Квадратичная функция y = a(x + m)2 и ее график

Рассмотрим теперь функцию, которая задана формулой y = a(x + m)2.

Эта формула задает также квадратичную функцию, поскольку после раскрытия скобок аргумент нужно и здесь возвести в квадрат. Если раскрыть скобки, то функция будет выражаться формулой y = ax2 + 2amx + am2. Проверь!

Так как буквы a и m обозначают заданные числа, то можно ввести новые обозначения: 2am = b и am2 = c. Тогда получим, что функция выражается в виде y = ax2 + bx + c. Значит рассматриваемая функция есть квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c, но записанная иначе.

Выясним теперь, как получить график этой функции, пользуясь графиком квадратичной функции y = ax2. Рассмотрим для этого функции y = 3x2 и y = 3(x – 2)2. Составим для них таблицу соответствующих значений переменных x и y.

Из таблицы видно, что квадратичная функция y = 3(x – 2)2 on принимает те же значения, что и функция y = 3x2. Однако эти значения соответствуют не одинаковым значениям аргумента х, а некоторым образом «сдвинуты». Квадратичная функция y = 3(x – 2)2 принимает, например, значение 0 при х = 2, а функция y = 3x2 при х = 0, т. е. при значении х, которое на 2 меньше. То же самое наблюдается и для всех других значений функции. Проверь это для произвольных значений функции!

Сказанное означает, что графики этих двух функций имеют одинаковую форму, но сдвинуты относительно друг друга. Отметив найденные точки на координатной плоскости (см. рисунок), мы видим, что график функции y = 3(x – 2)2 получается сдвигом графика функции y = 3x2 на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Так же можно убедиться, что для получения графика квадратичной функции y = 3(x + 2)2 нужно сдвинуть график функции y = 3x2 на 2 единицы влево вдоль оси Ох.

График квадратичной функции y = a(x + m)2 получается путем сдвига вдоль оси абсцисс графика квадратичной функции y = ax2 на m единиц влево, если m > 0, и на |m| единиц вправо, если m < 0.

При этом происходит также сдвиг вершины параболы и ее оси. Отсюда следует, что

вершиной параболы y = a(x + m)2 является точка (–m; 0), а осью – перпендикулярная оси абсцисс прямая, проведенная через эту точку.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

250. Квадратичная функция y = a(x + m)2 и ее график

Начерти график функции y = 2x2 и затем с помощью этого графика начерти график квадратичной функции:

  1. y = 2(x + 1)2
  2. y = 2(x – 2)2
  1. y = –2x2
  2. y = –2(x + 3)2
  1. y = 2(x – 1)2
  1. Куда направлены ветви графиков этих квадратичных функций?
    Ответ: ветви графиков этих функций направлены .
  2. Куда нужно сдвинуть параболу y = 3x2, чтобы получить параболы y = 3(x + 2)2 и y = 3(x – 2)2?
    Ответ: чтобы получить параболу y = 3(x + 2)2, нужно сдвинуть параболу y = 3x2  на  единиц(ы) , а для получения параболы y = 3(x – 2)2 нужно сдвинуть параболу y = 3x2 на  единиц(ы) .
  3. Куда нужно сдвинуть параболу y = 3(x + 2)2, чтобы получить параболу y = 3(x – 2)2?
    Ответ: параболу y = 3(x + 2)2 нужно сдвинуть на   единиц(ы) .
  4. Чем отличаются координаты вершин парабол y = 3(x + 2)2 и y = 3(x – 2)2?
    Ответ:  координаты вершин этих парабол отличаются .
  5. Как расположены вершины парабол y = 3(x + 2)2 и y = 3(x – 2)2 относительно вершины параболы y = 3x2?
    Ответ: они расположены .
  6. Каково взаимное расположение осей этих трех парабол?
    Ответ: оси этих парабол .

Вершина попала в точку

Получится график функции

(–2; 0)?

y =  .

(5; 0)?

y =  .

(m; 0)?

y =  .

Формулу функции записывай без пробелов. Показатель степени квадрата вводи с помощью кода Alt+0178 или после символа ^, либо копируй отсюда: ².

Объясни, как из параболы I можно получить каждую из остальных.

Найди для каждой параболы координаты ее вершины и объясни, как расположены оси этих парабол.

Ответ: координаты вершины параболы I есть ; , координаты вершины параболы II  – ; , координаты вершины параболы III есть ; , а вершина параболы IV есть; . Оси симметрии этих парабол .

  1. Найди формулы квадратичных функций для парабол I и II с помощью отмеченных на рисунке точек графиков. Формулы записывай без пробелов. Показатель степени квадрата вводи с помощью кода Alt+0178 или после символа ^, либо копируй отсюда: ².
    Ответ: формула квадратичной функции I есть y = , формула функции II есть y = .
  2. Найди формулы всех остальных квадратичных функций, опираясь на формулы, полученные в предыдущем пункте.
    Ответ: формула квадратичной функции III есть y = , формула функции IV есть y = , формула функции V есть y = , формула функции VI есть y = .
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б
  1. Какие значения принимает квадратичная функция y = 2(x + 2)2 если x ∈ {–2; –1; 0}?
    Ответ: y ∈ {; ; }
  2. При каких значениях аргумента х квадратичная функция y = 2x2 принимает соответственно такие же значения, что и найденные в предыдущем пункте?
    Ответ: первое из найденных значений функция y = 2x2 принимает, если x = ; второе из значений – если x =  или x = ; Третье из значений – если x =  или x = .
  3. При каком значении аргумента эти функции имеют равные значения? Что происходит с графиками этих функций при таком значении аргумента?
    Ответ: эти функции имеют равные значения, если x = . При этом значении аргумента графики этих функций .

Подсказка
Сначала преобразуй формулу функции к виду y = a(x + m)2.

257. Квадратичная функция y = a(x + m)2 и ее график

Начерти график квадратичной функции y = 3x2 – 6x + 3, пользуясь графиком функции y = 3x2.

258. Квадратичная функция y = a(x + m)2 и ее график

Начерти график квадратичной функции y = 2x2 – 12x + 18.

Seotud sisu
Muud tegevused