Из курса основной школы мы знаем, что треугольник определен однозначно каждой из следующих комбинаций его элементов:
- три стороны,
- две стороны и угол между ними,
- одна сторона и два прилежащих к ней угла.
Оказывается также, что треугольник однозначно определен, если в нем заданы:
- две стороны и угол, противолежащий большей из этих сторон.
По этим данным можно построить треугольник. При выборе данных нужно учитывать следующие обстоятельства:
- сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
- сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.
Из сказанного выше следует, что всего существуют четыре типа имеющих единственное решение задач на решение треугольника по некоторым данным его элементам.
Случай (3) обычно формулируют в виде: «решить треугольник по стороне и двум углам», так как если один из заданных углов не является прилежащим к данной стороне, то прилежащий угол можно сразу вычислить. Что касается случая (4), то он является частным случаем задачи, в которой требуется решить треугольник по двум сторонам и противолежащему одной из этих сторон углу. Такая задача имет единственное решение только тогда, когда этот угол является противолежащим большей стороне (см. условие случая (4)). Если же дан угол, противолежащий меньшей стороне, то задача имеет два решения (существует два различных треугольника, удовлетворяющих заданным условиям, см. раздел 5.15, пример 2).
После того, как найдены все искомые элементы треугольника, следует сделать хотя бы приблизительную прикидку правильности полученных результатов. Для этого нужно убедиться, что:
- сумма углов треугольника α + β + γ = 180°,
- сумма меньших сторон больше третьей стороны;
- против большей стороны расположен и больший угол.
Пример.
Решим треугольник, если a = 17,6, c = 19,4 и β = 103°18'.
Решение. По теореме косинусов найдем сторону b:
b2 = 17,62 + 19,42 – 2 ⋅ 17,6 ⋅ 19,4 ⋅ cos 103°18' = 686,12 + 682,88 ⋅ 0,2300 ≈ 843,18, откуда b ≈ 29,04.
Так как a + c = 17,6 + 19,4 > 29,04 и бóльшая сторона b расположена против тупого угла β = 103°18', то можно полагать, что длина стороны b найдена правильно.
Один из углов α или γ можно найти по теореме синусов, так как угол β нам известен. Например, найдем по этой теореме угол α:
Теперь угол γ находится совсем просто:
γ = 180° – (α + β) = 180° – (36°8'34'' + 103°18') = 40°33'26''.
Заметим, что стороны и соответствующие углы по величине расположены в одинаковом порядке:
α < γ < β, a < c < b.
Поэтому можно полагать, что треугольник решен правильно.
Чтобы выполнить проверку строго, можно, например, заново найти по теореме косинусов угол α или γ.
Ответ: b ≈ 29,04; α = 36°8'34''; γ = 40°33'26''.
Упражнения A
Задание 786. Существует ли такой треугольник?
- a = 17,1, b = 20,5, γ = 15°
- a = 10, b = 18,1, c = 8
- c = 50, α = 60°, β = 110°
- b = 90, a = 84, α = 96°
- c = 12, α = 40°, γ = 15°
Задание 787. Решение треугольника
Задание 788. Бóльшая диагональ параллелограмма
Ответ: бóльшая диагональ параллелограмма равна
Упражнения Б
Задание 789. Решение треугольника
Задание 790. Ширина реки и высота дерева
Ответ: ширина реки м, а высота дерева м.
Задание 791. Биссектриса угла треугольника
Ответ: биссектриса угла γ равна .
Задание 792. Медиана треугольника
Ответ: медиана, проведенная к стороне a, равна .
Задание 793. Биссектриса прямого угла
Ответ: биссектриса прямого угла равна .
