Курс "Функции"
Функцию можно задать различными способами. Рассмотрим основные из них.
1. Формула[понятие: Формула (valem) – правило, записанное с помощью математических символов.], или аналитический способ задания
В этом случае дано равенство, с помощью которого для каждого значения х можно вычислить соответствующее значение у. Эта формула показывает, какие действия и в каком порядке нужно выполнить с конкретным значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции. Например, если функция задана формулой y = x2 + 1, то для каждого действительного числа x можно вычислить соответствующее значение функции. Задание функции с помощью формулы называется также аналитическим способом задания.
Функция может быть задана и с помощью нескольких формул. Такова, например, функция (или y = |x|).
2. График[понятие: График (graafik) – представление функции с помощью множества точек координатной плоскости.]
График позволяет представить функцию гораздо нагляднее. Многие свойства функции яснее видны на графике, чем по формуле. Графиком функции f является множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции (рис. 2.10, а). Чаще всего график – это некоторая линия. Однако не всякая линия является графиком какой-либо функции. Дело в том, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение f (x). Поэтому на графике функции не может быть нескольких точек с одинаковыми абсциссами, но разными ординатами.
Обычно на чертеже изображают только часть графика функции. График может быть непрерывной линией, состоять из отдельных точек или из нескольких частей (линий и отдельных точек). Например, график функции, рассмотренной в примере 1 раздела 2.2.1, состоит из 5 точек (рис. 2.10, б). Графиком функции
Рис. 2.10 |
||||||
3. Таблица[понятие: Таблица (tabel) – представление связанных между собой значений переменных, записываемое по строкам или столбцам. ]
Таблица, которой задается функция, состоит из двух строк или столбцов. В одной строке (столбце) записываются значения аргумента x, в другой строке (столбце) записываются соответствующие значения функции. Такова, например, таблица в задании 231. До начала массового применения калькуляторов люди пользовались при вычислениях таблицей квадратов чисел (т. е. таблицей функции y = x2, x ∈ N), кубов чисел и таблицей квадратных корней. Табличным представлением функции часто пользуются как вспомогательным средством при построении графика функции, заданной некоторой формулой.
4. Числовые пары[понятие: Числовые пары (arvupaarid) – задание функции с помощью всевозможных упорядоченных пар чисел, в которых на первом месте стоит значение аргумента, а на втором – соответствующее значение функции]
При таком способе задания функции образуют упорядоченные пары чисел, в которых на первом месте стоит значение аргумента, а на втором – соответствующее значение функции.
Например, пусть дана функция y = |x|, где X = {–2; –1; 0; 1; 2}. Эту функцию можно задать как множество числовых пар {(–2; 2); (–1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 2)}.
Пример 1.
Основная зарплата продавца равна 1000 евро в месяц. Если объем продажи за месяц превышает 30 000 евро, то продавцу платят 40% от основной зарплаты и дополнительно 2% от оборота, т. е. от объема продажи. Найдем формулу для вычисления месячной зарплаты у в зависимости от оборота х.
Эта зарплата неизменна, пока оборот не превысит 30 000 евро. Если x ∈ [0; 30 000], то y = 1000.
Если x > 30 000, то y = 0,4 · 1000 + 0,02x = 400 + 0,02x.
Короче это можно записать так:
График этой функции изображен на рисунке 2.11.
Пример 2.
Инженеры автозавода измерили зависимость длины тормозного пути автомобиля от его скорости и получили следующие данные.
Зависимость между этими величинами является функцией. Попробуем найти по этим данным общую формулу, позволяющую найти длину s тормозного пути (в метрах) по известной начальной скорости v (км/ч). Для этого отметим соответствующие точки на координатной плоскости (рис. 2.12).
 Рис. 2.12 | ||||||
Как мы видим, эти точки не лежат на одной прямой. Из известных нам линий полученный график больше всего напоминает параболу (график квадратичной функции). Поскольку при начальной скорости 0 км/ч тормозной путь составит 0 м, то парабола должна проходить через начало координат. Уравнение такой параболы имеет вид y = ax2. Значение параметра а определим с помощью таблицы, например, так:
С помощью полученной формулы можно найти длину тормозного пути при любой начальной скорости, а также начальную скорость, если известна длина тормозного пути. Например, если скорость равна 100 км/ч, то тормозной путь составит 0,004 ⋅ 10 000 = 40 метров.
Упражнения
- Найдите формулу, выражающую зависимость длины s тормозного пути (в метрах) от начальной скорости v (км/ч).
Ответ: s = - Какова длина тормозного пути, если автомобиль начнет торможение при скорости 80 км/ч; 100 км/ч?
Ответ: при скорости 80 км/ч длина тормозного пути будет м, а при скорости 100 км/ч – м. - С какой скоростью ехал автомобиль, если для торможения ему потребовалось 62,2 м; 24,5 м?
Ответ: если для торможения потребовалось 62,2 м, то скорость была км/ч, а если 24,5 м, то км/ч.
- Сколько времени ушло на весь поход и сколько из этого времени – на привалы для отдыха?
Ответ: на весь поход ушло ч времени и из этого времени на привалы ушло ч. - Сколько километров прошел турист за первый час?
Ответ: за первый час турист прошел км. - Сколько времени ушло на прохождение первых 10 км; последних 10 км?
Ответ: на прохождение первых 10 км ушло ч, а на прохождение последних 10 км – ч. - Найдите область определения X соответствующей функции и множество Y ее значений.
Ответ: X =; Y = .
S =
- Начертите (с помощью компьютера) график этой функции, найдите ее область определения и множество значений.
Ответ: X =; Y = . - С помощью графика установите, при какой длине x площадь загона будет наибольшей.
Ответ: если x = . - Какой может быть в действительности длина меньшей стороны этого прямоугольника?
Ответ: длина меньшей стороны прямоугольника может быть от м до м.
Начертите график функции .
