Funktsioonide jagatise tuletis

Olgu funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) kohal x diferentseeruvad, kus­juures g (x) ≠ 0. Moodustame uue funktsiooni y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} ja leiame selle diferentseerimise reegli.

Tuletise definitsiooni kohaselt leiame kõigepealt funktsiooni muudu:

\Delta y = \frac{f\left(x+\Delta x\right)}{g\left(x+\Delta x\right)}-\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \frac{g\left(x\right)\cdot f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)}{g\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)}.

Lisame viimase murru lugejasse ±g (x) · f (x) ja kirjutame suhte \frac{\Delta y}{\Delta x} kujul:

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{g\left(x\right)\cdot f\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\cdot f\left(x\right)-\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\cdot f\left(x\right)\right]}{\Delta x\cdot g\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)} = \frac{g\left(x\right)\cdot\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}-f\left(x\right)\cdot\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}}{g\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)}.

Leiame limΔx→0ΔyΔx, arvestades see­juures, et limΔx→0gx=gx, limΔx→0fx=fx, limΔx→0fx + Δx - fxΔx=f'x, limΔx→0gx + Δx - gxΔx=g'x, limΔx→0gx+Δx=gx, sest funktsioon y = g (x) on kohal x diferentseerivuse tõttu ka pidev.

Tulemusena saame

[fxgx]'=f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)[gx]2.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=\frac{x^2}{x+1} tuletise.

Jagatise tuletise reegli põhjal

y' = \left(\frac{x^2}{x+1}\right)^' = \frac{\left(x^2\right)^'\cdot\left(x+1\right)-x^2\left(x+1\right)^'}{\left(x+1\right)^2} = \frac{2x\left(x+1\right)-x^2\cdot1}{\left(x+1\right)^2} = \frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}.

Näide 2.

Leiame \left(x^{-2}\right)^'.

Et x^{-2}=\frac{1}{x^2}, siis \left(x^{-2}\right)^' = \left(\frac{1}{x^2}\right)^' = \frac{1'\cdot x^2-1\cdot\left(x^2\right)^'}{\left(x^2\right)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} = -2x^{-3}.

Enne tuletise leidmist tuleks võimaluse korral avaldist lihtsustada.

Näide 3.

Leiame funktsiooni tuletise, kui y=\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x}.

Et \frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x} = \frac{x^2-2x\sqrt{x}+x}{x} = x-2\sqrt{x}+1,

siis \left[\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x}\right]^' = \left(x-2\sqrt{x}+1\right)^' = 1-\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = \frac{x-\sqrt{x}}{x}.

Еще на эту тему
Другие действия

Ülesanded A

Ülesanne 844. Funktsiooni tuletis

y=\frac{2x+3}{x^2}
y' = 

y=\frac{x+1}{x-1}
y' = 

y=\frac{4}{x^2}
y' = 

y=\frac{x^2-1}{x^2+1}
y' = 

y=\frac{8x}{1-3x^2}
y' = 

y=5x^{-2}
y' = 

Ülesanne 845. Funktsiooni tuletis antud kohal

Leidke funktsiooni y=\frac{5x}{2-3x} tuletis kohal 1) 0; 2) \frac{2}{3}; 3) 2; 4) –1.

y' = 

  1. y'(0) = 
  2. y'\left(\frac{2}{3}\right) = 
  3. y'(2) = 
  4. y'(–1) = 
Еще на эту тему
Другие действия

Ülesanded B

Ülesanne 846. Funktsiooni tuletis

y=\frac{x^2}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{1}{x\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}
y' = 

y=\sqrt{x}+\frac{x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=x\sqrt{x}
y' = 

Ülesanne 847. Puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand antud kohal

Leidke funktsiooni y=\frac{5x}{2-3x} graafiku puutuja tõus ja tõusu­nurk ning puutuja võrrand kohal 1) 0; 2) \frac{2}{3}; 3) 2; 4) –1.

y' = 

  1. k = , α = , y = 
  2. k = , α = , y = 
  3. k = , α = , y = 
  4. k = , α = , y = 
Еще на эту тему
Другие действия