Курс "Функции"
К настоящему времени мы изучили четыре вида зависимости между переменными х и у:
Все эти четыре случая объединяет общее свойство: дана формула, по которой каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у. Другими словами, задано правило, связывающее между собой величины х и у.
В окружающей действительности мы наблюдаем неисчислимое количество различных соответствий, которыми связываются те или иные объекты:
- каждому человеку соответствует его возраст в годах;
- каждому человеку, имеющему постоянное жительство в Эстонии, соответствует его личный код;
- каждому ученику 11 класса соответствует его номер в списке учеников класса;
- каждому кругу с радиусом r соответствует определенное число – площадь S этого круга и т. д.
Во всех рассмотренных случаях всегда присутствуют две величины. Каждая из этих величин может принимать различные значения из некоторого множества.
Если х обозначает произвольный элемент из некоторого множества величин (объектов), то говорят, что х есть переменная величина, или переменная[понятие: Переменная, или переменная величина (muutuja, muutuv suurus) – величина, которая в данной задаче или рассуждении может принимать различные числовые значения.]. В случае рассмотренных зависимостей всегда присутствуют две переменные величины. При изменении одной из них изменяется и другая величина. Например, если мы выберем ученика А, то ему соответствует один номер в списке класса, если же выберем другого ученика В, то ему соответствует уже другой номер и т. д. Одну из двух рассматриваемых величин мы изменяем сами, другая же изменяется в зависимости от первой.
Переменная, которой мы можем произвольно придавать значения из некоторого множества, называется независимой переменной[понятие: Независимая переменная, или аргумент (sõltumatu muutuja) – переменная, которой мы можем придавать произвольные значения из некоторого множества.] (аргументом[понятие: Аргумент – см. независимая переменная.]). Переменная, значения которой находят в соответствии с заданными значениями независимой переменной, называется зависимой переменной[понятие: Зависимая переменная (sõltuv muutuja) – переменная, значения которой находят в соответствии с заданными значениями независимой переменной.].
Например, радиус круга r можно рассматривать как независимую переменную, а его площадь S – как зависимую переменную, значения которой вычисляются в зависимости от значения r по формуле S = πr2.
В окружающей действительности можно найти примеры и таких двух величин, которые обе изменяются, но значения одной из них не определяют значений другой. Например, нельзя точно определить, как связаны изменение роста человека с изменением его веса, время, затрачиваемое на изучение математики и полученные оценки и т. п.
В большинстве рассмотренных в предыдущих разделах соответствий каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такие зависимости называются функциями[cноска: Понятие функции ввел в употребление немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Leibniz) в конце XVII века.].
[cноска: Funktsiooni mõiste võttis kasutusele saksa matemaatik Gottfried Wilhelm Leibniz 17. sajandi lõpul.]Если каждому значению независимой переменной х из множества Х поставлено в соответствие одно определенное значение зависимой переменной у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция[понятие: Функция (funktsioon) – правило (или зависимость), при котором каждому значению независимой переменной ставится в соответствие одно определенное значение зависимой переменной.].
Рис. 2.8 | ||||||
Множество X называется областью определения[понятие: Область определения функции (funktsiooni määramispiirkond) – множество всех возможных (или заданных) значений независимой переменной, при которых существует (можно вычислить) значение функции. Обозначается буквой 𝑋.] функции. Что же касается множества Y, которому принадлежат значения переменной y, то на него накладывается только одно требование: оно должно содержать все значения переменной у, которые соответствуют всевозможным значениям x из множества Х. В дальнейшем мы будем предполагать, что других элементов множество Y не содержит. В этом случае множество Y называется областью изменения[понятие: Область изменения функции – см. множество значений функции.] или множеством значений[понятие: Множество значений функции (funktsiooni muutumispiirkond) – множество всех значений рассматриваемой функции. Обозначается буквой 𝑌.] функции (рис. 2.8).
Область определения функции – это множество X значений независимой переменной x (аргумента). Область изменения функции – это множество Y всех значений зависимой переменной y, т. е. множество всех значений функции.
Мы будем рассматривать только числовые функции, т. е. такие, что X и Y есть числовые множества.
Соответствие, с помощью которого задана функция, обозначают так: y = f (x), где x ∈ X и y ∈ Y, а f – то правило, по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие значение функции. Такое соответствие можно обозначать и другими буквами, например, y = g(x).
Величина f (x) обозначает значение функции f, соответствующее значению аргумента х.
Запись f (a) обозначает значение функции y = f (x), соответствующее значению аргумента x = a (т. е. значение функции в точке а). Например, f (3) обозначает значение функции f в точке х = 3.
Если область определения функции не указана заранее, то областью определения функции считают множество всех тех чисел х, для которых можно найти соответствующее значение f (x).
Пример 1.
Пусть даны множества X = {1; 2; 3; 4; 5} и Y = {6; 7; 8; 9; 10}. Рассмотрим заданную на множестве X функцию f (x) = x + 5. Тогда для любого х ∈ X соответствующее значение функции f (x) ∈ Y. Область определения, и множество значений этой функции содержат по 5 элементов.
Пример 2.
Рассмотрим функцию f (x) = 2x – 1. Областью определения этой функции является множество R всех действительных чисел, поскольку значение выражения 2х – 1 можно вычислить для любого числа х. Например, f (0) = 2 · 0 – 1 = –1; f (1) = 2 · 1 – 1 = 1 и т. д. Множеством значений рассматриваемой функции также является множество R всех действительных чисел. Убедитесь в этом с помощью графика этой функции.
Пример 3.
Области определения функции
Пример 4.
Область определения функции
Пример 5.
Значение у функции
.
Множеством решений первого неравенства является (−∞; −1)∪(−1; ∞) и область определения функции образуют общие решения двух неравенств, откуда X = [0; ∞).
Упражнения
- стоимость проездного билета и длина поездки;
- сторона квадрата и площадь квадрата;
- длина медного провода и температура этого провода;
- давление воды, испытываемое подводной лодкой, и глубина погружения лодки;
- скорость движения автомобиля и количество бензина в его бензобаке;
- время, прошедшее с начала равномерного движения, и пройденное за это время расстояние.
f (0) =
f (–1) =
f (0,5) =
f (–3) =
- Какие величины являются здесь переменными?
- Какая из них является независимой, а какая – зависимой переменной?
Ответ: независимой переменной является , а зависимой переменной – . - Задает ли эта таблица функцию? Почему? При утвердительном ответе запишите область определения X и множество значений Y этой функции.
X =
Y =
X =
Y =
X =
Y =
