* Диофантовы уравнения

Пример 1.

Максим хочет купить в магазине флешку, которая стоит 19 евро. С собой у него оказались только монеты по 2 евро, а в кассе у продавца – только купюры по 5 евро. Каким образом Максим может заплатить за покупку?

Решение. Обозначим требуемое число монет в 2 евро через х, а нужное для выплаты сдачи число купюр в 5 евро – через y. Тогда из условия задачи следует, что 2x – 5y = 19.

Как мы знаем, графически такое уравнение задает на координатной плоскости прямую, состоящую из всех точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют этому уравнению. При этом подобное уравнение имеет бесконечное множество решений. Однако нас интересуют только такие значения х и у, которые являются натуральными числами. (Почему?) Одно из таких решений (х = 12, у = 1) мы можем, очевидно, найти подбором. Возникает вопрос, есть ли у этого уравнения еще и другие решения, состоящие из натуральных чисел. Чтобы выяснить это, выразим из уравнения неизвестное x и выделим в полученном выражении целую часть:

x=\frac{19+5y}{2}=9+2y+\frac{1+y}{2}.

Для того, чтобы x было натуральным числом, необходимо, чтобы и значение выражения \frac{1+y}{2} было натуральным числом. Обозначим \frac{1+y}{2}=t, тогда y = 2t – 1. В этом случае x = 9 + 2y + t = 9 + 2(2t – 1) + t = 7 + 5t.

Таким образом, мы получили, что x = 7 + 5t и y = 2t – 1. Чтобы значения x и y были положительными, значение t не может быть меньше 1, т. е. t = 1, 2, 3, … Отсюда мы получаем бесконечное множество решений поставленной задачи:

Эти решения выражаются в виде пар чисел (12; 1), (17; 3), (22; 5), … или, в общем виде, (7 + 5t; 2t – 1), где t – положительное целое число. Очевидно, по смыслу поставленной задачи, наиболее подходящий способ расплатиться за покупку представлен первым решением.

Ответ: следует заплатить 12 монет по 2 евро и получить сдачи одну купюру в 5 евро.

Пример 2.

Найдем целочисленные решения уравнения 5x – 17y = 1.

Решение. Чтобы решить это уравнение, выразим x:

x=\frac{17y+1}{5} = \frac{15y+2y+1}{5} = 3y+\frac{2y+1}{5}.

Чтобы x было целым числом, \frac{2y+1}{5} должно также быть целым числом. Обозначим \frac{2y+1}{5}=t, тогда 2y = 5t – 1 = 4t + t – 1. Чтобы 2у было целым числом, значение выражения 4t + (t – 1) должно быть целым числом, делящимся на 2. Это справедливо, если t – 1 – четное число. В этом случае должно выполняться равенство t – 1 = 2k, k ∈ Z. Тогда t = 2k + 1 и 2y = 5 + 10k – 1 = 10k + 4, откуда y = 5k + 2. Следовательно, x = 3y + t = 15k + 6 + 2k +1 = 17k +7.

Таким образом, целочисленными решениями исходного уравнения являются пары чисел (17k + 7; 5k + 2), где k ∈ Z.

Легко проверить, что эти пары действительно удовлетворяют уравнению:

5x – 17y = 5(17k +7) – 17(5k + 2) = 85k + 35 – 85k – 34 = 1.

Ответ: (17k + 7; 5k + 2), где k ∈ Z.

Пример 3.

Найдем целочисленные решения уравнения x² – 20 = (y + 2)².

Решение. Запишем уравнение в виде x² –(y + 2)² = 20, или (x – y – 2)(x + y + 2) = 20. Теперь мы должны найти два целых числа, произведение которых равно 20. Их мы найдем среди делителей числа 20:

20 = 1 ⋅ 20 = 20 ⋅ 1 = 4 ⋅ 5 = 5 ⋅ 4 = 2 ⋅ 10 = 10 ⋅ 2 = (–1) ⋅ (–20) = (–20) ⋅ (–1) = (–4) ⋅ (–5) = (–5) ⋅ (–4) = (–2) ⋅ (–10) = (–10) ⋅ (–2).

Кроме того, сумма искомых чисел (x – y – 2) + (x + y + 2) = 2x. Поэтому сумма искомых чисел должна быть четным числом, следовательно, произведения (±1) ⋅ (±20) и (±4) ⋅ (±5) можно не рассматривать. Остались следующие возможности:

$$ \left\{\begin{array}{l}x+y+2=2\\ x-y-2=10\end{array}\right.$$, $$ \left\{\begin{array}{l}x+y+2=10\\ x-y-2=2\end{array}\right.$$, $$ \left\{\begin{array}{l}x+y+2=-2\\ x-y-2=-10\end{array}\right.$$, $$ \left\{\begin{array}{l}x+y+2=-10\\ x-y-2=-2\end{array}\right.$$.

Решив эти системы, получим пары чисел (6; −6), (6; 2), (−6; 2) и (−6; −6).

Ответ: (6; −6), (−6; −6), (6; 2), (−6; 2).

Пример 4.

Найдем все двузначные натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между их цифрами записать цифру 0.

Решение. Пусть x – цифра десятков и y – цифра единиц искомого числа, т. е. это число имеет вид 10x + y. Если между цифрами числа записать 0, то получится число 100x + y. По условию задачи 100x + y = 9(10x + y), или 5x = 4y.

Выразив у, получим y=\frac{5x}{4}. Чтобы y был натуральным числом, необходимо, чтобы 5x делилось на 4, а, значит, и х должен делиться на 4. Наименьшее из таких чисел – это 4 (так как 0 не подходит в качестве цифры десятков двузначного числа). В этом случае у = 5 и искомым числом является 45. Следующим подходящим значением х будет 8, однако в этом случае у = 10, что невозможно, так как у – цифра единиц. Поскольку 1 ≤ x ≤ 9 и 0 ≤ y ≤ 9, то единственным решением оказывается 45.

Ответ: искомым числом является 45.