Иррациональные уравнения

Задание 401. Преобразования, сохраняющие равносильность уравнений

Задание 402. Истинно ли утверждение?

Если два числа равны между собой, то равны и квадраты этих чисел.
Это утверждение .
Примеры:
Если a = b, то a³ = b³.Это утверждение .Примеры:
Если a² = b², то a = b.Это утверждение .Примеры:
Если кубы двух чисел равны, то равны и эти числа.Это утверждение .Примеры:
\sqrt{x}>0 для любого x\in\mathbb{R}.Это утверждение .Примеры:
Если \sqrt{a}=b, то b\ge0.Это утверждение .Примеры:

Задание 403. Какие значения х удовлетворяют данному уравнению?

$x^{2} = 16$		$\sqrt{x} = 4$
–256 –16 –4	16 256 4	–4 –16 –2	2 16 4

$\sqrt{x} = - 4$		$x^{2} = x$
–2 –16 –4	2 16 4	–1 0 –2	1 2 4

$\sqrt{x} = x$		$x^{2} = \sqrt{4}$
–2 –1 0	2 1 10	–2 –1 $- \sqrt{2}$	2 1 $\sqrt{2}$

$\sqrt{x} = 0$		$\sqrt{x^{2}} = 4$
–2 –1 0	2 1 10	–2 –1 –4	2 1 4

Уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком корня, называется иррациональным уравнением.

При решении иррациональных уравнений уже не удается обойтись рассмотренными преобразованиями уравнений в равносильные. При решении таких уравнений часто приходится возводить обе части уравнения в одну и ту же натуральную степень. Например, чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 5$ , возведем в квадрат обе части и получим его корень x = 25.

Пример 1.

Решим уравнение $x - \sqrt{25 - x^{2}} = 1$ .

	$x - \sqrt{25 - x^{2}} = 1$	Перенесем не содержащие корней выражения в одну из частей уравнения,
	$x - 1 = \sqrt{25 - x^{2}} \| ()^{2}$	а остальные члены – в другую часть;
	${(x - 1)}^{2} = 25 - x^{2}$	возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от радикалов,
	$x^{2} - 2 x + 1 = 25 - x^{2}$	затем решим квадратное уравнение.
	$2 x^{2} - 2 x - 24 = 0 \| : 2$
	$x^{2} - x - 12 = 0$
	$x_{1} = - 3, x_{2} = 4$ .

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения х исходному уравнению.

Пусть x = –3. Тогда левая часть уравнения Л.Ч. = $- 3 - \sqrt{25 - 9} = - 7$ . Так как правая часть уравнения П.Ч. = 1, то Л.Ч. ≠ П.Ч., и найденное значение x = –3 не является корнем исходного уравнения.
Пусть x = 4. Тогда Л.Ч. = $4 - \sqrt{25 - 16} = 1$ , т. е. Л.Ч. = П.Ч.

Ответ: x = 4.

Исследуем, что произошло при решении уравнения в примере 1.

исходное уравнение

$x - \sqrt{25 - x^{2}} = 1$
$x = 4$

преобразованное уравнение

$x^{2} - x - 12 = 0$
$x_{1} = - 3, x_{2} = 4$

Как мы видим, в ходе преобразований получено новое уравнение x² – x – 12 = 0, один из корней которого (x = –3) не является корнем исходного уравнения, т. е., как говорят, является посторонним корнем. Поэтому преобразованное уравнение не равносильно исходному. Говорят, что новое уравнение является следствием исходного уравнения. При этом множество корней уравнения, являющегося следствием исходного, содержит все корни исходного уравнения, однако это множество может содержать и такие корни, которых нет у исходного уравнения (посторонние корни). Чтобы показать, что одно уравнение является следствием другого, используют знак ⇒.

$x - \sqrt{25 - x^{2}} = 1 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 25 - x^{2}$ ,

однако ${(x - 1)}^{2} = 25 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x - 12 = 0$ .

При возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появляться посторонние корни. Для их исключения при решении иррационального уравнения нужно обязательно делать проверку.

Пример 2.

Решим уравнение $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 1} = 1$ .

	$\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 1} = 1$	Перенесем один из радикалов в другую часть уравнения.
	$\sqrt{x + 6} = 1 + \sqrt{x - 1} \| ()^{2}$
	$x + 6 = {(1 + \sqrt{x - 1})}^{2}$
	$x + 6 = 1 + 2 \sqrt{x - 1} + x - 1$
	$2 \sqrt{x - 1} = 6 \| : 2$
	${\sqrt{x - 1} = 3 \| ()}^{2}$
	$x - 1 = 9$
	$x = 10$ .

Проверка. Л.Ч. = $\sqrt{16} - \sqrt{9} = 1$ , П.Ч. = 1 и Л.Ч. = П.Ч.

Ответ: x = 10.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 404. Равносильность уравнений

$\sqrt{x - 3} = 5 - x$ $x - 3 = {(5 - x)}^{2}$

$\sqrt{5 + 2 x} = x + 1$ $5 + 2 x = {(x + 1)}^{2}$

$\sqrt[4]{x + 1} = 3$ $x + 1 = 81$

Указание

Решите уравнение справа и проверьте, удовлетворяют ли его корни уравнению слева.

$x = 3$ $(x - 3) (x - 1) = 0$

$\sqrt{2 x + 1} = 3$ $2 x + 1 = 9$

$\sqrt[3]{x + 3} - 1 = 3$ $x + 3 = 64$

Указание

Решите уравнение справа и проверьте, удовлетворяют ли его корни уравнению слева.

Задание 405. Решение иррациональных уравнений

$\sqrt{2 x + 3} = 5$
x =

$\sqrt{4 x - 3} = 3$
x =

$4 \sqrt{x + 3} = 8$
x =

$\sqrt{x + 3} = - 6$

$\sqrt{x^{2} - 6 x} = 0$

$\sqrt{x^{2} - 16} - 1 = 2$

$\sqrt[3]{x + 5} = 7$
x =

$\sqrt[3]{4 - x} = 2$
x =

$\sqrt[3]{2 x - 1} = \sqrt[3]{x^{2}}$
x =

$\sqrt[4]{3 + x} = 3$

$\sqrt{x} = \sqrt[4]{x}$

$\sqrt{\frac{10 x}{x + 1}} = 3$

Задание 406. Решение иррациональных уравнений

$x + \sqrt{169 - x^{2}} = 17$

$\sqrt{1 - 3 x} = 3 + x$

$21 + \sqrt{2 x - 7} = x$

$\sqrt{7 - \sqrt{x - 3}} = 2$

$\sqrt{x^{2} + 6 x - 15} = x + 1$

$\sqrt{x^{2} - x + 10} = 7 - x$

$x + \sqrt{10 x + 6} = 9$

$\sqrt{x^{2} + 24 x + 3} = 9 + x$

$\sqrt{x + 8} - \sqrt{3 x - 2} = 2$

$\sqrt{2 x + 2} + \sqrt{2 x - 5} = 7$

$\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 14} = - 1$

$\sqrt{5 x - 4} - \sqrt{5 x - 36} = 2$

$\sqrt{x - 4} = 6 - \sqrt{x + 8}$

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{5 + x} = 3$

$\sqrt{2 x - 3} + \sqrt{4 x + 1} = 4$

$\sqrt{2 x + 6} + \sqrt{x - 3} = 2 \sqrt{x}$

Задание 407. Период колебания маятника

Период колебания маятника T (в секундах) прямо пропорционален величине $\sqrt{l}$ , где 𝑙 – длина маятника (в метрах).

Выразите эту запись формулой.
T =
Известно, что период колебания маятника длиной 0,750 м равен 1,74 секунды. Какой должна быть длина маятника, чтобы период его колебания был равен 1,00 с?Ответ: длина маятника должна быть м.

Задание 408. Максимальная скорость парусника

При определенной кривизне обводов парусника его максимальная теоретическая скорость v (км/ч) выражается через длину 𝑙 (м) корпуса парусника по формуле

v = 4,5 \sqrt{l}

Какую скорость может теоретически развивать парусник, длина корпуса которого равна

	Максимальная скорость
6 м?	км/ч
10 м?	км/ч
25 м?	км/ч

Какова должна быть длина корпуса парусника, чтобы он мог развивать скорость в 20 узлов (1 узел = 1,852 км/ч)?

Ответ: длина корпуса должна быть м.

Задание 409. Где ошибка?

Докажем, что 2 ⋅ 2 = 5.

Будем исходить из верного равенства 16 – 36 = 25 – 45. Прибавим к обеим частям этого равенства 20,25 и получим 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25, или (4 – 4,5)² = (5 – 4,5)² . Поэтому 4 – 4,5 = 5 – 4,5, откуда 4 = 5, или 2 ⋅ 2 = 5.

Докажем, что всякое число равно нулю.

Возьмем произвольное число a. Известно, что (+a)² = a² и (–a)² = a². Поэтому (–a)² = (+a)², и, следовательно, –a = +a, т. е. –a – a = 0, или –2a = 0, и, значит, a = 0.

Задание 410.* Решение иррациональных уравнений

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{4 x + 1}$

$\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3 x + 4}$

$2 \sqrt{3 x - 2} - 3 \sqrt{2 x - 3} = \sqrt{3 x - 5}$

$\sqrt{4 x + 5} + \sqrt{9 x + 7} = \sqrt{25 x + 24}$

$\sqrt[3]{x + 45} - \sqrt[3]{x - 16} = 1$

$\sqrt[3]{5 x + 7} = \sqrt[3]{5 x - 12} + 1$

Задание 411.* Решение иррациональных уравнений

$x^{2} - 2 x + 4 - \sqrt{x^{2} - 2 x + 9} = 1$
x₁ = ; x₂ =

2 \sqrt{x^{2} - 3 x + 11} - \sqrt{x^{2} - 3 x + 3} = 5

x₁ = ; x₂ = ; x₃ = ; x₄ =

2 x^{2} - 15 x + 5 + \sqrt{2 x^{2} - 15 x + 11} = 0

x₁ = ; x₂ =

x^{2} + \sqrt{x^{2} - 9} = 21

x₁ = ; x₂ =

\sqrt{x + 13} + \sqrt[4]{x + 13} = 12

x =

(x + 4) (x + 1) - 3 \sqrt{x^{2} + 5 x + 2} = 6

x₁ = ; x₂ =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Иррациональные уравнения

Задание 401. Преобразования, сохраняющие равносильность уравнений

Задание 402. Истинно ли утверждение?

Задание 403. Какие значения х удовлетворяют данному уравнению?

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 404. Равносильность уравнений

Указание

Указание

Задание 405. Решение иррациональных уравнений

Задание 406. Решение иррациональных уравнений

Задание 407. Период колебания маятника

Задание 408. Максимальная скорость парусника

Задание 409. Где ошибка?

Задание 410.* Решение иррациональных уравнений

Задание 411.* Решение иррациональных уравнений

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid