* Изучение этой темы предполагает использование компьютерного класса.
Напомним, что для построения графика функции на компьютере нужно прежде всего включить режим изображения осей и координатной сетки (например, щелкнув на полотне правой кнопкой мыши). После этого нужно ввести в строку ввода формулу функции. Для введения показателя степени 2 есть несколько возможностей. Например, степень x2 можно ввести, напечатав букву х и затем либо выбрать из меню α, находящегося в конце строки ввода, символ возведения в квадрат, либо нажать на клавиатуре одновременно клавиши Alt и 2. Полученный после нажатия клавиши Enter график можно перемещать на полотне с помощью стрелок клавиатуры или инструмента Перемещать, предварительно активировав график правой кнопкой мыши (Показывать объект).
Для преобразования графика есть еще один способ: можно использовать Ползунок. Этот инструмент позволяет оставлять параметры (буквы) в формуле функции, числовые значения которых можно изменять на полотне. Например, если ввести ползунок a, затем напечатать в строку ввода функцию f(x)=a*x2 и нажать Enter, то на полотне изображается ползунок и график функции, соответствующей некоторому значению a. Значение параметра a можно теперь изменить, передвигая жирную точку на ползунке. В соответствии с новым значением a на полотне появляется и график новой функции.
Упражнения A
 |
||||||||
- Напечатай в строке ввода формулу первой квадратичной функции в виде у = х2.
- Выведи на полотно ползунок, выбрав инструмент Ползунок и щелкнув мышью в подходящее место на полотне. В раскрывшемся окне зафиксируй изменяемые параметры ползунка.
- Интервал – определяет, в каких границах и с каким шагом изменяется выбранный параметр (например, а).
- Ползунок – позволяет установить расположение и величину ползунка на полотне.
- Анимация – позволяет запустить ползунок в автоматическом режиме.
Задай интервал ползунка, например, от –8 до 8, шаг выбери в 0.1.
- Введи в строку ввода формулу второй функции y = ax2 в виде f(x)=a*x2. Теперь ты можешь с помощью ползунка изменять значения параметра a. Для этого нужно активировать ползунок левой кнопкой мыши и затем либо мышью, либо стрелками клавиатуры начать изменять значения а в формуле y = ax2.
- Построй с помощью ползунка графики функций y = 3x2, y = 5,5x2, y = –0,4x2 и y = –5x2. Выясни с помощью графиков, как получить графики этих функций из графика квадратичной функции y = x2.
- Изучи и опиши форму и расположение на координатной плоскости графика функции y = ax2 в зависимости от коэффициента a.
- Сначала выведи на полотно ползунки a и m, задай границы их изменения и шаг. Размером шага возьми, например, 0.5.
- Введи функции y = ax2 и y = a(x + m)2 соответственно в виде f(x)=a*x2 и g(x)=a*(x+m)2.
- Опиши изменение формы и расположения графиков функций y = a(x + m)2, изменяя с помощью ползунков значения параметров a и m. (Как получить эти графики из графика функции y = ax2? Где расположена вершина графика и где – ось? Куда направлены ветви параболы?) Формулы функций появляются на панели объектов.
- Как получить из графика квадратичной функции y = ax2 график функции y = ax2 + n?
- Каковы координаты вершины параболы y = ax2 + n и как расположена ось этой параболы?
- С помощью ползунков найди возможно больше значений параметров a и n, при которых нулями соответствующей квадратичной функции являются целые числа.
- Каким условиям должны удовлетворять параметры a и n, чтобы квадратичная функция y = ax2 + n не имела нулей?
- Почему целесообразно формулу второй функции ввести в виде f(x)=a*(x+m)2+n?
- Каким образом из графика квадратичной функции y = ax2 можно получить график квадратичной функции y = a(x + m)2 + n?
- Каковы координаты вершины параболы y = a(x + m)2 + n и как расположена ось этой параболы?
- Найди значения параметров a, m и n, при которых нули полученной квадратичной функции являются целыми числами.
Струи фонтана образуют параболы, соответствующие которым квадратичные функции в данной системе координат выражаются в виде. При значении параметра a = 1 соответствующая функция задается формулой , при a = 2 – формулой и т. д. Пользуясь ползунком a и следом, который оставляет график функции, выясни, какими свойствами характеризуется данный фонтан.
- Каково взаимное расположение струй фонтана, соответствующих значениям 2 и –2 параметра a?
- В каком промежутке ось Ох является «мокрой»?
Ответ: ось Ох является «мокрой» в промежутке от до . - На каком максимальном удалении от оси ординат может располагаться вершина параболической струи?
Ответ: вершина параболической струи может быть удалена от оси ординат самое большее на единиц. - На какую наибольшую высоту может подниматься струя этого фонтана?
Ответ: струя фонтана может подниматься самое большее на высоту в единиц.
Упражнения Б
 |
||||||||
y =
y =
Ответ: полученная линия называется .
- Найди координаты вершины H этой линии (см. рис.). Как связаны между собой координаты точек F и H, и почему?
Ответ: ,
- Какой общий вид имеет формула, задающая соответствующую этой линии квадратичную функцию?
Ответ: y = - С помощью ползунков найди формулу соответствующей квадратичной функции. На рисунке использованы ползунок a с шагом 0,25, точка L и след графика функции.
Ответ: y = - Найди координаты точки L (см. рисунок). Как использовать эти координаты для нахождения значения коэффициента a в формуле y = ax2 + 1? Сделай это и проверь, получается ли та же формула, что и при использовании ползунков.
y =
