Ratsionaalarvude seos kümnendmurdudega

Ratsionaalarvu avaldamine lõpmatu perioodilise kümnendmurruna
Perioodilise murru teisendamine harilikuks murruks

Lõplik ja lõpmatu kümnendmurd

Ratsionaalarvud kümnendmurdudena

RATSIONAALARV p : q
LÕPLIK KÜMNENDMURD 0,25 –7,007 63,981	LÕPMATU KÜMNENDMURD
	Puhtperioodiline kümnendmurd 0,(3) 45,(87)	Segaperioodiline kümnendmurd 1,9(4) –0,012(37)

Selgitused

Et teisendada ratsionaalarv $a = \frac{p}{q}$ kümnendmurruks, tuleb murru lugeja p jagada nimetajaga q. Sealjuures võib jagamise jääk teatud etapil muutuda nulliks ja tulemuseks on lõplik kümnendmurd.

Nii juhtub siis, kui nimetaja teguriteks on vaid arvud 2 või 5, st

q = 2^m · 5ⁿ, m >0, n ≥ 0, m ∈  $ℤ,$ n ∈  $ℤ .$

Kui aga q sisaldab tegurina mingit algarvu, mis erineb arvudest 2 ja 5 (nt 3, 7, 11 jne), siis hakkavad jagamisjäägid perioodiliselt korduma ja saame lõpmatu perioodilise kümnendmurru.

Näiteks

$\frac{2}{3}$ = 0,666... = 0,(6).

Perioodid

Kui kümnendmurru periood algab vahetult pärast koma, siis nimetatakse seda puhtperioodiliseks kümnendmurruks.

Näiteks

3,171717... = 3,(17)

Kui kümnendmurru periood ei alga vahetult pärast koma, siis on see segaperioodiline kümnendmurd.

Näiteks

3,205414141... = 3,205(41)

Märka

Murrujoon tähendab jagamismärki.

$\frac{2}{5} = 2 : 5 = 0,4$

Lõpmatud murrud

Perioodiline murd

Iga ratsionaalarv $a = \frac{p}{q}$ avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna ja vastupidi, st iga lõpmatu perioodilise kümnendmurru saab esitada ratsionaalarvuna $a = \frac{p}{q} .$

Mitteperioodiline murd

Irratsionaalarv avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna.

$ℚ \cap 𝕀 = \emptyset$

Näide

$\frac{3}{4} = 0,75$ on lõplik kümnendmurd.
$\frac{3}{4} = 0,75(0)$ on lõpmatu perioodiline kümnendmurd.

1. samm

Tähistame 0,3131... = x, siis
100 x = ,3131...

2. samm

Lahutame võrduste vasakud pooled ja paremad pooled, et vabaneda kümnendkohtadest.
$\begin{matrix} 100 x & = & 31,(31) \\ - & x & = & 0,(31) \\ x & = \end{matrix}$

3. samm

Avaldame viimasest võrdusest
$x = \frac{}{}$

Vastus

$0,(31) = \frac{}{}$

1. samm

Tähistame 3,412 312 3... = y, siis
10 y = 34,123 123... ja
10 000 y = 34 123,123 123...

2. samm

Lahutame võrduste vasakud pooled ja paremad pooled, et vabaneda kümnendkohtadest.
$\begin{matrix} 10 000 x & = & 34 123,(123) \\ - & 10 x & = & 34,(123) \\ x & = \end{matrix}$