Liit­funktsiooni tuletis

Tuletame meelde, mis on liit­funktsioon.

Näide 1.

Kui y=\sqrt{u} ja muutuja u avaldub oma­korda muutuja x kaudu, näiteks u = sin x, siis öeldakse, et muutuja y on muutuja x liit­funktsioon. Kahe valemiga antud liit­funktsiooni saab esitada peale vastavat asendust ka ühe valemiga: y=\sqrt{\sin x}.

Üld­juhul: kui y = f (u) ja u = g (x), siis y = f [g (x)]. Muutujat u nimetatakse teatavasti vahe­pealseks muutujaks, funktsioone y = f (u) ja u = g (x) aga vastavalt välimiseks ning sisemiseks funktsiooniks. Nii on näites 1 välimiseks funktsiooniks y=\sqrt{u} ja sisemiseks funktsiooniks u = sin x. Kui funktsioon on antud kujul y = f [g (x)], siis saame selle esitada vahe­pealse muutuja kaudu, mida illustreerime näitega 2.

Näide 2.

Esitame järgnevad funktsioonid vahe­pealse muutuja kaudu:

1) y=\left(3x^2-4\right)^2,

1) y=u^2, u=3x^2-4;

2) y=\sin5x,

2) y=\sin v, v=5x;

3) y=2^{\tan x},

3) y=2^t, t=\tan x.

Leiame liit­funktsiooni y = f [g (x)] tuletise. Olgu funktsioonid y = f (u) ja u = g (x) diferentseeruvad, s.t

limΔu→0ΔyΔu=f'u ja limΔx→0ΔuΔx=g'x.

Eelnevast järeldub, et \frac{\Delta y}{\Delta u}-f′\left(u\right) ja \frac{\Delta u}{\Delta x}-g′\left(x\right) on hääbuvad suurused vastavalt Δu ja Δx lähenemisel nullile. Tähistame need hääbuvad suurused vastavalt tähtedega α ja β: \frac{\Delta y}{\Delta u}-f′\left(u\right)=\mathrm{\alpha} ja \frac{\Delta u}{\Delta x}-g′\left(x\right)=\mathrm{\beta}. Viimastest võrdustest Δy = f '(u)Δu + αΔu ja Δu = g '(x)Δx + βΔx ning pärast Δu avaldise asendamist Δy avaldise esimesse liidetavasse

Δy = f '(u)g '(x)Δx + f '(u)βΔx + αΔu.

Jagades saadud võrduse mõlemad pooled suurusega Δx, jõuame seoseni

\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'\left(u\right)g'\left(x\right)+f'\left(u\right)\mathrm{\beta}+\mathrm{\alpha}\frac{\Delta u}{\Delta x}.

Et Δx → 0 korral ka Δu → 0 ning α ja β on hääbuvad suurused vastavalt Δu ja Δx lähenemisel nullile, siis limΔx→0α=limΔu→0α=0 ja limΔx→0β=0. Arvestades veel, et limΔx→0ΔuΔx=g'x, saame, et liit­funktsiooni y = f (g (x)) tuletis

y'x = limΔx→0ΔyΔx = limΔx→0f'ug'x+f'uβ+αΔuΔx = f'\left(u\right)g'\left(x\right), kus u=g\left(x\right).

Seega

kui y = f [g (x)] ehk y = f (u) ja u = g (x), siis y '(x) = f ′(u) · g ′(x), kus u = g (x);

teisiti, y' = f '[g(x)] · g '(x).

Sõnastatult:

liit­funktsiooni tuletis on võrdne välimise funktsiooni tuletisega sisemise funktsiooni kohal, mis on korrutatud sisemise funktsiooni tuletisega kohal x.

Näide 3.

Leiame funktsiooni 1) y=\sqrt{u}, u=x^2+1 ja 2) y=\left(3x^2-4\right)^2 tuletise.

Rakendame liit­funktsiooni diferentseerimise reeglit:

  1. y'\left(x\right) = \left(\sqrt{u}\right)^'\cdot\left(x^2+1\right)^' = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\left(2x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}};
  2. kui y=u^2 ja u=3x^2-4, siis y'\left(x\right) = \left(u^2\right)^'\cdot\left(3x^2-4\right)^' = 2u\cdot6x = 12x\left(3x^2-4\right) = 36x^3-48x.

Viimasel juhul oleksime võinud avada funktsiooni avaldises sulud ja diferentseerida siis summat liikmeti.

Liit­funktsiooni korral võib vahe­pealseid muutujaid olla rohkem kui üks.

Näide 4.

Kirjutame funktsiooni y=\frac{1}{\sqrt{5x^4-4x^2}} vahe­pealsete muutujate kaudu:

y=\frac{1}{u}, u=\sqrt{v}, v=5x^4-4x^2.

Näide 5.

Leiame eelmises näites esitatud funktsiooni tuletise.

Et me liit­funktsiooni diferentseerimise reeglit kahe vahe­pealse muutuja korral ei tea, toimime järgmiselt. Kirjutame funktsiooni y=\frac{1}{\sqrt{5x^4-4x^2}} kujul y=\frac{1}{u}, u=\sqrt{5x^4-4x^2}.

Nüüd

y'\left(x\right) = \left(\frac{1}{u}\right)^'\cdot\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^' = -\frac{1}{u^2}\cdot\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^' = -\frac{1}{5x^4-4x^2}\cdot\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^'.

Leidmata on uue liit­funktsiooni y=\sqrt{5x^4-4x^2} ehk funktsiooni y=\sqrt{v}, v=5x^4-4x^2 tuletis.

Et \left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^' = \left(\sqrt{v}\right)^'\cdot\left(5x^4-4x^2\right)^' = \frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot\left(20x^3-8x\right) = \frac{10x^3-4x}{\sqrt{5x^4-4x^2}},

siis y'\left(x\right) = -\frac{10x^3-4x}{\left(5x^4-4x^2\right)\sqrt{5x^4-4x^2}} = \frac{4-10x^2}{\left(5x^3-4x\right)\sqrt{5x^4-4x^2}}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 858. Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

Liit­funktsioon

y=\sqrt{u}

u=\sin x

y=\sqrt{u}

u=5x+8

y=\ln v

v=x^2+1

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

Liit­funktsioon

y=e^v

v=-3x

y=\sin t

t=\sqrt{x}

y=10^t

t=\log x

Ülesanne 859. Liit­funktsioon

Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

y=\sqrt{13x+1}

y=\left(2x^3-4\right)^5

y=10^{5x}

Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

y=\sqrt{\tan x}

y=\cos^7x

y=e^{\sqrt{x}}

Liit­funktsioon

Välimine funktsioon

Sisemine funktsioon

y=\sin2x

y=\ln\frac{x+1}{3x}

y=\sqrt[5]{e^x}

Ülesanne 860. Liit­funktsiooni tuletis

y=\sqrt{u}, u=5x+8
y' = 

y=\sqrt{t}, t=2x^3-4
y' = 

y=\sqrt{v}, v=\frac{x+1}{x-1}
y' = 

y=\sqrt[8]{w}, w=\frac{3}{x}
y' = 

y=t^4, t=0,5x^6-x^3
y' = 

y=8u^3, u=6-2x^2
y' = 

Ülesanne 861. Liit­funktsiooni tuletis

y=\sqrt{13x+1}
y' = 

y=\left(6x^3-x^2-2\right)^5
y' = 

y=\left(x-1\right)^9
y' = 

y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}
y' = 

y=\sqrt{x^2-5}
y' = 

y=\left(\sqrt{x}+x\right)^7
y' = 

Ülesanne 862. Liit­funktsioon

y=\sqrt{u}, u=\sin v, v=5x
y = 

y=u^3, u=\ln t, t=8x
y = 

y=\cos t, t=e^u, u=\ln x
y = 

y=v^4, v=\mathrm{\tan}\ u, u=x^4
y = 

Seotud sisu
Muud tegevused