Eksponent­funktsiooni tuletis

Et logaritm­funktsioon on meil defineeritud eksponent­funktsiooni y = ax pöörd­funktsioonina (peatükk 3.9), siis x = loga y ja eelneva peatüki põhjal

\left(a^x\right)^' = \frac{1}{\left(\log_ay\right)'} = \frac{1}{\frac{1}{y}\log_ae} = \frac{y}{\log_ae} = \frac{a^x}{\log_ae} = a^x\ln a.

Seega,

(ax)' = ax ln a.

Näide 1.

Leiame 1) y=2^x ja 2) y=8^{2-3x+3x^2} tuletise.

  1. (2x)' = 2x ln 2.
  2. Olgu y=8^u ja u=2-3x+3x^2, siis liit­funktsiooni diferentseerimise reegli põhjal
    ​\left(8^{2-3x+3x^2}\right)^' = \left(8^u\right)^'\cdot\left(2-3x+3x^2\right)^' = 8^u\ln8\cdot\left(-3+6x\right) = 3\left(2x-1\right)8^{2-3x+3x^2}\cdot\ln8.

Kui funktsiooni y=a^x tuletis on a^x\cdot\ln a, siis ilmselt funktsiooni y=e^x tuletis on e^x\cdot\ln e=e^x.

Lühidalt

(ex)' = ex.

Näide 2.

Leiame 1) y=e^{-x} ja 2) y=e^{2x} tuletise.

  1. \left(e^{-x}\right)^' = \left(\frac{1}{e^x}\right)^' = \frac{1^'\cdot e^x-1\cdot\left(e^x\right)^'}{\left(e^x\right)^2} = -\frac{1}{e^x} = -e^{-x}.
  2. \left(e^{2x}\right)^' = \left(e^{x+x}\right)^' = \left(e^x\cdot e^x\right)^' = \left(e^x\right)^'\cdot e^x+e^x\cdot\left(e^x\right)^' = e^x\cdot e^x+e^x\cdot e^x = 2e^{2x}.
Еще на эту тему
Другие действия

Ülesanded A

Ülesanne 881. Funktsiooni tuletis

y=16e^x
y' = 

y=-3e^x
y' = 

y=xe^x
y' = 

y=1,07e^x
y' = 

y=-e^x
y' = 

y=e^{3+x}
y' = 

y=e^{-x}
y' = 

y=e^{x-3}
y' = 

y=e^{-x}\ln x
y' = 

Ülesanne 882. Puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand

Vastus. k = , α = , y = 

Еще на эту тему
Другие действия

Ülesanded B

Ülesanne 883. Funktsiooni tuletis

y=3^x
y' = 

y=10^x
y' = 

y=0,88^x
y' = 

y=100^x
y' = 

y=12^{1-x}
y' = 

y=-4\cdot5^x
y' = 

y=4^{8x}
y' = 

y=5^{0,2x}
y' = 

y=6^{-3x}
y' = 

Ülesanne 884. Funktsiooni tuletis

y=3^{2+x}
y' = 

y=10^{x-2}
y' = 

y=2^{4+x}
y' = 

y=2^{-5x}
y' = 

y=2^x\cdot8^x
y' = 

y=3^x\cdot2^x
y' = 

Ülesanne 885. Funktsiooni tuletis

y=e^{7x^3-3x}
y' = 

y=4^{\sqrt{x}}
y' = 

y=e^{3\ln x}
y' = 

y=\sqrt{10^x}
y' = 

y=x^4\cdot4^x
y' = 

y=8^{x^3-x^2}
y' = 

Ülesanne 886. Funktsiooni tuletis

y=\sqrt{\sin5x}
y' = 

y=\ln^38x
y' = 

y=\cos e^{\ln x}
y' = 

y=\tan^4x^4
y' = 

Ülesanne 887. Puutuja tõus, tõusu­nurk ja võrrand

Vastus. k = , α = , y = 

Vastus. k = , α = , y = 

Еще на эту тему
Другие действия