Условие равенства и линейные операции для векторов, заданных своими координатами

Линейными операциями с векторами называют сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

1. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ. До сих пор мы определяли равенство векторов, исходя из геометрических соображений: два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Рассмотрим теперь условие равенства двух векторов, заданных своими координатами.

Пусть $$ \overrightarrow{u}=\left(X_1; Y_1\right)$$ и $$ \overrightarrow{v}=\left(X_2; Y_2\right)$$. Так как $$ \overrightarrow{u}=X_1\overrightarrow{i}+Y_1\overrightarrow{j}$$ и $$ \overrightarrow{v}=X_2\overrightarrow{i}+Y_2\overrightarrow{j}$$, то из условия $$ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$$ следует, что

$$ X_1\overrightarrow{i}+Y_1\overrightarrow{j}=X_2\overrightarrow{i}+Y_2\overrightarrow{j}$$, или $$ \left(X_1-X_2\right)\overrightarrow{i}+\left(Y_1-Y_2\right)\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$$.

Координаты нулевого вектора $$ \overrightarrow{0}$$ равны нулю, следовательно,

$$ X_1-X_2=0$$ и $$ Y_1-Y_2=0$$, или $$ X_1=X_2$$, $$ Y_1=Y_2$$.

Таким образом,

Поскольку сумма векторов, а также произведение вектора на число определены однозначно, то верно и обратное утверждение:

2. СУММА ВЕКТОРОВ. Пусть векторы \vec{a} и \vec{b} заданы своими координатами: $$ \overrightarrow{a}=\left(X_1; Y_1\right)$$ и $$ \overrightarrow{b}=\left(X_2; Y_2\right)$$.

Найдем координаты суммы $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$:

$$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ = $$ \left(X_1\overrightarrow{i}+ Y_1\overrightarrow{j}\right)+\left(X_2\overrightarrow{i}+ Y_2\overrightarrow{j}\right)$$ = $$ \left(X_1+X_2\right)\overrightarrow{i}+\left(Y_1+Y_2\right)\overrightarrow{j}$$.

Мы выразили вектор $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ через векторы $$ \overrightarrow{i}$$ и $$ \overrightarrow{j}$$. Следовательно, координатами этого вектора являются числа  $$ X_1+X_2$$  и  $$ Y_1+Y_2$$, как соответствующие коэффициенты при $$ \overrightarrow{i}$$ и $$ \overrightarrow{j}$$.

Значит,

В словесной формулировке:

3. РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ. Для разности векторов $$ \overrightarrow{a}=\left(X_1; Y_1\right)$$ и $$ \overrightarrow{b}=\left(X_2; Y_2\right)$$ получим аналогично:

$$ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$ = $$ \left(X_1\overrightarrow{i}+ Y_1\overrightarrow{j}\right)-\left(X_2\overrightarrow{i}+ Y_2\overrightarrow{j}\right)$$ = $$ \left(X_1-X_2\right)\overrightarrow{i}+\left(Y_1-Y_2\right)\overrightarrow{j}$$.

Значит,

В словесной формулировке:

4. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО. Найдем координаты вектора $$ k\overrightarrow{a}$$, если $$ \overrightarrow{a}=(X; Y)$$:

$$ k\overrightarrow{a}$$ = $$ k·(X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j})$$ = $$ \left(kX\right)\overrightarrow{i}+\left(kY\right)\overrightarrow{j}$$.

Значит,

В словесной формулировке:

Если $$ \overrightarrow{a}=(X; Y)$$, то противоположным ему вектором является вектор $$ -\overrightarrow{a}=\left(-1\right)·\overrightarrow{a}=(-X; -Y)$$.

Таким образом,

5. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ. Как мы уже знаем, векторы $$ \overrightarrow{a}$$ и $$ \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$ коллинеарны. Обратно, если векторы $$ \overrightarrow{a}$$ и $$ \overrightarrow{b}$$ коллинеарны и $$ \left|\overrightarrow{a}\right|\ne 0$$, то найдется такое число k, что $$ \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$. Выясним, как выражается условие коллинеарности векторов в координатах.

Пусть $$ \overrightarrow{a}=\left(X_1; Y_1\right)$$ и $$ \overrightarrow{b}=\left(X_2; Y_2\right)$$. Так как $$ \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$$, то $$ X_2=k{X}_1$$ и $$ Y_2=k{Y}_1$$. Из этих равенств получаем, что $$ k=\frac{X_2}{X_1}$$ и $$ k=\frac{Y_2}{Y_1}$$, откуда, в свою очередь,

В словесной формулировке:

Справедливо и обратное утверждение:

Докажите это утверждение (задача 951).