Синус и косинус суммы и разности двух углов

1. Так как \cos90°=1 и \cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, то

\cos90°-\cos30°=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,13, но, в то же время, \cos\left(90°-30°\right)=\cos60°=0,5.

Значит, вообще говоря, \cos\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right)\ne\cos\mathrm{\alpha}-\cos\mathrm{\beta}.

На конкретных примерах можно также убедиться, что, вообще говоря,

\sin\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right)\ne\sin\mathrm{\alpha}+\sin\mathrm{\beta},
\sin\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right)\ne\sin\mathrm{\alpha}-\sin\mathrm{\beta},
\cos\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right)\ne\cos\mathrm{\alpha}+\cos\mathrm{\beta} и т. д.

Выразим величины cos (α – β), cos (α + β), sin (α + β) и т. д. через тригонометрические функции углов α и β. Сначала рассмотрим косинус разности двух углов, т. е. выражение cos (α – β). Оказывается, что эта величина выражается через синусы и косинусы углов α и β следующим образом:

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β.

Мы, однако, не будем здесь доказывать эту формулу, так как значительно проще будет получить этот результат в следующей главе с помощью скалярного произведения векторов. Там же мы увидим, что данная формула справедлива для любых углов α и β. При этом логически замкнутого круга не возникает, так как ни при определении, ни при вычислении скалярного произведения векторов формула косинуса разности двух углов не используется.

Пример 1.

Найдем cos 15°, не пользуясь калькулятором или таблицами.

Решение. Так как 15° = 45° – 30°, то

\cos15°=\cos\left(45°-30°\right) = \cos45°\cdot\cos30°+\sin45°\cdot\sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.

2. Формула косинуса разности справедлива для любых углов. Воспользуемся ею для вывода формулы косинуса суммы двух углов, т. е. cos (α + β), записав сумму α + β в виде разности α –(–β):

\cos\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right) = \cos\left(\mathrm{\alpha}-\left(-\mathrm{\beta}\right)\right) = \cos\mathrm{\alpha}\cos\left(-\mathrm{\beta}\right)+\sin\mathrm{\alpha}\sin\left(-\mathrm{\beta}\right) = \cos\mathrm{\alpha}\cos\mathrm{\beta}-\sin\mathrm{\alpha}\sin\mathrm{\beta}.

Значит, косинус суммы двух углов выражается через синусы и косинусы этих углов следующим образом:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Пример 2.

С помощью выведенной формулы найдем cos 135°:

\cos135° = \cos\left(90°+45°\right) = \cos90°\cdot\cos45°-\sin90°\cdot\sin45° = 0-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

3. Выведем теперь формулы для выражения синуса суммы и синуса разности двух углов.

Так как равенство \sin\mathrm{\alpha}=\cos\left(90°-\mathrm{\alpha}\right) справедливо для любого угла α, то

\sin\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right)=\cos\left(90°-\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right)\right),

что можно записать также в виде \cos\left(\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)-\mathrm{\beta}\right). Теперь, применив формулу косинуса разности, получим:

\sin\left(\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}\right) = \cos\left(\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)-\mathrm{\beta}\right) = \cos\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)\cos\mathrm{\beta}+\sin\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)\sin\mathrm{\beta} = \sin\mathrm{\alpha}\cos\mathrm{\beta}+\cos\mathrm{\alpha}\sin\mathrm{\beta}.

Аналогично получим, что

\sin\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right) = \cos\left(90°-\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right)\right) = \cos\left(\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)+\mathrm{\beta}\right) = \cos\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)\cos\mathrm{\beta}-\sin\left(90°-\mathrm{\alpha}\right)\sin\mathrm{\beta} = \sin\mathrm{\alpha}\cos\mathrm{\beta}-\cos\mathrm{\alpha}\sin\mathrm{\beta}.

Значит,

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

Пример 3.

Упростим выражение \sin\left(30°-\mathrm{\gamma}\right)\cos\left(\mathrm{\gamma}+60°\right)+\cos\left(30°-\mathrm{\gamma}\right)\sin\left(\mathrm{\gamma}+60°\right).

Решение. При упрощении мы можем воспользоваться всеми четырьмя только что установленными формулами, а также известными значениями синуса и косинуса углов 30° и 60°. Однако решение значительно упростится, если мы обозначим 30° – γ = α и γ + 60° = β. В этом случае наше выражение оказывается правой частью формулы синуса суммы двух углов.

Таким образом,

\sin\left(30°-\mathrm{\gamma}\right)\cos\left(\mathrm{\gamma}+60°\right)+\cos\left(30°-\mathrm{\gamma}\right)\sin\left(\mathrm{\gamma}+60°\right) = \sin\left(\left(30°-\mathrm{\gamma}\right)+\left(\mathrm{\gamma}+60°\right)\right) = \sin90° = 1.

Пример 4.

Значение выражения \sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7} легко найти, если воспользоваться последней из доказанных формул, читая ее справа налево:

\sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7} = \sin\left(\frac{9\pi}{14}-\frac{\pi}{7}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1.

Еще на эту тему
Другие действия

Упражнения Б

Задание 794. Косинус суммы и разности двух углов

cos (x – y) = 

cos (x – 2y) = 

cos (3x + y) = 

cos (y + 2x) = 

cos (x + y) + cos (x – y) = 

cos (x + y) – cos (x – y) = 

cos (x + y) ⋅ cos (x – y) = 

cos (y – x) ⋅ cos (x – y) = 

Задание 795. Косинус суммы и разности двух углов

cos 88°cos 77° + sin 88°sin 77° = 

cos 44°cos 56° + sin 44°sin 56° = 

cos 80°cos 50° – sin 80°sin 50° = 

cos 40°cos 100° – sin 40°sin 100° = 

cos 3α cos 2α + sin 3α sin 2α = 

cos α cos 3α – sin α sin 3α = 

\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{4} = 

\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{3\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7} = 

cos 4 cos 3 + sin 4 sin 3 = 

Задание 796. Упрощение выражений

cos (α + 60°) – cos (α – 60°) = 

cos (π : 6 – α) + sin (π : 3 – α) = 

sin (α + β) cos α – cos (α + β) sin α = 

cos (α + β) cos (α – β) + sin (α + β) sin (α – β) = 

sin (α + 45°) cos (α – 45°) – cos (α + 45°) sin (α – 45°) = 

\frac{\sin5°\cos10°-\cos5°\sin10°}{\sin10°\cos20°+\sin20°\cos10°} = 

Задание 797. Косинус суммы или разности двух углов

\cos\left(\mathrm{\alpha}+\frac{\pi}{6}\right), если \sin\mathrm{\alpha}=-0,6 и \frac{3\pi}{2}<\mathrm{\alpha}<2\pi.

\cos\left(\mathrm{\alpha}+\frac{\pi}{6}\right) = 

\cos\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right), если \sin\mathrm{\alpha}=-\frac{1}{2}, \sin\mathrm{\beta}=\frac{2}{3}, α – угол III четверти и β – угол I четверти.

\cos\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right) = 

Задание 798. Доказательство тождества

cos (x + y) cos (x – y) = cos2 x – sin2 y

cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x

Задание 799. Синус суммы и разности двух углов

sin (γ + δ) = 

sin (2α + γ) = 

sin (γ – δ) = 

sin (α – 3β) = 

sin (α + β) + sin (α – β) = 

sin (α + β) – sin (α – β) = 

sin (α – 60°) + sin (α + 60°) = 

sin (90° + α) – sin (90° – α) = 

Задание 800. Синус суммы и разности двух углов

sin 12°cos 13° + cos 12°sin 13° = 

sin 75°cos 30° – cos 75°sin 30° = 

sin 3α cos 2α + cos 3α sin 2α = 

sin 2,1 cos 0,9 + cos 2,1 sin 0,9 = 

sin 20°cos 25° + cos 20°sin 25° = 

sin 2α cos α – cos 2α sin α = 

\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{9}\sin\frac{\pi}{3} = 

sin 1 cos 2 – cos 1 sin 2 = 

Задание 801. Вычисление точных значений синуса и косинуса

sin 240° = sin () = 

sin 300° = sin () = 

sin 210° = sin () = 

cos 105° = cos () = 

cos 75° = cos () = 

cos 15° = cos () = 

Задание 802. Вывод формулы

Задание 803. Упрощение выражения

sin 2α cos 2β – cos 2α sin 2β = 

sin (α + β) cos α – cos (α + β) sin α = 

sin (α + β) cos (α – β) + cos (α + β) sin (α – β) = 

\frac{\sin\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right)}{\cos\mathrm{\alpha}\cos\mathrm{\beta}}+\frac{\sin\left(\mathrm{\beta}-\mathrm{\gamma}\right)}{\cos\mathrm{\beta}\cos\mathrm{\gamma}}+\frac{\sin\left(\mathrm{\gamma}-\mathrm{\alpha}\right)}{\cos\mathrm{\gamma}\cos\mathrm{\alpha}} = 

\frac{\sin10°\cos20°+\sin20°\cos10°}{\sin5°\cos10°+\sin10°\cos5°} = 

Задание 804. Доказательство тождества

sin (α + β) sin (α – β) = sin2 α – sin2 β

sin (90° + α) = sin (90° – α)

sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α

Задание 805. Доказательство

Задание 806. Синус суммы или разности двух углов

\sin\left(\mathrm{\alpha}+\frac{\pi}{6}\right), если \sin\mathrm{\alpha}=-0,6 и α – угол IV четверти;

\sin\left(\mathrm{\alpha}+\frac{\pi}{6}\right) = 

\sin\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right), если \sin\mathrm{\alpha}=\frac{3}{5}, \cos\mathrm{\beta}=-\frac{8}{17}, α и β – углы одной и той же четверти.

\sin\left(\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}\right) = 

Задание 807. Прямоугольный треугольнк

Еще на эту тему
Другие действия