Reaalarvude piirkonnad. Reaalarvu absoluutväärtus

Reaalarvude piirkondade kujutamine graafiliselt, võrratustena ja sulgudega
Reaalarvu absoluutväärtus ja selle omadused
Lihtsamate absoluutväärtustega võrrandite lahendamine

Seotud sisu

Reaalarvude piirkonnad

Arvtelje jaotamine

Kui arvteljel valida kaks suvalist punkti

a < b,

siis jaotub arvtelg kolmeks osaks, mis on reaalarvude hulga osahulkadeks.

Osahulkade nimetused ja tähistused sõltuvad sellest, kas need sisaldavad või ei sisalda punkte a või b.

Reaalarvude piirkonnad

Lõik

a ≤ x ≤ b
[a; b]

Vahemik

a < x < b
]a; b[ või (a; b)

Poollõik

a < x ≤ b
]a; b] või (a; b]

a ≤ x < b
[a; b[ või [a; b)

Lõpmatu poollõik

x ≤ a
]–∞; a] või (–∞; a]

x ≥ b
[b; ∞[ või [b; ∞)

Lõpmatu vahemik

x < a
]–∞; a[ või (–∞; a)

x > b
]b; ∞[ või (b; ∞)

Reaalarvude piirkond

Reaalarvude piirkond on hulk, mis võib koosneda nii tabelis toodud osahulkadest kui ka üksikutest arvtelje punktidest. Piirkonnaks võib olla ka kogu reaalarvude hulk.

Piirkondi võib esitada nii võrratustena kui ka sulgudega.

Märka

Sulgude kasutamine

Kui piirkonna otspunkt kuulub piirkonda, siis on nurksulgude otsad pööratud selle kõrval oleva väärtuse poole:

lõik [a; b].

Kui piirkonna otspunkt ei kuulu piirkonda, siis on kaks võimalust:

1) nurksulgude otsad on pööratud sellest väärtusest eemale:

vahemik ]a; b[,
poollõigud [a; b[ ning ]a; b]

2) kasutatakse kumersulgi:

(a; b) ja
[a; b) ning
(a; b]

Näide 1

Piirkond A = ]–∞; –3] ∪ [–1; 1[∪ ]4; 6[ graafiliselt

Leiame piirkonna B, milles kehtivad võrratused

$\{\begin{matrix} - 5 < x \leq 4 \\ x \leq - 1 \lor x \geq 2 \\ x \neq - 3 \land x \neq 1 \end{matrix}$ .

Võrratuste lahenditeks on hulgad. Võrratuste süsteemi lahendiks on võrratustele vastavate hulkade ühisosa, mida on mugav leida graafiliselt.

Otsitava piirkonna moodustavad topeltviirutusega hulgad, välja arvatud punkt –3. Punkt 1 ei satu topeltviirutusega alasse. Seega on otsitav piirkond

B = ;   $\cup$
 ;   $\cup$  
;

Seotud sisu

Absoluutväärtus

Reaalarvu absoluutväärtus

Arvu kaugus nullpunktist

Reaalarvu a absoluutväärtus |a| näitab sellele arvule vastava arvtelje punkti kaugust nullpunktist.

Kui arv a on negatiivne, st a < 0, siis asub see punktis A.
Kui arv a on positiivne, st a > 0, siis asub see punktis B.

Definitsioon

Reaalarvu a absoluutväärtus on arv a ise, kui see arv on mittenegatiivne, ja selle vastandväärtus –a, kui see arv on negatiivne.

$|a| = \{\begin{cases} a, kui a \geq 0 \\ - a, kui a < 0 \end{cases}$

Absoluutväärtuse omadused

|a| > 0 ⇔ a ≠ 0
|a| = 0 ⇔ a = 0
|a| ≥ a ja |a| ≥ –a
|a ± b| ≤ |a| + |b|
|a · b| = |a| · |b|
$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|},$ b ≠ 0

Märka

Punktidevaheline kaugus

Arvude vahe absoluutväärtus |a – b| on arvtelje punktide a ja b vaheline kaugus ehk punkte a ja b ühendava lõigu pikkus.

Suuruste erinevus

Kui u(x) ja v(x) on muutuvad suurused, siis nende vahe absoluutväärtus |u(x) – v(x)| näitab, kui suur on antud suuruste erinevus kohal x.

Näide 2

Leiame f(x) = x² – 2 ja g(x) = 3 – x erinevuse kohal x = –1.

Lahendus

Kui x = –1, siis

f(–1) = 1 – 2 = –1 ja
g(–1) = 3 + 1 = 4

d = |f(–1) – g(–1)| = |–1 – 4| = |–5| = 5.

Vastus

Suuruste f(x) ja g(x) erinevus kohal x = –1 on 5.

On antud suurused
u(x) = x³ – 2x² ja
v(x) = –2x² + x.

u(–2) =
v(–2) =
d = |u(–2) – v(–2)| =

Seotud sisu

Absoluutväärtusega võrrand

Võrrandi lahendamine

Lahendame võrrandi |2x – 5| = 1.

Lahendus

Kui 2x – 5 on positiivne, siis

2x – 5 = 1
2x = 6
x = 3

Kui 2x – 5 on negatiivne, siis

2x – 5 = –1
2x = 4
x = 2

Vastus

Võrrandi lahendid on x₁ = 3 ja x₂ = 2.

|2x – 3| = 9

Kui 2x – 3 on positiivne, siis
2x – 3 =
x =

Kui 2x – 3 on negatiivne, siis
2x – 3 =
x = .

Vastus

Võrrandi lahendid on
x₁= ja
x₂= .

|3 + x| – 5 = 0
x₁ = ja x₂ =
|3x – 9| = 12
x₁ = ja x₂ =

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Võrratus	Sulgude abil
$2 < x \leq 10$	;
$x > 6$	;
$- 5 \leq x \leq 6$	;
$x \leq 9$	;
$- 3 \leq x < 0$	;
$9 < x < 11$	;

Sugude abil	Võrratus
$[3; 8]$	≤≤
$(- \infty; 6]$	≤
$(7; \infty)$
$(- 3; 1)$
$[6; 12)$	≤
$(2; \infty)$

[–2; 4]
–2 < x < 4
x < 5
(–∞; 5]
(1; 8]
[1; 8)

Õige piirkond on

[6; ∞)
x > 6
–3 < x < –1
[–3; –1]
[9; 14)
9 < x ≤ 14

Õige piirkond on

C = R\{2; 6}
D = R\]2; 6]
M = R\[2; 6[
K = R\[2; 6]
S = R\]2; 6[

(–∞; 2) ∪ (2; 6) ∪ (6; ∞)
(–∞; 2] ∪ (6; ∞)
(–∞; 2) ∪ [6; ∞)
(–∞; 2) ∪ (6; ∞)
(–∞; 2] ∪ [6; ∞)

X = [–3; 2[ ja Y = ]–2; 4]
X ∪ Y = ;
X ∩ Y = ;
X = [–5; 3] ja Y = [–2; 6]
X ∪ Y = ;
X ∩ Y = ;
A = ]–2; 5[ ja B = ]4; 10]
A ∪ B = ;
A ∩ B = ;
A = [–7; 3] ja B = [0; ∞[
A ∪ B = ;
A ∩ B = ;

4 – |2x – 5| = 1
x₁ = ja x₂ =
|6 – x| = 18
x₁ = ja x₂ =
|2x – 5| – 17 = 0
x₁ = ja x₂ =

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Reaalarvude piirkonnad. Reaalarvu absoluut­väärtus

Seotud sisu

Reaalarvude piirkonnad

Arvtelje jaotamine

Reaalarvude piirkonnad

Lõik

Vahemik

Poollõik

Lõpmatu poollõik

Lõpmatu vahemik

Reaalarvude piirkond

Märka

Sulgude kasutamine

Näide 1

Seotud sisu

Absoluutväärtus

Reaalarvu absoluutväärtus

Arvu kaugus nullpunktist

Definitsioon

Absoluutväärtuse omadused

Märka

Punktidevaheline kaugus

Suuruste erinevus

Näide 2

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Absoluutväärtusega võrrand

Võrrandi lahendamine

Lahendus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Reaalarvude piirkonnad. Reaalarvu absoluutväärtus