Рассмотрим зависимость, заданную формулой y = ax2 + n, где a и n – заданные числа и a ≠ 0.
И в данном случае высший показатель степени аргумента x равен 2, потому эта формула также задает квадратичную функцию. Заметим, что рассматриваемая функция есть также частный случай квадратичной функции общего вида y = ax2 + bx + c. Чтобы убедиться в этом, возьмем коэффициент b в формуле y = ax2 + bx + c равным нулю и обозначим коэффициент c буквой n.
Выясним, как получить график квадратичной функции y = ax2 + n, если задан график функции y = ax2. Для этого построим в одной системе координат, например, графики квадратичных функций y = 2x2 и y = 2x2 + 3. Сначала составим таблицу соответствующих значений переменных x и y.
Из таблицы видно, что все значения квадратичной функции y = 2x2 + 3 на 3 единицы больше значений квадратичной функции y = 2x2, соответствующих тому же значению аргумента. Но это значит, что график квадратичной функции y = 2x2 + 3 получается путем сдвига параболы y = 2x2 на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.
 | ||||||
Значит графиком квадратичной функции y = 2x2 + 3 является парабола такой же формы, что и парабола y = 2x2. Вершиной параболы y = 2x2 + 3 будет точка (0; 3). Так же можно показать, что при сдвиге параболы y = 2x2 на 3 единицы вниз вдоль оси Оу получается график квадратичной функции y = 2x2 – 3. Следовательно, графиком квадратичной функции y = 2x2 – 3 является парабола той же формы, что и две предыдущие. Вершиной последней параболы является точка (0; –3).
Подведем итог:
график квадратичной функции y = ax2 + n получается путем сдвига вдоль оси ординат графика квадратичной функции y = ax2 на n единиц вверх, если n > 0, и на |n| единиц вниз, если n < 0.
При таком сдвиге ось параболы остается прежней, но сдвигается ее вершина.
Получим, что
графиком квадратичной функции y = ax2 + n является парабола, симметричная относительно оси ординат и вершина которой расположена в точке (0; n).
 |
||||||||
Для построения графика квадратичной функции y = 3x2 – 3 начертим сначала параболу y = 3x2. Затем сдвинем эту параболу на 3 единицы вниз вдоль оси Оу, в результате чего вершина параболы переместится в точку (0; –3). Получим график квадратичной функции y = 3x2 – 3 (см. рисунок).
Этот график пересекает ось абсцисс в точках A(–1; 0) и B(1; 0). При значениях аргумента x = –1 и х = 1 значения квадратичной функции y = 3x2 – 3 равны нулю. Эти значения аргумента x называются нулями функции.
 | ||||||||
Значения аргумента x, для которых значение функции равно нулю, называются нулями этой функции.
Пусть x1 и x2 – нули квадратичной функции y = ax2 + n. Для этих значений аргумента х получим y = 0, т. е. ax2 + n = 0. Следовательно, x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + n = 0. Обратно, корни квадратного уравнения ax2 + n = 0 являются нулями квадратичной функции y = ax2 + n. На этом факте основан метод графического решения квадратного уравнения.
Часто для решения той или иной проблемы не требуется точное построение графика, а достаточно лишь сделать его эскиз. Эскиз графика квадратичной функции можно начертить без труда, зная ответы на следующие вопросы.
- Куда направлены ветви параболы (в зависимости от коэффициента a)?
- В каких точках парабола пересекает ось Ох (нули функции)?
- В какой точке расположена вершина параболы?
 |
||||||||
Сделаем эскиз графика квадратичной функции y = 2x2 – 8.
Так как коэффициент a в формуле данной функции положителен, то ветви параболы направлены вверх. Вершиной этой параболы должна быть точка H(0; –8). Найдем теперь нули функции, т. е. значения аргумента х, при которых график функции y = 2x2 – 8 пересекает ось Ох.
Чтобы найти нули функции, решим уравнение 2x2 – 8 = 0. Получим x2 = 4, откуда x1 = –2 и x2 = 2.
Наконец, отметим на координатной плоскости нули функции y = 2x2 – 8 и вершину параболы, после чего сделаем эскиз графика функции (см. рисунок).
 | ||||||
Упражнения A
 |
||||||||
Для каждого графика найди нули функции, координаты вершины параболы и наибольшее значение квадратичной функции. Если нулей у функции нет, то запиши в пробелы дефис (-).
Квадратичная функция | Нули | Координаты вершины | Наибольшее значение |
y = –2x2 | x1 = | (; ) | |
y = –2x2 + 2 | x1 = | (; ) | |
y = –2x2 – 2 | x1 = | (; ) |
- В какую сторону (вверх или вниз) направлены ветви графиков этих функций?
Ответ: - Как нужно сдвинуть параболу y = 4x2, чтобы получить график квадратичной функции y = 4x2 + 1 (график функции y = 4x2 – 1)?
Ответ: - Каким образом можно совместить параболу y = 4x2 + 1 с параболой y = 4x2 – 1?
Ответ: параболу y = 4x2 + 1 нужно сдвинуть на единиц(ы) . - Чем отличаются координаты вершин парабол y = 4x2 + 1 и y = 4x2 – 1?
Ответ: они отличаются . - Как расположены вершины этих двух парабол относительно вершины параболы y = 4x2?
Ответ: - Какая линия является общей осью всех трех парабол?
Ответ: общей осью всех трех парабол является .
Ответ: в результате получится график функции y = .
Ответ: получится график функции . Нули этой функции есть x1 = и x2 = .
Найди для каждой параболы координаты вершины.
Парабола I | Парабола II | Парабола III | Parabool IV | |
Координаты вершины |
Ответ: x1 = , x2 =
Корнями какого квадратного уравнения они являются? Сделай проверку.
Упражнения Б
 |
||||||||
I y =
II y =
III y =
IV y =
V y =
Подсказка
Таким образом, искомой формулой является y = 0,5x2 + 1,5.
- Почему эти фары изготавливают с параболическим осевым сечением (см. задание 217)?
- Найди формулу соответствующей квадратичной функции.
Формулу запиши без пробелов, коэффициент записывай либо в виде (a/b), либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Показатель степени квадрата вводи с помощью кода Alt+0178 или после символа ^, либо копируй отсюда: ².
Ответ: формула этой функции есть y = .
Ответ: h1 = h6 = м, h2 = h5 = м, h3 = h4 = м.
