Учитель математики сказал в конце урока: «Сегодня я задам вам на дом задачу о розах».
У цветочницы Розалии есть две вазы с розами. В одной вазе 18 красных, в другой – 24 желтые розы. Розалия хочет составить из этих роз одинаковые букеты, причем в каждом букете должно быть одно и то же число красных роз и одно и то же число желтых роз (отличное от числа красных роз). Сколько таких букетов можно составить?
Учитель посоветовал сначала повторить, что такое делитель числа (см. §2.8).
 | ||||||||||||
На следующем уроке начали обсуждать эту задачу. Многие ученики посчитали возможным числом букетов 6, в каждом по 3 красных и по 4 желтых розы. Вовочка заявил, что букетов может быть и 4. Против этого возразила Люба: «18 красных роз нельзя разделить поровну между 4 букетами!»
Что ты думаешь об этих рассуждениях? Есть ли другие решения этой задачи?
После объяснений учителя всем ученикам стало ясно, что на число букетов должны делиться оба числа 18 и 24. Это число должно быть делителем обоих чисел, то есть их общим делителем.
Общим делителем данных чисел называется такое число, на которое делится каждое из данных чисел.
Например, делителями чисел 18, 27 и 45 будут соответственно:
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18;
27: 1, 3, 9, 27;
45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Общими делителями чисел являются подчеркнутые числа 1, 3 и 9.
Среди общих делителей данных чисел всегда найдется наибольшее число – наибольший общий делитель этих чисел (сокращенно: НОД).
Наибольшим общим делителем чисел 18, 27 и 45 является 9.
Чисел | Делители | Общие делители | Наибольший общий делитель |
9 и 12 | 9: , , 12: , , , , , | , | |
5 и 15 | 5: , 15: , , , | , | |
12 и 18 | 12: , , , , , 18: , , , , , | , , , | |
12 и 24 | 12: , , , , , 24: , , , , , , , | , , , , , | |
7 и 9 | 7: , 9: , , |
Для небольших чисел легко подобрать их наибольший общий делитель. А если числа большие? В таком случае разложим их на простые множители и будем следовать правилу: наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей данных чисел.
 |
||||||||
Найдем наибольший общий делитель чисел 630 и 252.
Объяснение. Разложим эти числа на простые множители и подчеркнем все общие множители в обоих разложениях: 2, 3, 3 и 7. Произведение этих общих множителей 2 · 3 · 3 · 7 = 126 и будет искомым наибольшим общим делителем.
Упражнения A
 |
||||||||
- какое число называется общим делителем двух чисел?
- какое число называется наибольшим общим делителем двух чисел?
- Нужно построить первый взвод в колонну так, чтобы солдатиков в каждом ряду было поровну. Сколько имеется возможностей?
Ответ: имеется возможностей: . - Нужно построить второй взвод в колонну так, чтобы солдатиков в каждом ряду было поровну. Сколько имеется возможностей?
Ответ: имеется возможностей: . - Нужно построить оба взвода в одну колонну (один взвод рядом с другим) так, чтобы в каждом ряду было солдатиков поровну. Сколько имеется возможностей?
Ответ: имеется возможностей: .
Упражнения Б
 |
||||||||
Ответ: таких возможностей всего . Наибольшее число групп есть .
Ответ: каждый букет стоил € с.
Ответ: наибольший общий делитель этих чисел равен .
