равно n, а для события B есть m благоприятствующих возможностей при общем числе r всех возможностей. Так как событие АВ означает, что произошло как событие А, так и событие В, то по известному нам из комбинаторики правилу умножения для события АВ имеется k · m благоприятствующих возможностей, а всего возможностей будет n · r. Получим

P\left(AB\right)=\frac{k\cdot m}{n\cdot r}=\frac{k}{n}\cdot\frac{m}{r}=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right).

Таким образом, в случае независимых событий