Разложение состав­ных чисел на простые мно­жители

Учитель математики написал на доске ряд чисел:

8, 10, 7, 12, 15, 13, 5, 18, 19, 25, 11, 17​

Он попросил учеников представить эти числа, если возможно, в виде произведения двух множителей, отличных от 1. Выясни, в каких случаях это возможно.

Например, 24 = 4 · 6. Если среди множителей есть составные числа, то их тоже можно записать в виде произведения двух множителей. В данном примере: 24 = 4 · 6 = (2 · 2) · (2 · 3) = 2 · 2 · 2 · 3.

Таким образом, мы можем записать:

Число 24 разложено на простые множители.

Например, методом подбора можем получить

​18 = 2 · 3 · 3,   54 = 2 · 3 · 3 · 3,   100 = 2 · 2 · 5 · 5.

При разложении больших чисел на простые множители можно пользоваться схемой, представленной в следующем примере.

• Найдем частное 420 : 2 = 210 и запишем его слева от черты под данным числом.
• Теперь найдем наименьший простой делитель числа 210 (снова 2) и запишем его под предыдущим простым делителем.
• Частное 210 : 2 = 105 запишем под предыдущим частным.
• Далее получим таким же образом 105 : 3 = 35; 35 : 5 = 7; 7 : 7 = 1.
• Разложение числа на простые множители заканчивается, когда в левом столбике получили частное 1.

Столбик чисел справа от черты состоит из простых множителей, произведение которых равно 420, то есть

420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7.

Составляя все возможные произведения из полученных простых множителей по два, по три и т. д., получим все остальные (составные) делители числа. Например, такими делителями числа 420 будут 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, 2 · 7 = 14, 2 · 2 · 7 = 28 и т. д.

Число 420 имеет всего 24 делителя. Попробуй найти их все!

Простые числа служат «кирпичиками» для построения остальных чисел: любое число является произведением простых чисел. Простыми числами ученые интересовались издавна. Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) показал, что простых чисел бесконечно много. После этого ученые начали искать способ выделения простых чисел среди всех натуральных чисел. Позднее древнегреческий математик Эратосфен предложил хороший способ для нахождения простых чисел – «решето Эратосфена». Найдем, например, все простые числа между 1 и 20. Для этого выпишем все числа от 1 до 20 в ряд:

• Вычеркнем числа, которые не являются простыми, в первую очередь число 1, так как оно простым не является.
• Первое простое число 2. Подчеркнем его и вычеркнем все числа, кратные 2, то есть числа 4, 6, … , 20.
• Следующее простое число 3. Подчеркнем его и вычеркнем все числа, кратные 3 (которые остались не вычеркнутыми).
• Следующее простое число 5. Подчеркнем его и т. д.

Так мы «высеем» все простые числа, не превосходящие 20:

2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19.

В настоящее время простыми числами пользуются для кодирования информации. Например, в Интернете данные кодируются при выполнении денежных перечислений. Ключом к коду является пара очень больших простых чисел. Чтобы взломать код, нужно найти эти простые числа, зная их произведение.