Astme­funktsiooni tuletis

Vaatleme esmalt funktsiooni y = xn, kus n ∈ N. Varasemast teame, et

\left(x^1\right)^'=1,

\left(x^2\right)^'=2x^1=2x,

\left(x^3\right)^'=3x^2
​(vt ül 835 lahendust).

Leiame ka \left(x^4\right)^'. \left(x^4\right)^' = \left(x\cdot x^3\right)^' = x'\cdot x^3+x\cdot\left(x^3\right)^' = x^3+x\cdot3x^2 = x^3+3x^3 = 4x^2.

Siit saame analoogia põhjal reegli, et (xn)' leidmisel tuleb esi­algne astendaja tegurina ette ja uus astendaja on 1 võrra väiksem. Lühemalt, kui n ∈ N, siis

\left(x^n\right)^'=nx^{n-1}.

Ka x0 korral kehtib sama reegel. On ju \left(x^0\right)^'=1'=0, kuid ka \left(x^0\right)^'=0\cdot1^{-1}=0.

Selgub, et ka xn tuletis, kui n ∈ Z–, tuleb leida sama reegli järgi. Et n < 0, siis tähistame n = –k, kus k > 0. Nüüd

\left(x^n\right)^' = \left(x^{-k}\right)^' = \left(\frac{1}{x^k}\right)^' = \frac{1'\cdot x^k-1\cdot\left(x^k\right)^'}{\left(x^k\right)^2} = -\frac{kx^{k-1}}{x^{2k}} = -kx^{-k-1} = nx^{n-1}.

Järelikult

(xn)'=nxn-1, kui n ∈ Z.

On võimalik tõestada, et ka

(xr)'=rxr-1, kui r ∈ R.

Näide 1.

Tõestatu põhjal on \left(x^6\right)^'=6x^5;   \left(x^{123}\right)^'=123x^{122};   \left(x^{1000}\right)^'=1000x^{999}.

Näide 2.

Leiame funktsiooni y=8x^7-3x^6-2x^2+2 tuletise.

y' = \left(8x^7-3x^6-2x^2+2\right)^' = \left(8x^7\right)^'-\left(3x^6\right)^'-\left(2x^2\right)^'+2' = 8\left(x^7\right)^'-3\left(x^6\right)^'-2\left(x^2\right)^'+0 = ​56x^6-18x^5-4x.

Näide 3.

Leiame funktsiooni y=4x^{-8} tuletise.

y' = \left(4x^{-8}\right)^' = 4\left(x^{-8}\right)^' = 4\cdot\left(-8x^{-9}\right) = -32x^{-9}.

Näide 4.

Eelneva põhjal

  1. \left(\sqrt[3]{x}\right)^' = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{3x},
  2. \left(x^{4,08}\right)^' = 4,08\cdot x^{4,08-1} = 4,08\cdot x^{3,08}.

Näide 5.

Leiame funktsiooni y=\frac{x^7\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt{x}} tuletise.

Esitame funktsiooni avaldise x astmena:

\frac{x^7\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt{x}} = x^7\cdot x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^7\cdot x^{\frac{1}{10}} = x^{7,1}.

Seega y=x^{7,1} ning \left(x^{7,1}\right)^'=7,1x^{6,1}.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded A

Ülesanne 848. Funktsiooni tuletis

y=x^8
y' = 

y=x^{10}
y' = 

y=2x^7
y' = 

y=x^5
y' = 

y=x^{101}
y' = 

y=-4x^3
y' = 

Ülesanne 849. Funktsiooni tuletis

y=12x^5+10x^4-3x^2+x
y' = 

y=3x^5+5x^3-x^2+4
y' = 

y=-x^{11}+6x^5+2x-1
y' = 

y=3x^{22}-6x
y' = 

y=3x^9+2x^8+x^7-4x^6-9x^5+2x^4+x^3-13x^2+x+9
y' = 

Ülesanne 850. Funktsiooni tuletis

y=x^{-3}
y' = 

y=x^{-4}
y' = 

y=x^{-5}
y' = 

Ülesanne 851. Funktsiooni tuletis

y=\frac{2x-1}{x-2}
y' = 

y=\frac{5x-2}{x}
y' = 

y=\frac{x^2}{x+7}
y' = 

y=\left(x+5\right)\left(x-3\right)
y' = 

y=x^4\left(x^2-x^{-3}\right)
y' = 

y=x^{0,3}\cdot x^{1,7}
y' = 

y=\frac{x^5+1}{x-x^4}
y' = 

y=\frac{x^3}{x^2+2x}
y' = 

y=\frac{x^3-8}{x^2+2x+4}
y' = 

Ülesanne 852. Funktsiooni tuletise väärtus

f '(x) = 

f '(–2) = 

f '(0) = 

f '(1) = 

f '(5) = 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded B

Ülesanne 853. Funktsiooni tuletis

y=x^{\frac{2}{7}}
y' = 

y=x^{\frac{5}{2}}
y' = 

y=x^{\frac{9}{10}}
y' = 

y=x^{4,5}
y' = 

y=x^{23,8}
y' = 

y=x^{-17,5}
y' = 

y=\sqrt[4]{x}
y' = 

y=\sqrt[6]{x^5}
y' = 

y=\sqrt[13]{x^8}
y' = 

Ülesanne 854. Funktsiooni tuletis

y=x\sqrt{x}
y' = 

y=x^2\sqrt[3]{x}
y' = 

y=x^{-3}\sqrt[5]{x^2}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}}{x}
y' = 

y=\frac{x}{\sqrt[3]{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt[5]{x}}{x^3}
y' = 

Ülesanne 855. Funktsiooni tuletis

y=2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}+4\sqrt[4]{x}
y' = 

y=\left(\sqrt{x}-x\right)\left(\sqrt{x}+x\right)
y' = 

y=\left(\sqrt{x}+2x\right)^2
y' = 

y=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)
y' = 

Ülesanne 856. Funktsiooni tuletise väärtus

y=2\sqrt{x}-3\sqrt[6]{x^5}+4x^{-2}.

y' = 

f '(–2) = 

f '(0) = 

f '(1) = 

f '(5) = 

Ülesanne 857. Puutuja tõus ja tõusu­nurk

Skitseerige funktsiooni y=\sqrt{x} graafik. Leidke selle graafiku puutuja tõus ja tõusu­nurk kohal

  1. x = 0,000001.

    Vastus. k = , α = 
  2. x = 1.

    Vastus. k = , α = 
  3. x = 205.

    Vastus. k = , α = 

Kujutage ette, kuidas kulgevad vastavad puutujad.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot