Harjutus­ülesanded. Võrratused

x² – 8x + 15 ≤ 0

1. Leia nullkohad lahendades ruutvõrrandi 
   ​x² – 8x + 15 = 0. Nullkohad on x₁ = 3; x₂ = 5.
2. Lahenda võrratus intervall­meetodiga. ​Kogu lahendihulk on x ∈ [3; 5].
   
3. Kuna küsiti täisarvulisi lahendeid, siis on vastuseks x ∈ {3; 4; 5}.

1. Korruta esimene võrratus ühise nimetajaga 10 ning lahenda see.
   \frac{x-2}{5}-\frac{x}{2}<1​
   ​2 (x – 2) – 5x < 10
   ​2x – 4 – 5x < 10
   ​– 3x < 14
   ​x>-\frac{14}{3}
   x_{v1}\in\left(-\frac{14}{3};\ ∞\right)
   Võrratuse poolte jagamisel negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks!​
2. Lihtsusta teine võrratus ja lahenda see
   ​NB! Vahe ruudu valem
   ​(x – 2)²< x(x – 6)
   ​​x² – 4x + 4 < x² – 6x​
   2x < –4
   x < –2​
   x_{v2}\in\left(-∞;\ -2\right)​
   
3. Leia kahe võrratuse lahendite ühisosa.
   ​Ühiseks lahendihulgaks on x\in\left(-\frac{14}{3};\ -2\right).

\frac{4x+2}{6-x}\ge1

Tegemist on murdvõrratusega, mille tunned ära selle järgi, et murru nimetaja sisaldab tundmatut. 
​NB! Pane tähele, et võrratuse määramispiirkonda ei kuulu x = 6, sest nimetaja ei tohi olla null!

1. Murdvõrratuse lahendamisel tuleb kõik liikmed ühele poole viia, leida ühine nimetaja ning korrastada avaldis.
   ​\frac{4x+2}{6-x}-1\ge0
   \frac{4x+2-1\left(6-x\right)}{6-x}\ge0
   \frac{4x+2-6+x}{6-x}\ge0
   \frac{5x-4}{6-x}\ge0
2. Leiame lugeja ja nimetaja nullkohad.​
   ​Lugeja nullkoht x_1=\frac{4}{5}=0,8 
   Nimetaja nullkoht x₂ = 6.
   V​iimane ei kuulu aga võrratuse määramispiirkonda ning sellega tuleb ka vastuse kirjutamisel arvestada. Nimetame seda nullkohta kriitiliseks punktiks, sest selle koha ümbruses muudab võrratuses olev murd märki, nii nagu ka väärtuse 0,8 juures.
3. Võrratuse lahendit aitab välja kirjutada skeem:
   ​$\begin{array}{ccccccccccc}& -& & |& & +& & |& & -& \\ & & & \mathrm{0,8}& & & & 6& & & \end{array}$
   Nullkohad ja kriitilised punktid: x₁ = 0,8; x₂ = 6 (x ≠ 6).
4. ​x ∈ [0,8; 6)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{x-2}<0\\ 4x^2\ge x\end{array}\right.$

Leiame kummagi võrratuse lahendihulgad ning süsteemi lahendihulk on nende ühisosa.

1. Esimene on murdvõrratus, mille kriitilised punktid ja nullkohad on x_1,2 = 0, x₃ = 2 (x ≠ 2).
   ​Võrratuse lahendit aitab välja kirjutada skeem:
   ​$\begin{array}{ccccccccccc}& -& & |& & -& & |& & +& \\ & & & 0& & & & 2& & & \end{array}$
   ​x_v1 ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 2).
2. Teine on ruutvõrratus, mille nullkohad on x₁ = 0, x₂ = 0,25.
   ​Võrratuse lahendit aitab välja kirjutada skeem:
   $\begin{array}{ccccccccccc}& +& & |& & -& & |& & +& \\ & & & 0& & & & \mathrm{0,25}& & & \end{array}$x_v2 ∈ (–∞; 0] ∪ [0,25; ∞)
3. x ∈ (–∞; 0) ∪ [0,25; 2)

x² − (4p + 3)x + 3p² + 3 = 0

Tegemist on parameetrit sisaldava taandatud ruutvõrrandiga, kus

• lineaarliikme kordaja on – (4p +3) ja
• vabaliige 3p² + 3p. 

Viete´i teoreemi järgi on lahendid positiivsed, kui nende vabaliige (korrutis) on positiivne ja lineaarliikme kordaja (summa vastandarv) negatiivne (sest summa peab positiivne olema).
​Et ruutvõrrandil üldse kaks lahendit oleks, peab diskriminant D = b² – 4ac olema positiivne.

1. Saame võrratusesüsteemi:
   $\left\{\begin{array}{cc}\hfill 3p^2+3p& >0\\ \hfill -\left(4p+3\right)& <0\\ \hfill {\left(4p+3\right)}^2-4\left(3p^2+3p\right)& >0\end{array}\right.$​
2. Võrratuste lahendihulgad
   1. p_v1 ∈ (–∞; –1) ∪ (0; ∞).
   2. p_v2 ∈ (–0,75; ∞).
   3. p_v3 ∈ ℝ∖ {–1; 5}.
3. Ruutvõrrandil on kaks positiivset lahendit, kui p ∈ (0; ∞).