Нахождение экстремумов с помощью второй производной

Курс „Последовательности. Производная функции”

Пусть функция y=f\left(x\right) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке экстремум, т. е. f'\left(x_0\right)=0. Выясним теперь, как с помощью производной установить вид этого экстремума, т. е. является x0 точкой максимума или точкой минимума. С одним из таких способов мы уже знакомы:

если слева от точки экстремума х0 производная положительна, а справа отрицательна, то в точке х0 функция имеет максимум; если же слева от точки х0 производная отрицательна, а справа положительна, то в точке х0 функция имеет минимум.

Нахождение экстремумов можно упростить с помощью второй производной.

Производная функции y=f\left(x\right) сама является функцией g\left(x\right)=f′\left(x\right), где х принимает все значения, при которых функция y=f\left(x\right) дифференцируема. Эта новая функция может иметь производную g'\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^', которая называется второй производной[понятие: Вторая производная функции (funktsiooni teine tuletis) – производная, взятая от производной 𝑓´(𝑥) данной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Обозначение: 𝑓´´(𝑥) = [𝑓´(𝑥)]´.] функции y=f\left(x\right) и обозначается y'' или f''\left(x\right). 

f′′\left(x\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^', или y′′=\left(y′\right)′.

Поясним на примерах, как с помощью второй производной можно найти экстремумы функции и определить их вид.

  1. Найдите точки экстремума функции y = f(x), а также интервалы монотонности функции g(x) = f ′(x).
    Ответ: для функции f (x) получим, что xmax =  и xmin = . Для функции g (x) получим, что X\uparrow =  и X\downarrow = .
  2. Найдите на чертеже, какому из полученных интервалов монотонности функции g(x) = f ′(x) принадлежит точка максимума и какому – точка минимума функции y = f(x).
    Ответ: точка максимума функции f (x) принадлежит интервалу функции g(x), а точка минимума – интервалу  функции g(x).

Проведите такое же исследование для функции f (x) = –x3 + 2x2 + x – 2 (рис. 3.32).

Рис. 3.31
Рис. 3.32

При решении задания 607 мы обнаружили, что точка максимума функции y = f(x) принадлежит интервалу убывания функции g(x) = f ′(x), а точка минимума – интервалу возрастания производной. Можно показать, что это – не случайность. В точке максимума функции y = f(x) выполнено неравенство g'\left(x\right)\le0, а в точке минимума – неравенство g'\left(x\right)\ge0.

В терминах второй производной сказанное можно сформулировать так:

если в точке x0 функция y = f (x) дважды дифференцируема и имеет максимум (минимум), то f ''(x0) ≤ 0 (соответственно f ''(x0) ≥ 0).

Выясним, справедливы ли для приведенных выше утверждений и обратные утверждения, т. е. всегда ли из условия f''\left(x_0\right)\ge0 \left(f''\left(x_0\right)\le0\right) вытекает, что функция f\left(x\right) имеет в точке x0 минимум (максимум). Оказывается, что обратные утверждения справедливы лишь в случае строгих неравенств. Это значит, что бывают случаи, когда f ′′(x0) = 0, но функция не имеет в этой точке экстремума. Начертите, например, график функции y=x^3 и исследуйте первую и вторую производные этой функции в точке x=0. Имеет ли функция экстремум в этой точке?

Справедливы следующие утверждения:

если f '(x0) = 0 и f ''(x0) < 0, то в точке x0 функция y = f (x) имеет максимум;

если f '(x0) = 0 и f ''(x0) > 0, то в точке x0 функция y = f (x) имеет минимум.

Пример 1.

Найдем экстремумы функции y=x-\ln x и определим их вид.

Функция определена на интервале (0; ∞) и имеет всюду на этом интервале производную y'=1-\frac{1}{x}. Значит, экстремум может быть только в таких точках, в которых y' = 0. Из уравнения 1-\frac{1}{x}=0 получим, что x=1.

Рассматриваемая функции может иметь экстремум только в точке x=1. Найдем вторую производную: y''=\frac{1}{x^2} и y''\left(1\right)=1. Так как y''\left(1\right)>0, то в точке x=1 функция имеет минимум.

Найдем минимум функции y=x-\ln x, т. е. ее значение в точке минимума:

y\left(1\right)=1-\ln1=1.

Ответ: в точке x=1 функция y=x-\ln x имеет минимум y=1.

Пример 2.

Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции y=x^3+3x^2-9x+1, а также сделаем эскиз ее графика.

Имеем: y'=3x^2+6x-9, поэтому функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем нули производной:

3x^2+6x-9=0 ⇒ x_1=-3, x_2=1.

Найдем вторую производную:

y''=6x+6.

Так как y''\left(-3\right)=-12<0 и y''\left(1\right)=12>0, то в точке x_1=-3 функция имеет максимум, а в точке x_2=1 – минимум.

Вычислим экстремумы функции, т. е. ее значения в точках экстремума:

y\left(-3\right)=-27+27+27+1=28 и y\left(1\right)=1+3-9+1=-4.

Точки экстремума графика функции есть (–3; 28) и (1; –4).

Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство 3x^2+6x-9>0 и получим, что X_1\uparrow=\left(-∞;\ -3\right) и X_2\uparrow=\left(1;\ ∞\right).

Интервал убывания найдем, решив неравенство 3x^2+6x-9<0. Получим, что X\downarrow=\left(-3;\ 1\right).

Чтобы начертить эскиз графика, отметим на координатной плоскости точки графика, соответствующие экстремумам, и интервалы монотонности (рис. 3.33, а).

Рис. 3.33

График функции должен в интервале (–3; 1) пересекать ось абсцисс. Выясним, есть ли другие точки пересечения – такие точки могут быть только в интервалах (–∞; –3) и (1; ∞). Рассмотрим ход изменения функции при x→\pm∞и при x\ →\ ∞:

lim x→−∞ ( x 3 +3 x 2 −9x+1)= lim x→−∞ x 3 1+ 3 x − 9 x 2 + 1 x 3 =−∞ MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqee0evGueE0jxyaibaieYdf9irVeeu0dXd bba9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0= yqaqFfpae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaa beqaaeaabaWaaaGcbaWaaCbeaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaai aadIhacqGHsgIRcqGHsislcqGHEisPaeqaaOGaaiikaiaadIhadaah aaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHRaWkcaaIZaGaamiEamaaCaaaleqaba GaaGOmaaaakiabgkHiTiaaiMdacaWG4bGaey4kaSIaaGymaiaacMca cqGH9aqpdaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgk ziUkabgkHiTiabg6HiLcqabaGccaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaa aOWaaeWaaeaacaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIZaaabaGaamiEaa aacqGHsisldaWcaaqaaiaaiMdaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaI YaaaaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaadIhadaahaaWcbe qaaiaaiodaaaaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaeyOeI0IaeyOh Iukaaa@5E85@ ,

lim x→∞ ( x 3 +3 x 2 −9x+1)= lim x→∞ x 3 1+ 3 x − 9 x 2 + 1 x 3 =∞. MathType@MTEF@5@5@+= feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbnLMBP9 MBGaLCVbqedmvETj2BSbqee0evGueE0jxyaibaieYdf9irVeeu0dXd bba9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0= yqaqFfpae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaa beqaaeaabaWaaaGcbaWaaCbeaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaai aadIhacqGHsgIRcqGHEisPaeqaaOGaaiikaiaadIhadaahaaWcbeqa aiaaiodaaaGccqGHRaWkcaaIZaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaa aakiabgkHiTiaaiMdacaWG4bGaey4kaSIaaGymaiaacMcacqGH9aqp daWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkabg6 HiLcqabaGccaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOWaaeWaaeaacaaI XaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIZaaabaGaamiEaaaacqGHsisldaWcaa qaaiaaiMdaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabgUca RmaalaaabaGaaGymaaqaaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaaaa GccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaeyOhIuQaaiOlaaaa@5C70@

Здесь мы вынесли за скобки наибольшую степень переменной х и ясно, что дроби в скобках при х → ∞ стремятся к нулю, а все выражение у → ±∞. Поэтому функция имеет по одному нулю в интервалах \left(−∞;\ -3\right) и \left(1;\ ∞\right). Эскиз графика функции изображен на рисунке 3.33, б.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Упражнения

y=3x+2
y'' = 

y=-x+5
y'' = 

y=2x^3-4x^2+7
y'' = 

y=-5x^3+2x-3
y'' = 

y=\frac{2}{x^2}+x
y'' = 

y=\frac{3}{x^3}-x^2
y'' = 

y=2\ln x+3e^x
y'' = 

y=e\cdot e^x-3\ln x
y'' = 

y=\left(x+1\right)e^x
y'' = 

y=x^2\ln x
y'' = 

y=\frac{\ln x}{x}
y'' = 

y=\frac{e^x}{x}
y'' = 

s\left(t\right)=t^2-3t+2 и t_0=3.

Ответ: скорость движения равна  , а ускорение равно .

s\left(t\right)=10t^2+3t-5 и t_0=5.

Ответ: скорость движения равна  , а ускорение равно .

s\left(t\right)=t^3+10t^2+5t-2 и t_0=2.

Ответ: скорость движения равна  , а ускорение равно .

s\left(t\right)=-2t^3+3t^2+125 и t_0=6

Ответ: скорость движения равна  , а ускорение равно .

y=x^2+x+1

Ответ: точка функции есть .

y=2x-2x^2

Ответ: точка функции есть .

y=x^3+3x^2+3x+1

Ответ: точка минимума функции  и точка максимума .

y=\left(1-x\right)^3

Ответ: точка минимума функции  и точка максимума .

y=x^2-2\ln x

Ответ: точка функции есть .

y=3\ln x-x^3

Ответ: точка функции есть .

y=x^3-3x^2-5

Ответ: точка максимума графика есть  , а точкой минимума является .

y=2x^3-6x^2-18x+7

Ответ: точка максимума графика есть  , а точкой минимума является .

y=x\left(1-x^2\right)

Ответ: точка максимума графика есть  , а точкой минимума является .

y=x^3-6x^2+9x-3

Ответ: точка минимума графика есть  , а точкой максимума является . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=x^3-12x+3

Ответ: точка минимума графика есть  , а точкой максимума является . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=x^4-4x+8

Ответ: точка минимума графика есть  , а точка максимума . X\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция  нулей.

y=-x^4+32x+4

Ответ: точка минимума графика  , а точка максимума есть . X\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=9-9x-6x^2-x^3

Ответ: точка минимума графика есть  , а точкой максимума является . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(ь).

y=1+12x+3x^2-2x^3

Ответ: точка минимума графика есть  , а точкой максимума является . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

  • Найдите точки экстремума графика и интервалы монотонности этой функции. Сделайте эскиз графика.
    Ответ: точка минимума графика есть  , а точкой максимума является . X\uparrow = , X\downarrow = .
  • Какую информацию о расходах дает этот график?
  1. В какой промежуток времени точка А удаляется от начала движения и в какой приближается к началу?
    Ответ: точка А удаляется от начала движения в промежутках  (в секундах) и  (в селундах), а приближается к началу в промежутке  (в секундах).
  2. В какой момент времени в интервале (0,5 ; 2,2) (в секундах) точка наиболее удалена от начала движения и в какой момент – наименее удалена от начала?
    Ответ: наибольшее удаление от начала движения достигается на  секунде, причем это удаление составляет  м, а скорость движения равна  \mathrm{\frac{м}{\mathrm{с}}}. Наименьшее расстояние достигается на  секунде, причем это расстояние равно  м, а скорость равна  \mathrm{\frac{м}{\mathrm{с}}}.
  3. В каком интервале времени скорость точки отрицательна? Что означает по существу отрицательность скорости в этом промежутке?
    Ответ: скорость точки отрицательна, если t ∈  (в секундах). Отрицательность скорости означает, что .
  1. На каком расстоянии от начала движения была точка А к концу 1-й секунды?
    Ответ: в этот момент точка была на расстоянии  см от начала движения.
  2. Начиная с какого момента рассматриваемая точка начнет снова приближаться к началу движения? Каковы в этот момент скорость движения точки и ее расстояние от начала движения?
    Ответ: рассматриваемая точка начнет снова приближаться к началу движения начиная с  секунды, причем ее скорость будет  \frac{\mathrm{см}}{\mathrm{с}} , а расстояние от начала движения будет  см.
  3. Каково наименьшее расстояние от точки А до начала движения в промежутке времени (2; 7) и в какой момент достигается это расстояние?
    Ответ: в этом промежутке времени наименьшее расстояние от точки А до начала движения составило  см и было достигнуто на секунде.
  4. В каких промежутках времени точка А удаляется от начала движения и в каких приближается к началу?
    Ответ: точка удаляется от начала движения, если t ∈  и t ∈  , а приближается к началу, если t ∈ .
  5. В какие моменты времени скорость точки равна 0\ \frac{\mathrm{см}}{\mathrm{с}}?
    Ответ: если t =  с и  t =  с.
  6. В каком промежутке времени скорость движения точки убывает и в каком возрастает?
    Ответ: скорость движения убывает, если t ∈  и возрастает, если t ∈ .
  7. В каком промежутке времени скорость движения точки отрицательна? Что означает по существу отрицательность скорости в этом промежутке?
    Ответ: скорость движения отрицательна, если t ∈ . Отрицательность скорости означает, что .
Lisää aiheesta
Muut toiminnot