Координаты вектора, заданного своими началом и концом

Найдем координаты вектора \overrightarrow{AB} , если даны координаты начала А и конца В этого вектора, т. е. A(x1; y1) и B(x2; y2).

Рис. 6.48

Построим векторы \overrightarrow{OA} и \overrightarrow{OB} (рис. 6.48). Так как эти векторы являются радиус-векторами точек A и B, то

\overrightarrow{OA}=\left(x_1;\ y_1\right) и \overrightarrow{OB}=\left(x_2;\ y_2\right).

По правилу треугольника получим: \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}, откуда \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.

Переходя к координатам, получим, что

\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1\right). ♦

Чтобы получить координаты вектора, надо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Таким образом, если A(x1; y1) и B(x2; y2), то AB→=(x2-x1; y2-y1).

Пример 1.

Если A(–9; 11) и B(1; –4), то

\overrightarrow{AB} = \left(1-\left(-9\right);\ -4-11\right) = \left(10;\ -15\right).

Пример 2.

Найдем координаты конечной точки вектора \vec{a}=\left(2;\ 5\right), если его начальная точка имеет координаты \left(0;\ -5\right).

Решение. Координаты X и Y вектора \vec{a} выражаются через координаты концов вектора в виде X = x2 – x1 и Y = y2 – y1. Поэтому x2 = x1 + X и y2 = y1 + Y. В данном случае получим: x2 = 0 + 2 = 2 и y2 = –5 + 5 = 0.

Ответ: конечной точкой вектора является точка (2; 0).

Выразив длину вектора \overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1\right), получим:

\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}.

Таким образом, мы пришли к уже известной формуле для вычисления длины отрезка или расстояния между двумя точками.

Ще на цю тему
Інші дії

Упражнения A

Задание 952. Координаты вектора

A(2; 3), B(6; 8)
\overrightarrow{AB} = 

E(5; –3), F(0; 8)
\overrightarrow{EF} = 

K(–1; 2), L(0; 0)
\overrightarrow{KL} = 

O(a; –b), Q(2a; b)
\overrightarrow{OQ} = 

C(–4; 3), D(1; –2)
\overrightarrow{CD} = 

O(0; 0), G(11; –13)
\overrightarrow{OG} = 

M(–5; –2), N(–5; 2)
\overrightarrow{MN} = 

U(m; 3m), V(m + 4; 2m)
\overrightarrow{UV} = 

Задание 953. Конечная точка вектора

A\left(2;\ 8\right), \overrightarrow{AB}=\left(4;\ -8\right)
B

P\left(0;\ -1\right), \overrightarrow{PQ}=\left(-3;\ 1\right)
Q

C\left(-4;\ 0\right), \overrightarrow{CD}=\left(-3;\ 5\right)
D

M\left(0;\ 0\right), \overrightarrow{MN}=\left(11;\ -9\right)
N

Задание 954. Начальная точка вектора и его длина

B\left(7;\ -6\right), \overrightarrow{AB}=\left(8;\ -7\right)
A; \left|\overrightarrow{AB}\right| = 

Q\left(0;\ 0\right), \overrightarrow{PQ}=\left(14;\ -2\right)
P; \left|\overrightarrow{PQ}\right| = 

K\left(0;\ 5\right), \overrightarrow{HK}=\left(2;\ 3\right)
H; \left|\overrightarrow{HK}\right| = 

T\left(-2;\ -7\right), \overrightarrow{ST}=\left(-4;\ 2\right)
S; \left|\overrightarrow{ST}\right| = 

Задание 955. Окружность

Ответ: длина окружности составляет  ед. длины.

Какие из следующих точек расположены на окружности, внутри соответствующего круга или вне круга?

        • F(14; 20)
        • K(–1; 5)
        • G(4, –6)
        • E(16; 16)
        • H(–7; 24)
        Задание 956. Периметр и площадь фигуры

        Найдите векторы \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{FC} и \overrightarrow{FE} (рис. 6.49), если CF = FG, FE = 0,5 ⋅ CD. Вычислите периметр и площадь фигуры ABDEFG.

        Рис. 6.49

        Ответ: \overrightarrow{AC} = , \overrightarrow{AB} = , \overrightarrow{FC} = , \overrightarrow{FE} = , P = ; S = .

        Задание 957. Построение суммы векторов

         \vec{a}=\left(7;\ 3\right), \vec{b}=\left(3;\ 0\right), \vec{c}=\left(-3;\ -3\right), \vec{d}=\left(7;\ -3\right), \vec{e}=\left(-8;\ -3\right), \vec{g}=\left(2;\ 4\right), \vec{h}=\left(-8;\ 2\right).

        Правильность результата проверьте путем вычисления координат суммы этих векторов.

        \vec{x} = 

        Задание 958. Длины сторон треугольника и его площадь

        Ответ: AB = , BC = , AC = ; S = .

        Задание 959. Длины сторон треугольника и его площадь

        Ответ: AB = , BC = , AC = , S = .

        Задание 960. Четырехугольник
        • Найдите векторы \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}.

        \overrightarrow{AB} = 

        \overrightarrow{BC} = 

        \overrightarrow{CD} = 

        \overrightarrow{DA} = 

        \overrightarrow{AC} = 

        \overrightarrow{BD} = 

        • Является ли этот четырехугольник параллелограммом? ромбом? прямоугольником? квадратом? Выберите самый точный ответ.

        Ответ: этот четырехугольник является .

        • Найдите точку пересечения его диагоналей.

        Ответ: координаты точки пересечения диагоналей есть .

        • Вычислите площадь четырехугольника.

        Ответ: S = .

        Ще на цю тему
        Інші дії

        Упражнения Б

        Задание 961. Деление отрезка на четыре равные части

        Ответ: начиная от точки A этими точками являются ; ; .

        Задание 962. Точка пересечения медиан треугольника

        Ответ: медианы пересекаются в точке с координатами .

        Задание 963. Подобие треугольников

        • Найдите длины сторон треугольника.
          Ответ: AB = ; BC = ; AC = .
        • Найдите координаты точек A', B', C', являющихся серединами медиан треугольника.
        • Ответ: A'; B'; C'.
        • Найдите длины сторон треугольника A'B'C' .
          Ответ: A'B' = ; B'C' = ; A'C' = .
        • Докажите, что треугольники ABC и A'B'C' подобны.
        Ще на цю тему
        Інші дії