Määratud integraal

Jätkame kõvertrapetsi pindala leidmist. Paigutame kõvertrapetsi koordinaatteljestikku nii, et trapetsi alustega ristuv haar asub x-teljel, kõvertrapetsi alused sirgetel x = a ja x = b ning kõver haar funktsiooni y = f (x) graafikul (joon. 1.9). Olgu f (x) pidev funktsioon ja olgu f (x) ≥ 0 (graafik ülalpool x-telge).

Joon. 1.9

Joon. 1.10

Igal kõvertrapetsil on kindel pindala. Olgu kõvertrapetsi üks alus fikseeritud kohal x = a ja teise aluse asukoht muutugu piirkonnas x ≥ a (joon. 1.10). Et muutuja x igale väärtusele vastab üks kindel kõvertrapets ja viimasele üks kindel pindala S, siis on pindala S muutuja x funktsioon, sümbolites S = S (x). Uurime, kuidas on funktsioonid f (x) ja S (x) omavahel seotud. Nihutame kõvertrapetsi parempoolset alust Δx võrra paremale, siis on see alus kohal x + Δx (joon. 1.11).

Joon. 1.11

Joon. 1.12

Selle tagajärjel lisandub esialgsele kõvertrapetsile uus kõvertrapets, mille alused on pikkustega f (x) ja f (x + Δx). Olgu selle uue kõvertrapetsi pindala ΔS. Analoogiliselt peatükis 1.5 tehtule joonestame ka siin välja kaks ristkülikut (joon. 1.12), millest väiksema pindala on Δx · f (x) ja suurema pindala Δx · f (x + Δx). Kõvertrapetsi pindala ΔS jääb nende kahe ristküliku pindala vahele:

\Delta x\cdot f\left(x\right)<\Delta S<\Delta x\cdot f\left(x+\Delta x\right).Jagades saadud võrratuse positiivse arvuga Δx, saamef\left(x\right)<\frac{\Delta S}{\Delta x}<f\left(x+\Delta x\right).Kui argumendi juurdekasv on küllalt väike ehk kui Δx → 0, siis f (x + Δx) → f (x). Kuna \frac{\Delta S}{\Delta x} jääb f (x) ja f (x + Δx) vahele, siis pidevuse definitsiooni põhjal \frac{\Delta S}{\Delta x}\to f\left(x\right) ehk $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ S}{Δ x} = f (x)$ ehk S '(x) = f (x).

Põhjendage, et $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ S}{Δ x} = S' (x)$ .

Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi.

TEOREEM. Kui kõvertrapetsi kõver haar on määratud funktsiooni y = f (x) graafikuga ja selle muutuva kõvertrapetsi pindala on S (x), siis S '(x) = f (x).

Eelnev tõestus oli läbi viidud juhul, kui funktsioon f (x) on vahemikus (x; x + Δx) kasvav. Samale tulemusele jõuaksime ka siis, kui funktsioon f (x) on selles vahemikus konstantne või kahanev.

Saime, et kõvertrapetsi pindala S (x) on funktsiooni f (x) algfunktsiooniks (miks?). Teame, et funktsiooni f (x) iga algfunktsioon avaldub kujul F (x) + C, kus F '(x) = f (x). Seega ka

S (x) = F (x) + C.

Et igal kõvertrapetsil on kindel pindala, siis peab konstandil C eelmises võrduses olema x iga väärtuse korral kindel väärtus. Selle väärtuse leidmiseks paneme tähele, et x = a korral kõvertrapetsi mõlemad alused ühtivad ja vastava kõvertrapetsi pindala on null ehk S (a) = 0. Seega F (a) + C = 0, millest C = – F (a) ja S (x) = F (x) – F (a). Kui kõvertrapetsi teine alus on kohal x = b, siis on kõvertrapetsi pindala S (b) ning S (b) = F (b) + C = F (b) – F (a) (joon. 1.13).

Joon. 1.13

Seega, kui kõvertrapetsi kõveraks haaraks on lõigus [a; b] pideva funktsiooni f (x) ≥ 0 graafik, trapetsi alused on kohtadel x = a ja x = b, siis selle kõvertrapetsi pindala S avaldub valemiga

S = F (b) – F (a), kus F '(x) = f (x).

Et funktsioon F (x) on funktsiooni f (x) algfunktsioon, siis on funktsiooni F (x) võimalik esitada ka integraali abil: F\left(x\right)+C=\int f\left(x\right)dx. Integraali märki kasutatakse kõvertrapetsi pindala esitamiseks ka siis, kui kõvertrapetsi mõlemad alused on fikseeritud. Kui kõvertrapetsi esimene alus on kohal a ja teine alus kohal b, siis kirjutatakse, et

$S (b) = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Avaldist \int_a^bf\left(x\right)dx nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks rajades a-st b-ni (loetakse: integraal a-st b-ni ef iks de iks). Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks ja arvu b integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraal tähistab arvu, mis näitab vastava kõvertrapetsi pindala. Määratud integraali arvutamise eeskiri on seega järgmine:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

, kus $F' (x) = f (x)$ . (1)

Valemit (1) nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks, sest nii inglise matemaatik ja füüsik Isaac Newton (1642–1727) kui ka saksa matemaatik ja filosoof Leibniz (1646–1716) jõudsid peaaegu samaaegselt sellele, et kõvertrapetsi pindala leidmiseks saab kasutada määratud integraali.

Tavaliselt kasutatakse valemis (1) vahe F (b) – F (a) asemel lühemat kirjutist $F (x)_{a}^{b}$ .

Kuigi me valemi (1) tuletamisel kasutasime eeldust f (x) ≥ 0, kehtib see valem mis tahes lõigul [a; b] pideva funktsiooni puhul. Juhuga f (x) < 0 tutvume edaspidi lähemalt peatükis 1.9.

Näide 1.

Leiame määratud integraali abil peatükis 1.5 kirjeldatud pindala – s.t pindala, mille eraldab parabool y = x² ühikruudust (joon. 1.8a). Siin f (x) = x², integraali rajad on 0 ja 1. Seega

S = \int_0^1x^2dx = ${\frac{x^{3}}{3}}_{0}^{1}$ = \frac{1}{3}-\frac{0}{3} = \frac{1}{3}. Et ühikruudu pindala on 1, siis eraldab parabool y = x² ühikruudust ühe kolmandiku.

Näide 2. \int_{-1}^2\left(6+4x\right)dx = \left[6x+\frac{4x^2}{2}\right]_{-1}^2 = \left[6x+2x^2\right]_{-1}^2 = 12+8-\left(-6+2\right) = 24.Kujutage vastav kõvertrapets joonisel. Kontrollige vastuse õigsust trapetsi pindala valemit kasutades.

Näide 3. \int_1^2\left(2-x^2\right)dx = \left[2x-\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(2-\frac{1}{3}\right) = 2-\frac{7}{3} =-\frac{1}{3}.

Antud integraali väärtus on negatiivne ja seda integraali ei saa me tõlgendada kui kõvertrapetsi pindala. Jooniselt 1.14 näeme, et vastav pinnatükk koosneb kahest kõvertrapetsist, neist üks asub ülalpool, teine aga allpool x-telge. Lõigul \left[\sqrt{2};\ 2\right] ei täida funktsioon f (x) peatüki algul püstitatud nõuet f (x) ≥ 0. Integraal \int_1^2\left(2-x^2\right)dx kujutab geomeetriliselt kahe kõvertrapetsi pindalade vahet.Allpool x-telge või mõlemal pool x-telge asuvate kõvertrapetsite pindala leidmisega tutvume peatükis 1.9.

Joon. 1.14

Näide 4. \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\ dx =

\sin x_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}

= \sin\frac{\pi}{2}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1-\left(-1\right) = 2.

Geomeetriliselt esitab see määratud integraal joonisel 1.15 värvitud kõvertrapetsi pindala.Teades, et koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, leidke ka teine moodus selle pindala arvutamiseks.

Joon. 1.15

Näide 5. Leiame \int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin2x\ dx.Siin on tarvis integreerida liitfunktsiooni, mida õppisime integreerima muutuja vahetuse võttega. Leiame kõigepealt funktsiooni f (x) = sin 2x määramata integraali:u = 2x, du = 2dx ja \int \sin2x\ dx = \int \frac{\sin u}{2}du = \frac{-\cos u}{2}+C = \frac{-\cos2x}{2}+C.Seega integreeritava funktsiooni üheks algfunktsiooniks on \frac{-\cos2x}{2} ja\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin2x\ dx =

\frac{- \cos 2 x}{2}_{0}^{\frac{π}{6}}

= \frac{-\cos\frac{\pi}{3}}{2}-\frac{-\cos0}{2} = -\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Ülesanne 49. Määratud integraal

\int_2^42dx =

\int_{-3}^1xdx =

\int_{-1}^4x^2dx =

\int_1^34x^3dx =

\int_{-3}^12xdx =

\int_a^b2xdx =

\int_1^4\frac{dx}{x} =

\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{x^2} =

\int_1^3x^{-3}dx =

\int_2^32x^4dx =

\int_1^2x^{-1}dx =

\int_{m-n}^{m+n}\frac{x}{2}dx =

Ülesanne 50. Kõvertrapetsi pindala

Joon. 1.16 1)

Vastus. S =

Joon. 1.16 2)

Vastus. S =

Joon. 1.16 3)

Vastus. S =

Joon. 1.16 4)

Vastus. S =

Joon. 1.16 5)

Vastus. S =

Joon. 1.16 6)

Vastus. S =

Ülesanne 51. Kõvertrapetsi pindala

y=x, x=2, x=4

Vastus. S =

y=1,5x, x=0, x=3

Vastus. S =

y=2x^2, x=1, x=3

Vastus. S =

y=x^2+1, x=-1, x=1

Vastus. S =

y=3-x^2, x=-1, x=0

Vastus. S =

y=3x-x^2, x=1, x=2,5

Vastus. S =

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 52. Tõestamine

Ülesanne 53. Määratud integraal

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos3x\ dx =

\int_0^1\sin\pi x\ dx =

\int_0^1e^{2x}dx =

\int_{-1}^0e^{-3x}\ dx =

\int_2^4\frac{2}{2x+1}dx =

\int_{-2}^0\frac{3}{1-2x}dx =

\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\ \right)dx =

\int_1^2x3^{x^2-1}dx =

\int_1^5\frac{xdx}{x^2+1} =

\int_0^1\frac{e^{2x}dx}{1+e^{2x}} =

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\ dx =

\int_0^32x\sqrt{x^2+9}dx =

Ülesanne 54. Kõvertrapetsi pindala

y=x^3, x=1, x=3

Vastus. S =

y=x^4, x=-1, x=1

Vastus. S =

Ülesanne 55. Määratud integraal

Missuguste naturaalarvude n korral kehtib võrratus \int_0^1x^ndx<\frac{1}{5}?

Vastus. Kui

Lisää aiheesta

Edistyminen

	Tehtävät
	Luku on suoritettu

Määratud integraal

Lisää aiheesta

Ülesanded A

Ülesanne 49. Määratud integraal

Ülesanne 50. Kõver­trapetsi pindala

Ülesanne 51. Kõver­trapetsi pindala

Lisää aiheesta

Ülesanded B

Ülesanne 52. Tõestamine

Ülesanne 53. Määratud integraal

Ülesanne 54. Kõver­trapetsi pindala

Ülesanne 55. Määratud integraal

Lisää aiheesta

Lisää materiaali

Lisättävät tiedostot

Ilmoita virheestä

Ilmoita tänne vain alustaan ja sisältöön liittyvistä virheistä. Pyydämme kuvailemaan virhettä mahdollisimman tarkasti.

Liitä halutessasi mukaan yhteystietosi (sähköpostiosoite, puhelin).

Tee rasti ruutuun, näin autat meitä taistelussa roskapostia vastaan

Opiq käyttää evästeitä

Ülesanne 50. Kõvertrapetsi pindala

Ülesanne 51. Kõvertrapetsi pindala

Ülesanne 54. Kõvertrapetsi pindala