Общая схема исследования функции и построение ее графика

Курс „Последовательности. Производная функции”

Рассмотрим общую схему исследования функции, основываясь на изученном в разделах 15.4–15.6.

Исследование функции y=f\left(x\right) проводят по следующей схеме.

1. Находим область определения X данной функции, исследуем функцию на четность или нечетность.

Напомним, что если функция задана формулой, то ее области определения не принадлежат, например:
– точки, в которых равны нулю знаменатели содержащихся в формуле дробей;
– точки области отрицательности подкоренных выражений корня с четным показателем;
– точки области отрицательности и нули логарифмируемых выражений.

2. Находим нули функции, т. е. множество X₀.

Для этого решаем уравнение f\left(x\right)=0.

3. Находим область положительности X⁺ и область отрицательности X^– функции.

Для этого решаем соответственно неравенства f\left(x\right)>0 и f\left(x\right)<0.

4. Находим точки экстремума и интервалы монотонности X↑, X↓ функции.

Для этого находим производную y'=f'\left(x\right). Точки, в которых может быть экстремум, находим, решая уравнение f′\left(x\right)=0. Если f′\left(x_0\right)=0, то точку х₀ можно сразу исследовать на экстремум с помощью второй производной: при f′'\left(x_0\right)<0 имеем точку максимума, при f′'\left(x_0\right)>0 точку минимума. Если же f′'\left(x_0\right)=0 или f′\left(x_0\right) не существует, то выясняем, меняет ли знак в этой точке первая производная у′.

Чтобы найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции, решаем соответственно неравенства f′\left(x\right)>0 и f'\left(x\right)<0. Найденные интервалы монотонности позволяют также исследовать те точки, где нельзя воспользоваться второй производной.

5. Опираясь на полученные результаты, строим график функции.

В первую очередь отмечают нули функции и ее значения в точках экстремума. Затем обычно находят координаты дополнительных точек графика (например, точку пересечения графика с осью Оу).

Пример.

Исследуем функцию у = х³ + 3х² и построим ее график.

Так как значение функции можно вычислить при любом значении аргумента х, то областью определения функции является множество X = R.
Найдем нули функции, т. е. решим уравнение x^3+3x^2=0. Вынесем x² за скобки и применим условие равенства нулю произведения. Получим, что x_1=0 и x_2=-3. Значит, множество нулей X_0=\left\{-3;\ 0\right\}.

Область положительности найдем из неравенства x^3+3x^2>0. Снова вынесем x² за скобки и получим, что x^2\left(x+3\right)>0. Множитель x² при любом значении х неотрицателен, поэтому решение x>−3 данного неравенства получим из неравенства x+3>0, т. е. X^+=\left(−3;\ ∞\right) (рис. 3.34). Аналогично из неравенства x^2\left(x+3\right)<0 найдем область отрицательности Х^- =(-∞; -3).

Рис. 3.34

Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение y'=0.
Производная функции у′ = 3х² + 6х.
Значит, нужно решить уравнение 3x^2+6x=0. Получим:
3x^2+6x=0 ⇔ 3x\left(x+2\right)=0, откуда получим две точки, в которых может быть экстремум. Эти точки можно исследовать, проверив, меняет ли в них знак производная. Но с помощью второй производной мы попробуем сразу определить, есть ли тут экстремумы и каков их вид.
Так как y''=6x+6 и y''\left(-2\right)=-6<0, y''\left(0\right)=6>0, то в точке x_1=-2 функция имеет максимум, а в точке x_2=0 – минимум.
Подставив найденные значения х в формулу функции, получим точки экстремума графика функции: точка максимума (–2; 4) и точка минимума (0; 0). Это можно записать и так: max (–2; 4), min (0; 0).

Интервалы возрастания найдем из неравенства y'>0, т. е. 3x^2+6x>0. Оно равносильно неравенству 3x\left(x+2\right)>0.
Множество решений найдем по рисунку 3.35 и получим что
X_1\uparrow=\left(-∞;\ -2\right) и X_2\uparrow=\left(0;\ ∞\right).
С помощью того же рисунка найдем интервал убывания X\downarrow=\left(-2;\ 0\right).