Дробные уравнения

Задание 347. Скорость лодки

Ответ:. скорость движения лодки в стоячей воде равна  км/ч.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно составить уравнение.

Пусть скорость движения лодки в стоячей воде равна x км/ч. Тогда на путь по течению ушло \frac{28}{x+3} часов, а на путь против течения \frac{28}{x-3} часов. Так как на всю поездку ушло 7 часов, то получим уравнени \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7.

Мы получили уравнение нового типа, которое содержит неизвестное в знаменателе.

Уравнение, содержащее неизвестное в знаменателе, называется дробным уравнением.

Дробным уравнением будет, например, уравнение \frac{2}{x-3}=5, а уравнение \frac{x-5}{2}=7 не является дробным.

Для решения дробных уравнений имеются различные способы.

Чаще всего все члены уравнения переносят в одну из частей (обычно в левую), приводят дроби к общему знаменателю и представляют полученное выражение в виде одной алгебраической дроби. Затем применяют признак равенства дроби нулю:

дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю и знаменатель отличен от нуля.

В соответствии с этим признаком приравнивают к нулю числитель дроби, решают полученное уравнение и исключают из полученного множества решений (корней) такие, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Если дробное уравнение получено в процессе решения какой-нибудь задачи с конкретным содержанием, то при исключении корней нужно учитывать и вытекающие из условия задачи дополнительные ограничения. Например, при решении задач на вычисление размеров фигур, площади, скорости, длины пути и т. д. отрицательные значения корней не подходят в качестве ответа, и их нужно исключить.

Другой способ решения дробных уравнений заключается в представлении такого уравнения в виде пропорции.

Рассмотрим различные способы решения дробных уравнений на основе приведенных ниже примеров 1–3.

Пример 1.

Решим полученное в задаче 347 дробное уравнение с помощью признака равенства дроби нулю. В уравнении \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7. перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю:

28x + 3+x - 328x - 3-x + 37x2 - 9=0;

28x - 3 + 28x + 3 - 7x2 - 9x + 3x - 3=0.

Согласно признаку равенства дроби нулю получим два условия:

28x-3+28x+3-7x2-9=0   (1)x+3x-3≠0                                   (2)

Решим уравнение (1):

28x – 28 ⋅ 3 + 28x + 28 ⋅ 3 – 7x2 + 63 = 0
​–7x2 + 56x + 63 = 0
x2 – 8x – 9 = 0​
x1 = 9 ja x2 = –1​

Проверим, являются ли найденные корни уравнения также и решениями задачи. Оба эти числа удовлетворяют условию (2). Поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения. В то же время, число х2 = –1 не может быть решением задачи 347, так как очевидно, что лодка не может двигаться со скоростью –1 км/ч.

Проверим корень x1 = 9 на соответствие условию задачи:

Vпо течению = 9 + 3 = 12 (км/ч) и tпо течению = \frac{28}{12} = 2\frac{1}{3} (ч),

Vпротив течения = 9 – 3 = 6 (км/ч) и tпротив течения = \frac{28}{6} = 4\frac{2}{3} (ч).

Поэтому вся поездка туда и обратно заняла:

213+423=7 (ч), что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость движения лодки в стоячей воде равна 9 км/ч.

Пример 2.

Решим дробное уравнение \frac{1}{x}=\frac{x-1}{2} с помощью основного свойства пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

2 = x(x – 1)
x2 – x – 2 = 0​
x1 = –1 и x2 = 2.​

Поскольку ни один из полученных корней не обращает в нуль знаменатель исходной дроби, то оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: x1 = –1 и x2 = 2.

Пример 3.

Решим уравнение 15x2x - 6+9x2 - 9=x2x + 6.

Перенесем все члены в левую часть, разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

15x2x - 3+x + 39x - 3x + 3-2x2x + 3x - 3=0;

15xx + 3 + 18 - xx - 32x - 3x + 3=0.

В соответствии с признаком равенства дроби нулю:

15xx+3+18-xx-3=0   (1)2x-3x+3≠0                     (2)

Решим уравнение (1):

15x(x + 3) + 18 – x(x – 3) = 0;
15x2 + 45x + 18 – x2 + 3x = 0;​
14x2 + 48x + 18 = 0 |: 2;​
​7x2 + 24x +9 = 0;
​x1 = –3 ja x2 = -\frac{3}{7}.

Проверим, удовлетворяют ли полученные значения х условию (2). Очевидно, что при x = –3 условие (2) не выполнено. Поэтому число –3 не является корнем исходного дробного уравнения.

Проверим, удовлетворяет ли второе значение x=-\frac{3}{7} исходному уравнению.

Левая часть: 15 · -372 · -37 - 6+9-372- 9 = -45-48+49-48 = -112.

Правая часть: -372 · -37 + 6 = -3-6 + 42 = -112.

Следовательно, x=-\frac{3}{7} является корнем уравнения.

Ответ: x=-\frac{3}{7}.

Ще на цю тему
Інші дії

Упражнения A

Задание 348. Какие значения не может принимать переменная?

\frac{3}{x-1}

\frac{x-1}{x-2}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{2x}{x+1}

\frac{3x}{x^2-1}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 5
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x+7}{x\left(x+3\right)}

\frac{2x+8}{\left(x-8\right)\left(x-5\right)}

  • –7
  • –3
  • –1
  • 0
  • 1
  • 3
  • –8
  • –5
  • –4
  • 4
  • 5
  • 8

\frac{3x+4}{x^2+1}

\frac{x^2-1}{x^2+x-2}

  • –4
  • –1,(3)
  • –1
  • 1
  • 1,(3)
  • 4
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
Задание 349. При каких значениях переменной выражение обращается в нуль?

\frac{3}{x-1}

\frac{x-1}{x-2}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{2x}{x+1}

\frac{3x}{x^2-1}

  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 5
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3

\frac{x+7}{x\left(x+3\right)}

\frac{2x+8}{\left(x-8\right)\left(x-5\right)}

  • –7
  • –3
  • –1
  • 0
  • 1
  • 3
  • –8
  • –5
  • –4
  • 4
  • 5
  • 8

\frac{3x+4}{x^2+1}

\frac{x^2-1}{x^2+x-2}

  • –4
  • –1,(3)
  • –1
  • 1
  • 1,(3)
  • 4
  • –2
  • –1
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
Задание 350. Решение дробных уравнений

\frac{x}{x-2}-\frac{3}{x}=1
x =

\frac{4}{3+x}+2=10
x =

2-\frac{2x+7}{x+2}+\frac{1}{x}=0
x =

\frac{3+x}{2+x}+\frac{2}{3}=0
x =

\frac{1}{x+x^2}-\frac{1}{x}=0

\frac{4}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=0

x-\frac{3}{x-1}=3

\frac{2}{x-2}-\frac{x}{2}=\frac{x}{x-2}

\frac{6}{x}+\frac{3}{x+2}=2

\frac{9-x}{2}+\frac{4}{x-2}=\frac{3x-3}{2}

7+\frac{1}{v-1}=\frac{v^2}{v-1}

\frac{x}{\left(x-1\right)^2}+\frac{11}{x^2-x}=\frac{1}{x\left(x-1\right)^2}

Задание 351. Решение дробных уравнений

\frac{x-7}{x-2}-1=0

\frac{8-x}{x-7}=\frac{1}{7-x}-1

\frac{8-x}{x-7}+\frac{1}{7-x}=-1

\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}

\frac{x}{x+5}-\frac{x+2}{2}=\frac{1}{5+x}

\frac{2x-5}{x-2}=\frac{3x-5}{x-1}

\frac{3x+4}{x+1}=x+2

\frac{2}{x-3}=\frac{6}{x\left(x-3\right)}

\frac{3x}{6-2x}-\frac{7-6x}{3x-x^2}+\frac{3}{2}=0

\frac{2x^2}{x+1}+1=\frac{2}{x+1}

\frac{2}{t-2}-\frac{t}{2}=\frac{t}{t-2}

\frac{2x+7}{x+2}=2+\frac{1}{x}

Задание 352. Найдите дробь

Ответ: эта дробь равна.

Задание 353. Найдите дроби

Ответ: первоначальная дробь равна , а полученная дробь –  .

Задание 354. Найдите натуральные числа

Ответ: эти натуральные числа есть  и .

Задание 355. Решение дробных уравнений

\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}

\frac{14}{3z-12}-\frac{2+z}{z-4}=\frac{3}{8-2z}-\frac{5}{6}

\frac{2t+1}{2t-6}=\frac{3}{t-3}-\frac{3}{2t^2-6t}

\frac{u-3}{u+4}+\frac{u-4}{2u-2}=\frac{1}{2}

\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x-x^2}=\frac{x-2}{x^2+x}

\frac{2t+1}{7-t}+\frac{4t+1}{7+t}=\frac{45}{49-t^2}+1

\frac{2\left(x+7\right)}{x+1}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+11}{x^2-1}+4

\frac{3x+2}{2x-1}+\frac{7-x}{2x+1}=\frac{7x-1}{4x^2-1}+5

Задание 356. Значение переменной

сумма дробей \frac{x+1}{x-5} и \frac{10}{x+5} равна произведению тех же дробей.

Ответ: x = .

разность дробей \frac{6}{x-4} и \frac{x}{x+2} равна произведению тех же дробей.

Ответ: x = .

Задание 357. Решение дробных уравнений

1+\frac{45}{x^2-8x+16}=\frac{14}{x-4}

\frac{5}{u-1}-\frac{4}{u^2-2u+1}=3

\frac{10}{x^2-4x-5}=\frac{3}{x-5}-\frac{x}{x+1}

\frac{7}{y^2+y-12}=\frac{y}{y+4}+\frac{1}{y-3}

\frac{x^2-3}{2x^2+x-1}=\frac{3}{x+1}

\frac{x^2+4}{3x^2-x-2}=\frac{2}{x-1}

Ще на цю тему
Інші дії

Упражнения Б

Задание 358. Решение дробных уравнений

\frac{2}{x^2-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1}

\frac{3}{y+2}-\frac{4}{y^2-2y+4}=\frac{1}{y^3+8}

\frac{30}{y^3+27}=\frac{2}{y+3}-\frac{y-5}{y^2-3y+9}

\frac{3x+2}{x^3-8}=\frac{5}{x^2+2x+4}-\frac{1}{x-2}

\frac{32}{x^3-2x^2-x+2}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{x+1}

\frac{1}{3\left(x-4\right)}+\frac{1}{2\left(x^2+3\right)}+\frac{1}{x^3-4x^2+3x-12}=0

\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0

\frac{1}{x^2+2x-3}+\frac{18}{x^2+2x+2}-\frac{18}{x^2+2x+1}=0

\frac{x^2+1}{x}+\frac{4x}{x^2+1}=5

Задание 359. Решение дробных уравнений

\frac{4}{x^3-8}-\frac{1}{\left(x-2\right)^3}=\frac{3}{x^3+2x^2+4x}

\frac{2}{8y^3+1}+\frac{4}{\left(2y+1\right)^3}=\frac{3}{4y^3+4y^2+y}

\frac{5y-8}{y^3-1}+\frac{2}{y^2-1}=\frac{7y}{y^3+2y^2+2y+1}

\frac{x^4-2x^3+3x^2}{x^4-x^2+4x-4}-\frac{x^2}{x^2+x-2}+\frac{x^2}{x^2-x+2}=1

Задание 360. Доказательство

Докажите, что лодка, скорость которой в стоячей воде равна a км/ч, затрачивает на прохождение \frac{b}{2}км по реке туда и \frac{b}{2} км обратно времени больше, чем при поездке по озеру. От чего и как зависит эта разница затраченного времени?

Ще на цю тему
Інші дії