Рассмотрим, например, уравнение ax = 3. Если нам требуется найти все пары чисел (x; a), которые удовлетворяют этому уравнению, то мы имеем дело с уравнением с двумя неизвестными. Одним из решений этого уравнения является x = 3, a = 1.
Однако уравнение ax = 3 можно рассматривать и как уравнение с одним неизвестным х, где а – некоторая постоянная. В этом случае говорят, что это содержащее параметр уравнение с одним неизвестным (или уравнение с параметром). Решить уравнение с параметром – это значит выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет решение и как выражается через параметр это решение, т. е. неизвестное х. Полезно также сначала найти область определения уравнения и те значения параметра, при которых существенно изменяется характер рассматриваемого уравнения. Общих правил решения уравнений с параметрами не существует, и ход решения зависит от числа параметров, от их расположения в уравнении и т. д.
Пример 1.
Решим уравнение (a2 – 1)x – (2a2 + a – 3) = 0, считая а параметром.
Область определения уравнения R. Приведем уравнение к виду (a + 1)(a – 1)x = (2a + 3)(a – 1). Рассмотрим три возможности.
- Если а = 1, то уравнение принимает вид 0 ⋅ x = 0 и корнем уравнения является любое число.
- Если a = –1, то уравнение принимает вид 0 ⋅ x = 2 и корней у него нет.
- Если a ≠ ±1, то .
Ответ: если a = 1, то корнем уравнения является любое число; если a = –1, то корней нет; если a ≠ ±1, то .
Пример 2.
Решим уравнение
.
Области определения уравнения принадлежат все числа, кроме x = 3 и x = –3. Исходное уравнение не определено и в случае, когда m = –2. Таким образом, x ≠ ±3, m ≠ –2.
Преобразовав данное уравнение, получим
3mx – 5 = (2m + 1)(x + 3) – 5(m + 2)(x – 3), или
3mx – 5 = 2mx + 6m + x + 3 – 5mx – 10x + 15m +30, или
3(2m +3)x = 21m + 38.
- Если 2m + 3 = 0, т. е. m = –1,5, то последнее уравнение принимает вид 0 ⋅ x = 6,5. Это уравнение не имеет решений.
- Если m ≠ –1,5, то . Однако нужно еще выяснить, при каких значениях параметра m неизвестное x принимает значения 3 и –3. Эти значения параметра придется исключить из рассмотрения, так как при х = ±3 знаменатели дробей в исходном уравнении обращаются в нуль.
21m + 38 = 3(6m + 9)
3m = –11
m =
21m + 38 = –3(6m + 9)
39m = –65
m =
Ответ: если m ≠ –2, m ≠ –1,5, и , то ; если m = –2, m = –1,5, или , то уравнение не имеет решений.
Пример 3.
Решим уравнение ax2 + 2x + 1 = 0. Область определения уравнения R.
- Если a = 0, то получим линейное уравнение 2x + 1 = 0, откуда x = –0,5.
- Если a ≠ 0, то = = .
Ясно, что в этом случае x принимает действительные значения, если 1 – a ≥ 0, т. е. при a ≤ 1.
Ответ: если a = 0, то x = –0,5; если a ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 1), то ; если a > 1, то корней нет.
