Ratsionaalavaldiste teisendamine ja lihtsustamine

Algebralise murru põhiomadus
Algebraliste murdude korrutamine, jagamine ja astendamine
Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine
Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Murru põhiomadus

Ratsionaalavaldis ja algebraline murd

Ratsionaalavaldis koosneb üks- ja hulkliikmetest, mis on seotud põhitehetega (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, astendamine) ja sulgudega.

Ratsionaalavaldis peab sisaldama vähemalt ühte algebralist murdu ning selles võivad esineda vaid täisarvulise astendajaga astmed.

Algebralise murru lugejaks ja nimetajaks on üks- või hulkliige, kusjuures nimetaja sisaldab tavaliselt muutujat.

Algebraline murd, mis ei sisalda irratsionaalavaldisi, on samuti ratsionaalavaldis.

Murru põhiomadus

Algebralise murru lugejat ja nimetajat võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva üksliikme või hulkliikmega.

Lugeja ja nimetaja üheaegset korrutamist sama avaldisega nimetatakse algebralise murru laiendamiseks.

Tegurdatud lugeja ja nimetaja jagamist nende ühise teguriga nimetatakse murru taandamiseks.

Näide 1

Algebralised murrud on näiteks

$\frac{2}{x},$ $\frac{u + v}{u - v},$ $\frac{y^{2}}{a^{2} + 2} .$

Ratsionaalavaldised on näiteks

$\frac{1}{x} + x^{2} - x y$
ja
$(1 + \frac{3}{u}) (2 - \frac{4}{v})$ .

Mõtle

Murd $\frac{2 x + 1}{2 - x}$ on võrdne nulliga, kui

x = 2
x = −0,5
x = 2 ja x = −0,5
see murd ei saa ühegi x väärtuse korral null olla

Murrul $\frac{2 x + 1}{2 - x}$ puudub väärtus, kui

x = −0,5
x = 2 või x = −0,5
x = 2
selle murru väärtust saab arvutada mis tahes x korral

Märka

$\frac{A}{B} = \frac{K A}{K B}$

kus A, B ja K on üksliikmed või hulkliikmed.

Seotud sisu

Algebraliste murdude korrutamine ja jagamine

Tehted murdudega

Korrutamine

Algebraliste murdude korrutamisel korrutatakse eraldi lugejad ja nimetajad. Saadud korrutised on tulemuse lugejaks ja nimetajaks.

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Jagamine

Algebralise murruga jagamine asendatakse selle pöördväärtusega korrutamisega.

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Märka

$\frac{A}{B} \cdot C = \frac{A C}{B}$

$\frac{A}{B} : C = \frac{A}{B C}$

Näide 2

On antud murrud $A = \frac{x y^{2} (x - y)}{3 a^{2} b}$ ja $B = \frac{6 a^{2} x y^{2}}{(x^{2} - y^{2})} .$

Leiame korrutise A · B.

$A \cdot B =$ $\frac{x y^{2} (x - y) \cdot^{2} 6 a^{2} x y^{2}}{3 a^{2} b \cdot (x^{2} - y^{2})} =$ $\frac{2 x^{2} y^{4} (x - y)}{b (x - y) (x + y)} =$ $\frac{2 x^{2} y^{4}}{b (x + y)}$

Leiame jagatise A : B.

$A : B = A \cdot \frac{1}{B} =$ $\frac{x y^{2} (x - y) (x^{2} - y^{2})}{3 a^{2} b \cdot 6 a^{2} x y^{2}} =$ $\frac{{(x - y)}^{2} (x + y)}{18 a^{4} b}$

2
4
4x²

Seotud sisu

Algebralise murru astendamine

Astendamine

Algebralise murru astendamisel astendame lugeja ja nimetaja ning võtame saadud astmed tulemuse lugejaks ja nimetajaks.

${(\frac{A}{B})}^{n} = \frac{A^{n}}{B^{n}}$

Märka

Astme astendamisel astendajad korrutatakse.

(a^m)ⁿ = a^mn

a + b
a – b

Näited

Astendame

${(\frac{3 x^{2}}{a y^{3}})}^{3} = \frac{3^{3} \cdot x^{2 \cdot 3}}{a^{1 \cdot 3} \cdot y^{3 \cdot 3}} = \frac{27 x^{6}}{a^{3} y^{9}}$
${(- \frac{a^{3}}{2 b m^{2}})}^{4} = \frac{a^{12}}{16 b^{4} m^{8}}$
Vastus on miinusmärgita, sest astendaja on paarisarv.

Astendame ja korrutame

${(\frac{a - b}{a^{3} b^{3}})}^{2} \cdot {(\frac{a^{2} b^{2}}{a - b})}^{3} =$ $\frac{{(a - b)}^{2}}{a^{6} b^{6}} \cdot \frac{a^{6} b^{6}}{{(a - b)}^{3}} =$ $\frac{{(a - b)}^{2} \cdot a^{6} b^{6}}{a^{6} b^{6} \cdot {(a - b)}^{3}} = \frac{1}{a - b}$

Seotud sisu

Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine

Liitmine ja lahutamine

Samanimelised murrud

Samanimeliste murdude liitmisel või lahutamisel liidetakse või lahutatakse lugejad, nimetaja jäetakse samaks.

$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}$

Näiteks

$\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a + b} =$ $\frac{a - b + b}{a + b} =$ $\frac{a}{a + b}$

Erinimelised murrud

Erinimeliste murdude liitmisel või lahutamisel tuleb murrud eelnevalt laiendada nii, et need oleksid samanimelised. Selleks tuleb leida murdude nimetajate vähim ühiskordne, mis jagub esialgsete nimetajatega.

Olgu nimetajate vähim ühiskordne E, kusjuures PB = E ja QD = E. Sel juhul saame

$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{P A}{P B} \pm \frac{Q C}{Q D} =$ $\frac{P A}{E} \pm \frac{Q C}{E} =$ $\frac{P A \pm Q C}{E}$

Märka

Algebraline summa on mis tahes märkidega liidetavate summa.

Näide 3

Liidame murrud $\frac{x - 2}{x^{2} - x} + \frac{1}{x - 1} .$

Lahendus

Tegurdame nimetaja(d). Leiame ühise nimetaja, laiendajad ja laiendame.
$\frac{x - 2^{\underset{⏝}{1}}}{x (x - 1)} + \frac{1^{\underset{⏝}{x}}}{x - 1} =$ $\frac{x - 2 + x}{x (x - 1)} = \frac{2 x - 2}{x (x - 1)}$
Tegurdame lugeja ja taandame.
$\frac{2 x - 2}{x (x - 1)} = \frac{2 (x - 1)}{x (x - 1)} = \frac{2}{x}$

Vastus

Murdude summa on $\frac{2}{x} .$

Mõtle

$\frac{13 x}{x - 1}$ ja $\frac{x + 1}{x}$ on

x − 1
x + 1
x² − x
x² − 1

Murdude vähim ühine nimetaja on

m² – n².

Kui esimene murd on $\frac{6 m n}{m - n},$ siis teise murru nimetajaks võib olla

(m − n)(m + n)
m − n
m + n
(m − n)²

Seotud sisu

Tehete järjekord

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Ratsionaalavaldist lihtsustades tuleb arvestada tehete järjekorraga avaldises:

sulgudes olev avaldis,
astendamine,
korrutamine või jagamine,
liitmine või lahutamine.

Näide 4

Lihtsustame avaldise $(\frac{3}{x - 2} + \frac{4}{3 - x}) : \frac{4 x + 4}{x^{2} - 5 x + 6} .$

Teisendame sulgudes olevad murrud ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks on (x – 2)(3 – x).
- Esimene murd
  $\frac{3^{\underset{⏝}{3 - x}}}{x - 2} = \frac{9 - 3 x}{(x - 2) (3 - x)}$
- Teine murd
  $\frac{4^{\underset{⏝}{x - 2}}}{3 - x} = \frac{4 x - 8}{(x - 2) (3 - x)}$
Liidame sulgudes olevad murrud.
$\frac{3}{x - 2} + \frac{4}{3 - x} =$ $\frac{9 - 3 x + 4 x - 8}{(x - 2) (3 - x)} =$ $\frac{x + 1}{(x - 2) (3 - x)}$
Tegurdame jagaja lugeja ja nimetaja.
4x + 4 = 4(x + 1)
ja
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Korrutame eelpool saadud murru jagaja pöördväärtusega:
$\frac{x + 1}{(x - 2) (3 - x)} : \frac{4 (x + 1)}{(x - 2) (x - 3)} =$ $\frac{(x + 1) (x - 2) (x - 3)^{-1}}{(x - 2) (3 - x) \cdot 4 (x + 1)} = - \frac{1}{4}$

Vastus

Avaldise lihtsustatud kuju on –0,25.

Märka

(a – b)² = (b – a)²

(a + b)² = (–a – b)²

$\frac{a - b}{b - a} = -1$

$A = (\frac{a + b}{a^{2} b - a b^{2}} + \frac{1}{a^{2} + a b} - \frac{3}{a^{2} - b^{2}})$
$B = (\frac{a}{2 (a + b)} - \frac{a}{2 (a - b)})$

Lahendus

Tegurda avaldise A nimetajad.
- a²b – ab² =
- a² + ab =
- a² – b² = (a + b)
- Ühine nimetaja on
  (a – b)()
Avaldis A lihtsustub kujule
$A = \frac{}{(a - b) ()}$
Avaldise B murdude ühiseks nimetajaks on
2()(a + b)
Avaldis B lihtsustub kujule
$B = - \frac{}{(a - b) ()}$

Vastus

Jagatis $A : B = - \frac{}{^{2}}$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

a
a – b
a²
ab – b²
a – 2
2a – 4
1
a + b
2a + 2b
2b – 2a

a
a – b
a²
ab – b²
a – 2
2a – 4
1
a + b
2a + 2b
2b – 2a

$\frac{2 a + 2 b}{4}$ $\frac{a + b}{2}$
$\frac{2 x + x y}{x (x - y)}$ $\frac{2 + x y}{(x - y)}$
$\frac{a + a^{2}}{2 (a + 1)} =$ $\frac{}{2}$
$\frac{3 u (u - 3)}{12 u^{2} - 3 u} =$ $\frac{u - 3}{}$
$\frac{3 b - a b}{a (3 - a)} =$ $\frac{}{}$
$\frac{x (x + 3)}{x^{2} - x} =$ $\frac{}{}$
$\frac{{(2 a + b)}^{2}}{(b + 2 a)^{3}} =$ $\frac{}{}$
$\frac{25 + 5 a + a^{2}}{a^{3} - 125} =$ $\frac{}{}$

$\frac{5 a}{c} \cdot \frac{3 c}{10 a} =$ $\frac{}{}$
$\frac{5 a}{c} : \frac{3 a}{10 c} =$ $\frac{}{}$
$\frac{4 a}{7 b} \cdot \frac{14 b^{2}}{a^{2}} =$ $\frac{}{}$
$\frac{14 b^{2}}{a^{2}} : \frac{7 b}{4 a} =$ $\frac{}{}$
$\frac{36 s^{3} t}{49 u} \cdot (- \frac{21 u^{2}}{18 s^{2} t^{2}}) =$ $\frac{}{}$
$- \frac{21 u^{2}}{18 s^{2} t^{2}} : \frac{18 u^{2}}{4 s t} =$ $\frac{}{}$

$\frac{10 a - 2}{12 b} \cdot \frac{4 a b}{5 a - 1} =$ $\frac{}{}$
$\frac{10 a - 2}{3 b} : \frac{15 a - 3}{2 a} =$ $\frac{}{}$
$\frac{2 a + 2 b}{4 a} \cdot \frac{2 a b}{b + a} =$ $\frac{}{}$
$\frac{2 a + 2 b}{3 a - 3 b} : \frac{a + b}{a^{2} - a b} =$ $\frac{}{}$
$\frac{2 a - 2 a b}{3 a b} \cdot \frac{6 a}{1 - b} =$ $\frac{}{}$
$\frac{2 a - 2 a b}{3 a + 3} : \frac{a - a b}{a b + b} =$ $\frac{}{}$

$\frac{x^{2} - 1}{(x + 1)^{2}} \cdot \frac{2 x + 2}{x - 1} =$
$\frac{x^{2} - x}{x + 1} : \frac{x^{2} - 1}{(x + 1)^{2}} =$
$\frac{4 - x^{2}}{4 + 4 x + x^{2}} \cdot \frac{x + 2}{2 - x} =$
$\frac{x + 2}{{(2 - x)}^{2}} : \frac{8 + 4 x}{(x - 2)^{2}} =$
$\frac{9 x^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x - 4} =$
$\frac{9 x^{2} - 24 x + 16}{3 x - 4} : \frac{(3 x - 4)^{2}}{9 x^{2} - 16} =$

1) $\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{a - b}{{(a - b)}^{2}} =$

2) $\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} =$

$\frac{3 x - 12}{x^{2} - 8 x + 16} - \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4 x} =$

$A = \frac{2 x - 6}{x^{2} - 7 x + 12}$
$B = \frac{2 x - 10}{x - 4}$

Vastus

Avaldiste A ja B summa kahekordne on .

$\frac{3 x + 4 y}{y - 2 x} : \frac{4 y + 3 x}{4 x^{2} - y^{2}} =$
$(x^{2} - 7 x + 6) : \frac{x - 6}{x + 1} =$ $\overset{}{}$
$\frac{a - 3}{a^{2} + 2 a - 15} \cdot \frac{3 a^{2} + 4 a + 1}{3 a + 1} =$ $\frac{}{}$
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{x^{2} + 3 x}{4 x - 8} =$ $\frac{x^{2} +}{}$

1) $\frac{1}{x + 2} \overset{}{} - \frac{1}{x - 2} \overset{}{} =$ $\frac{\oplus}{(x + 2) (x - 2)}$
Õigesti laiendatud ja koondatud lugeja ⊕ on

0
–4
2x + 4

2) $\frac{x - 1}{3 x + 6} \overset{}{} - \frac{1}{2 x + 4} \overset{}{} =$ $\frac{\oplus}{6 (x + 2)}$
Õigesti laiendatud ja koondatud lugeja ⊕ on

x – 1
–x – 3
2x – 5

3) $\frac{x}{9 - x^{2}} \overset{}{} - \frac{3}{3 - x} \overset{}{} =$ $\frac{\oplus}{(3 - x) (3 + x)}$

Õigesti laiendatud ja koondatud lugeja ⊕ on

–2x – 9
4x – 9
4x – 6

4) $\frac{1}{4 - x^{2}} \overset{}{} - \frac{1}{2 x - x^{2}} \overset{}{} =$ $\frac{\oplus}{x (2 - x) (2 + x)}$
Õigesti laiendatud ja koondatud lugeja ⊕ on

2
–2
2x – 2

$(\frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b}) \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} =$
$(\frac{2}{m} - \frac{1}{m + 1}) \cdot \frac{m^{2} + m}{m^{2} + m - 2} =$ $\frac{}{}$
$(\frac{x}{x - y} - \frac{x^{2} + 2 x y}{x^{2} - y^{2}}) \cdot (1 - \frac{x}{y}) =$ $\frac{}{}$
$(\frac{4 a + 12}{a^{2} - 3 a} + \frac{a}{9 - a^{2}}) \cdot \frac{a + 3}{a + 6} - \frac{5}{a - 3} =$ $- \frac{}{}$
$(\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} - 7 x + 10} - \frac{1}{x - 5}) : \frac{x - 1}{x - 5} =$ $\frac{}{}$

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ratsionaal­avaldiste teisendamine ja lihtsustamine

Seotud sisu

Murru põhiomadus

Ratsionaalavaldis ja algebraline murd

Murru põhiomadus

Näide 1

Mõtle

Märka

Seotud sisu

Algebraliste murdude korrutamine ja jagamine

Tehted murdudega

Korrutamine

Jagamine

Märka

Näide 2

Leiame korrutise A · B.

Leiame jagatise A : B.

Seotud sisu

Algebralise murru astendamine

Astendamine

Märka

Näited

Astendame

Astendame ja korrutame

Seotud sisu

Algebraliste murdude liitmine ja lahutamine

Liitmine ja lahutamine

Samanimelised murrud

Näiteks

Erinimelised murrud

Märka

Näide 3

Lahendus

Vastus

Mõtle

Seotud sisu

Tehete järjekord

Ratsionaalavaldiste lihtsustamine

Näide 4

Vastus

Märka

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ratsionaalavaldiste teisendamine ja lihtsustamine