Üleslükkejõud vedelikus ja gaasis

Katse näitas, et vees oli kivi 0,5 N kergem kui õhus, soolalahuses 0,6 N kergem ja õlis 0,4 N kergem. Pilleriin tegi katsest esimese järelduse: „See, kui palju keha vedelikus kergem on, sõltub sellest, millises vedelikus keha asub.”

Selle peale pakkus vanaisa välja järgmise katse. Ta tõi kaks erineva suurusega rohu­purki, kallas nendesse liiva, et kivi ja purkide massid oleks võrdsed. „Mida te arvate, mida näitab nüüd dünamomeeter, kui kehad vette sukeldada?” küsis vanaisa. „Ühepalju,” pakkus Pilleriin.

Seekord katsetati ainult veega. Katsest selgus, et mida suurem oli keha ruumala, seda kergem keha oli. Kivi oli endiselt 0,5 N kergem, väiksem rohupurk, mille ruumala oli kivi ruumalast suurem, oli 0,8 N kergem ja kõige suurema ruumalaga purk kogunisti 1,0 N kergem. „Kui võtta veel suurem purk, siis peaks see vee peal ujuma,” arvas Paul.

Vanaisa katsetest selgus, et see, kui palju on keha vedelikus kergem, sõltub vedelikust ja vedelikus oleva keha ruumalast.

Vanaisa selgitus. Kehadele vedelikus mõjub vedeliku poolt ülespoole mõjuv jõud. Seda jõudu nimetatakse üleslükkejõuks. Üleslükkejõud tekib sellest, et vedelik avaldab sellesse sukeldatud kehale rõhku. Vedelikusamba rõhk sõltub samba kõrgusest ja seetõttu mõjub keha sügavamal olevatele osadele suurem jõud kui madalamal olevatele osadele. Rõhkude erinevus tekitabki üleslükkejõu.

Selle jõu avastas loo ühe versiooni järgi üle 2000 aasta tagasi vanakreeka õpetlane Archimedes, kes vannis olles tundis, et vees muutub keha kergemaks. Te ju mäletate lugu, kuidas ta „Heureka!” hüüdes vannist välja hüppas.

Vaatame lihtsat juhtu, kui vedelikus on risttahukakujuline keha põhja pindalaga S ja kõrgusega h, mille ülemine ja alumine tahk on paralleelsed vee pinnaga. Vedelik avaldab tahkudele rõhku risti tahu pinnaga. Külgpindadele mõjuvad jõud on tasakaalus, sest samal sügavusel on rõhk nii paremale kui ka vasakule küljele ühesugune ja seetõttu on ühesugused ka rõhust tingitud jõud. Ülemisele ja alumisele tahule mõjuvad jõud on aga erinevad. Alumine tahk asub sügavamal kui ülemine tahk. Seetõttu rõhub vedelik alumisele tahule suurema jõuga kui ülemisele tahule. Kehale tervikuna avaldab vedelik üleslükkejõudu, mis on võrdne alumisele ja ülemisele tahule mõjuvate jõudude vahega,

F_ü = F₂ – F₁.

Kasutades vedelikusamba rõhu valemit, tuletame üleslükkejõu valemi. Oletame, et risttahuka ülemine pind on vedelikus sügavusel h₁. Sel juhul on rõhk ülemisel pinnal

p₁ = ρgh₁.

Ülemisele tahule ülalt alla suunatud jõu saame, kui korrutame rõhu selle tahu pindalaga S:

F₁ = p₁S = ρgh₁S.

Samal viisil arvutame alumisele tahule mõjuva ülespoole suunatud jõu. Alumine tahk on sügavusel h₂ = h₁ + h, seal on rõhk

p₂ = ρgh₂ = ρg(h₁ + h) = ρgh₁ + ρgh = p₁ + ρgh.

Korrutades rõhu põhja pindalaga S, saame alumisele pinnale mõjuva jõu:

F₂ = p₁S + ρghS = F₁ + ρgV,

kus me arvestasime, et risttahuka põhjapindala korrutis kõrgusega annab risttahuka ruumala (V = Sh).

Alumisele pinnale ja ülemisele pinnale mõjuvate jõudude vahe annab kehale vedelikus mõjuva üleslükkejõu:

F_ü = F₂ – F₁ = ρgV.

Näeme, et üleslükkejõud sõltub vedeliku tihedusest ja vedelikus oleva keha ruum­alast. Kui katsed näitasid, et üleslükkejõud sõltub vedelikust ja keha ruumalast, siis valem annab täpse seose, kuidas üleslükkejõudu arvutada. Meie tuletasime valemi lihtsa erijuhu jaoks, kuid saadud valem on üldine ja kehtib mistahes kujuga kehade korral.

Üleslükkejõu valemit tuntakse ka Archimedese seadusena:

Analüüsime saadud tulemust. Vedeliku tiheduse ja keha ruumala korrutis annab meile keha ruumalaga võrdse vedelikuhulga massi m_v = ρV. Seega on üleslükkejõud arvuliselt võrdne sellele vedelikuhulgale mõjuva raskusjõuga:

F_ü = ρgV = m_vg.

Selle kohta öeldakse, et üleslükkejõud on võrdne vedelikus oleva keha poolt välja tõrjutud vedelikule mõjuva raskusjõuga. Kui paneme keha vedelikku, siis ta tõrjub sellest piirkonnast oma ruumalaga võrdse vedelikuhulga välja. Kui anum on vedelikuga ääreni täidetud, voolab vedelikuhulk ruumalaga V üle ääre, kui ei, siis tõuseb vastavalt vedeliku tase.

Kasutame vanaisa tehtud esimese katse andmeid ja teeme mõned lisamõõtmised. Kivile mõjus raskusjõud 1,2 N. Kui kivi sukeldati vette, näitas dünamomeeter 0,7 N. Sellest saame, et vees mõjus kivile üleslükkejõud 0,5 N.

Mõõdame ära kivi ruumala, kasutades näiteks ülevooluanumat ja lastes kivi poolt väljatõrjutud vee voolata mõõtesilindrisse. Kui mõõtesilindrit käepärast ei ole, leiame kaalumisega väljatõrjutud vee massi ja arvutame kivi ruumala vee tiheduse kaudu. Selgub, et kivi ruumala on 50 cm³. Lähtudes vee tihedusest ja kivi ruumalast, arvutame üleslükkejõu:

F_ü = 1000 · 10 · 0,00005 N = 0,5 N,

kus vee tihedus ρ = 1000 $\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^{\text{3}}}$, g = 10 $\frac{\text{N}}{\text{kg}}$ ja V = 50 cm³ = 0,00005 m³. Näeme, et arvutus kinnitab katses saadud tulemust.

Sama moodi nagu vedelikes mõjub kehadele üleslükkejõud ka gaasides, olles võrdne keha poolt väljatõrjutud gaasile mõjuva raskusjõuga. Nii mõjub üleslükkejõud ka kõikidele õhus olevatele kehadele. Seda me enamasti ei arvesta, sest õhu tihedus on väga väike, 1,29 $\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^{\text{3}}}$. Nii oleks ühe kuupmeetrise ruumalaga keha korral üleslükkejõud 1,29 · 10 N = 12,9 N, mis on tavaliselt sellise ruumalaga kehale mõjuvast raskusjõust oluliselt väiksem. Täpsematel mõõtmistel tuleb ka õhu üleslükkejõudu arvestada.

Üleslükkejõu tõestuseks õhus võib teha järgmise katse.

Kuidas sellist tulemust põhjendada? Õhupalli ja ballooni kogumass ju katse käigus ei muutu. Me lasime ainult osa balloonis olevat õhku õhupalli. Muutub aga üleslükkejõud. Täidetud õhupalli ruumala suurenes ja seetõttu suurenes ka õhupallile mõjuv üleslükkejõud. Kui näiteks palli ruumala suureneb 1 dm³ võrra, on palli poolt välja tõrjutud õhu mass umbes 1,3 g ja üleslükkejõud suureneb 13 mN. Kaalu näit väheneb 1,3 g, sest õhupall koos ballooniga mõjub kaalukausile 13 mN väiksema jõuga. Meie katses vähenes kaalu näit 4 g võrra, järelikult õhupalli ruumala suurenes 3 dm³ võrra.

1. Vasta õppetüki alguses olevatele küsimustele.