Курс "Функции"
Продолжим изучение свойств функций. Заметим, что у некоторых функций на отдельных промежутках при увеличении значений аргумента, т. е. при движении по оси абсцисс слева направо, увеличиваются также и соответствующие значения функции (рис. 2.17, а). Для других же функций наблюдается уменьшение их значений при увеличении значений аргумента (рис. 2.17, б). У некоторых функций увеличение их значений может сменяться уменьшением, и наоборот; бывают также промежутки, на которых значения функции не изменяются (то есть функция постоянна).
Функция y = f (x) называется возрастающей [понятие: Возрастающая на интервале функция (vahemikus kasvav funktsioon) – функция называется возрастающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции.]на интервале (а; b), если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. если x2 > x1, то f (x2) > f (x1).
Функция y = f (x) называется убывающей[понятие: Убывающая на интервале функция (vahemikus kahanev funktsioon) – функция называется убывающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.] на интервале (a; b), если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. если x2 > x1, то f (x2) < f (x1).
Интервалом возрастания[понятие: Интервал возрастания функции (funktsiooni kasvamisvahemik) – интервал, на котором функция возрастает и который не содержится ни в каком большем интервале, на котором данная функция была бы также возрастающей. Обозначение: 𝑋↑.] функции называется наибольший интервал, на котором эта функция возрастает. Аналогично определяется интервал убывания[понятие: Интервал убывания функции (funktsiooni kahanemisvahemik) – такой интервал, на котором функция убывает и который не содержится ни в каком большем интервале, на котором функция была бы также убывающей. Обозначение: 𝑋↓.] функции.
Интервал возрастания функции с областью определения Х обозначается через
Пример 1.
Функция, график которой изображен на рисунке 2.18, имеет три интервала возрастания (рис. 2.18, а) и два интервала убывания (рис. 2.18, в):
Пример 2.
Функция y = –x2 (рис. 2.19, а) возрастает на интервале (–∞; 0) и убывает на интервале (0; ∞). Поэтому
Функция
Функция называется возрастающей[понятие: Возрастающая функция (kasvav funktsioon) – функция, интервалом возрастания которой является вся область определения.], если ее интервалом возрастания является вся область определения.
Функция называется убывающей[понятие: Убывающая функция (kahanev funktsioon) – функция, интервалом убывания которой является вся область определения.], если ее интервалом убывания является вся область определения.
Рассмотрим теперь значения аргумента, в которых возрастание функции сменяется ее убыванием (или наоборот). Например, на рисунке 2.18 такими значениями х являются –0,5; 2,5; 6 и 8. На том же рисунке видно, что в точках, в которых возрастание функции сменяется ее убыванием, функция имеет наибольшее значения по сравнению со значениями в соседних точках. В точках, где убывание функции сменяется ее возрастанием, функция имеет наименьшее значение по сравнению со значениями в соседних точках. Однако указанные значения не обязательно являются наибольшим или наименьшим значением функции на всей области определения, а лишь наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями в соседних точках.
Говорят, что в точке x0 функция y = f (x) имеет максимум[понятие: Максимум функции (funktsiooni maksimum) – значение функции в точке максимума.], если в некоторой окрестности точки x0 для всех значений аргумента х из этой окрестности выполняется неравенство f (x0) ≥ f (x). Точку x0 называют в этом случае точкой максимума функции[понятие: Точка максимума функции (funktsiooni maksimumkoht) – точка 𝑥₀, в некоторой окрестности которой число 𝑦 = 𝑓(𝑥₀) является наибольшим из значений функции в этой окрестности.].
Говорят, что в точке x0 функция y = f (x) имеет минимум[понятие: Минимум функции (funktsiooni miinimum) – значение функции в точке минимума.], если в некоторой окрестности точки x0 для всех значений аргумента x из этой окрестности выполняется неравенство f (x0) ≤ f (x). Точку x0 называют в этом случае точкой минимума функции[понятие: Точка минимума функции (funktsiooni miinimumkoht) – точка 𝑥₀, в некоторой окрестности которой число 𝑦 = 𝑓(𝑥₀) является наименьшим из значений функции в этой окрестности.].
Точки минимума и максимума называются точками экстремума[понятие: Точки экстремума функции (funktsiooni ekstreemumkohad) – общее название точек максимума и точек минимума.], а значения функции в этих точках – экстремумами[cноска: От латинского слова extremus – крайний.] функции.
Например, представленная на рисунке 2.18 функция имеет максимум в точках x = –0,5 и x = 6; минимум функция имеет в точках x = 2,5 и x = 8. Линейная функция
Пример 3.
Функция, график которой изображен на рисунке 2.20, имеет шесть точек экстремума, из которых x1, x3 и x5 являются точками максимума, а x2, x4 и x6 – точками минимума.
Пример 4.
Исследуем функцию y = x2 – 2x – 3 с помощью ее графика.
Нули функции есть x1 = 3 и x2 = –1. Графиком является парабола, вершина которой имеет координаты
 Рис. 2.21 | ||||||
На рисунке видно, что функция убывает при x < 1, т. е. на интервале (–∞; 1), и возрастает при x > 1, т. е. на интервале (1; ∞). В точке x = 1 функция имеет минимум y = –4. Следовательно, множеством значений функции является множество Y = [–4; ∞). Запишем все полученные свойства этой функции:
Полученные с помощью графика сведения о поведении функции могут иметь некоторую неточность. С более точными методами исследования функции мы познакомимся в 3 главе учебника.
Упражнения
