Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest

Irratsionaalsus
Irratsionaalarv nimetajas
Summa või vahe nimetajas

Irratsionaalsus

Juured avaldises

Irratsionaalse väärtusega juuri arvudest, aga ka juuri või murdarvulise astendajaga astmeid muutujat sisaldavast avaldisest nimetatakse irratsionaalsusteks.

Irratsionaalavaldised

Avaldisi, mis sisaldavad juuri või murdarvulisi astendajaid, nimetatakse juuravaldisteks ehk irratsionaalavaldisteks.

Sarnased avaldised

Irratsionaalavaldised on omavahel sarnased, kui need on võrdsed või erinevad vaid ratsionaalarvulise kordaja poolest.

Näiteks $2 \sqrt{3}$ ja $- 1,9 \sqrt{3}$

Märka

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = {(\sqrt{6})}^{2} = 6$
$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = {(\sqrt{x})}^{2} = x$
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = {(\sqrt{3})}^{2} = 3$

Mõtle

Millise teisendusega on saadud võrduste vasakust poolest parem pool?

$\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x}} = x \sqrt{x}$

$\frac{12 a}{\sqrt{3}} = 4 a \sqrt{3}$

Arvutamine

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{} = 5$
$\sqrt{2 a} \cdot \sqrt{} = 2 a$
$\sqrt{x} \cdot \sqrt{7} = 7 x$
$\sqrt{6 b^{3}} \cdot \sqrt{} = 6 b^{2}$

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{} = 2$
$\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{} = 7$
$\sqrt[3]{x^{2} y} \cdot$ = xy
$\sqrt[3]{} \cdot \sqrt[3]{2 a^{2}} = 2 a$

$\sqrt[4]{9} \cdot \sqrt[4]{} = 3$

$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{} = 5$

$\sqrt[4]{3 x^{3}} \cdot \sqrt[4]{} = 3 x$

$\sqrt[4]{2 a} \cdot$ ( $)^{0, 25}$ =2a

Seotud sisu

Irratsionaalarv nimetajas

Nimetaja vabastamine irratsionaalsusest

Murdude teisendust kujule, kus murru nimetajas pole irratsionaalsust, nimetatakse murru nimetaja vabastamiseks irratsionaalsusest.

Märka

Kui vabastada nimetaja irratsionaalsusest, siis jääb irratsionaalsus avaldisse ikka alles.

Näited

Vaatleme murde, mille nimetajas on irratsionaalsust sisaldav üksliige.

Laiendame murdu sellise üksliikmega, et nimetajas tekiks arvu või avaldise esimene aste.

Näide 1

Kaotame irratsionaalsuse murrus $\frac{8}{\sqrt{2}} .$

Lahendus

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8^{4} \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}$

Laiendasime murdu arvuga $\sqrt{2},$ sest

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ .

Pärast laiendamist ja arvutust nimetajas on võimalik murd ka taandada.

Näide 2

Kaotame irratsionaalsuse murrus $\frac{10}{\sqrt[3]{5}} .$

Lahendus

$\frac{10 \cdot \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^{2}}} = \frac{10 \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^{3}}} =$ $\frac{10^{2} \sqrt[3]{25}}{5} = 2 \sqrt[3]{25}$

Murru laiendajaks valime $\sqrt[3]{5^{2}},$ sest

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^{2}} = \sqrt[3]{5^{3}} = 5$ .

Pärast laiendamist ja arvutust nimetajas on võimalik murd ka taandada.

Näide 3

Kaotame irratsionaalsuse murrus $\frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x}} .$

Lahendus 1

Laiendame murdu juurega $\sqrt[4]{x^{3}} .$

$\frac{x^{2} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}}{\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}} = \frac{x^{2} \sqrt[4]{x^{3}}}{\sqrt[4]{x^{4}}} =$ $\frac{x^{2} \sqrt[4]{x^{3}}}{x} = x \sqrt[4]{x^{3}}$

Lahendus 2

Jagame lugeja nimetajaga.

$\frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x}} = x^{2} : x^{\frac{1}{4}} =$ $x^{1 \frac{3}{4}} = x \cdot x^{\frac{3}{4}} = x \sqrt[3]{x^{4}}$

$\frac{5}{\sqrt{5}} =$
$\frac{2}{\sqrt{2}} =$
$\frac{7}{\sqrt{7}} =$
$\frac{6}{\sqrt{3}} =$
$\frac{12}{\sqrt{2}} =$
$\frac{25}{\sqrt{5}} =$

Seotud sisu

Summa või vahe nimetajas

Irratsionaalavaldis nimetajas

Kui nimetajaks on irratsionaalsust sisaldav hulkliige, siis tuleb irratsionaalsuse kaotamiseks rakendada sobivat algebra valemit.

Märka

Ruutude vahe valem

(a – b)(a + b) = a² – b²

$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

Mõtle

$(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) =$
$(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2}) =$
$(2 \sqrt{3} + 1) (2 \sqrt{3} - 1) =$
$(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2}) =$

$(\sqrt{a} - 2) (\sqrt{a} + 2) =$
$(5 + \sqrt{y}) (\sqrt{y} - 5) =$
$(\sqrt{7} - \sqrt{x}) (\sqrt{x} + \sqrt{7}) =$
$(3 \sqrt{b} + \sqrt{c}) (3 \sqrt{b} - \sqrt{c}) =$

$4 - \sqrt{3 m},$ et vastuseks oleks 16 – 3m?

4 – √(3m)
√(3m) + 4
√(3m) – 4
(3m) + 4

$\sqrt{11} + 2 \sqrt{7},$ et vastuseks oleks 17?

–√11
√11 – 2√7
2√7 – √11
2√7 + √11

Näited

Näide 4

Nimetajaks on juur, mille all on hulkliige.

$\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a + b}} = \frac{\sqrt{a - b} \cdot \sqrt{a + b}}{\sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b}} =$ $\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a + b}$

Murru laiendajaks valime $\sqrt{a + b},$ sest

$\sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b} =$ $\sqrt{{(a + b)}^{2}} = a + b$

Näide 5

Nimetajas on üks liidetav irratsionaalarv.

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2} =$ $\sqrt{3} + 1$

Laiendame murdu avaldisega $\sqrt{3} + 1,$ sest

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2$ .

Näide 6

Nimetajas on kaks liidetavat irratsionaalarvud.

$\frac{10}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}} =$ $\frac{10 (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})}{(2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})} =$ $\frac{10 (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{4 \cdot 2 - 3} =$ $\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2} =$ $2 (2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) =$ $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$

Laiendame murdu avaldisega $2 \sqrt{2} - \sqrt{3},$ sest

$(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) (2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) =$ $8 - 3 = 5$

Näide 7

Nimetajas on muutujat sisaldav avaldis.

$\frac{a - 1}{1 + \sqrt{a}} = \frac{(a - 1) (1 - \sqrt{a})}{(1 + \sqrt{a}) (1 - \sqrt{a})} =$ $\frac{(a - 1) (1 - \sqrt{a})}{1 - a} =$ $\frac{^{- 1} (a - 1) (1 - \sqrt{a})}{1 - a} =$ $- (1 - \sqrt{a}) = \sqrt{a} - 1$

Laiendame murdu avaldisega $1 - \sqrt{a},$ sest

$(1 + \sqrt{a}) (1 - \sqrt{a}) = 1 - a$ .

1) $\frac{2}{2 - \sqrt{2}} =$

2 – √2
2 + √2
4 – 2√2
1
4 + 2√2

2) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$

√3 – √2
√3 + √2
√2 – √3
1
0,2(√3 + √2)

3) $\frac{16}{3 \sqrt{2} + \sqrt{10}} =$

6√2 + 2√10
3√2 + √10
16(3√2 – √10)
6√2 – 2√10
2

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\frac{1}{\sqrt{3}} =$ $\frac{\sqrt{}}{}$
$\frac{1}{\sqrt{11}} =$ $\frac{\sqrt{}}{}$
$\frac{1}{\sqrt{17}} =$ $\frac{\sqrt{}}{}$
$\frac{1}{\sqrt{c}} =$ $\frac{\sqrt{}}{}$
$\frac{3}{\sqrt{w}} =$ $\frac{\sqrt{}}{}$
$\frac{5}{\sqrt{t}} =$ $\frac{\sqrt{}}{}$

$\frac{a}{\sqrt{a}} =$ $\sqrt{}$
$\frac{m^{2}}{\sqrt{m}} =$ $\sqrt{}$
$\frac{k^{3}}{\sqrt{k}} =$ $\overset{}{} \sqrt{}$
$\frac{2 b}{\sqrt{b}} =$ $\sqrt{}$
$\frac{15 n^{2}}{\sqrt{n}} =$ $\sqrt{}$
$\frac{s t}{\sqrt{s}} =$ $\sqrt{}$

$\frac{3}{\sqrt{12}} =$
$\frac{16}{\sqrt{8}} =$
$\frac{12}{\sqrt{18}} =$
$\frac{15}{\sqrt{50}} =$

1) $\frac{12 x}{\sqrt{4 x}} =$

√(2x)
3√x
6√x
√(3x)

2) $\frac{x}{\sqrt{4 x}} =$

√(2x)
2√x
0,5√x
√(x)

3) $\frac{6 x}{\sqrt{3 x}} =$

3√(2x)
3x√x
2x√x
2√(3x)

1) $\frac{12}{\sqrt{5} + 1} =$

√5 + 1
2
3(√5 – 1)
2(√5 + 1)
√5 – 1
√6

2) $\frac{4}{\sqrt{5 - 1}} =$

√5 + 1
2
3(√5 – 1)
2(√5 + 1)
√5 – 1
√6

3) $\frac{8}{\sqrt{5} - 1} =$

√5 + 1
2
3(√5 – 1)
2(√5 + 1)
√5 – 1
√6

4) $\frac{6}{\sqrt{5 + 1}} =$

√5 + 1
2
3(√5 – 1)
2(√5 + 1)
√5 – 1
√6

A = $\frac{3}{\sqrt{2} + 1}$ = $\sqrt{} -$

B = $\frac{3}{\sqrt{2} - 1}$ = $\sqrt{} +$

A – B = $\frac{3}{\sqrt{2} + 1} - \frac{3}{\sqrt{2} - 1}$ =

$\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Murdude ühine nimetaja on .
Esimese murru laiendaja on
Teise murru laiendaja on
Laienda murrud ja lihtsusta nimetaja. Saadud lugeja on
Taanda murd.

Vastus

Avaldise väärtus pärast lihtsustamist on

$\frac{26}{\sqrt{3} - 4} - \frac{26}{\sqrt{3} + 4}$

Kaota esimese murru nimetajas irratsionaalsus. Saadud avaldis on

2√3 – 8
2√3 + 8
8 – 2√3
–8 – 2√3

Kaota teise murru nimetajas irratsionaalsus. Saadud avaldis on

2√3 – 8
2√3 + 8
8 – 2√3
–8 – 2√3

Lahuta esimesest avaldisest teine.

Vastus

Avaldise väärtus pärast lihtsustamist on

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Murru nimetaja vabastamine irratsionaal­susest

Seotud sisu

Irratsionaalsus

Irratsionaalsus

Juured avaldises

Irratsionaalavaldised

Sarnased avaldised

Märka

Mõtle

Arvutamine

Seotud sisu

Irratsionaalarv nimetajas

Nimetaja vabastamine irratsionaalsusest

Märka

Näited

Näide 1

Lahendus

Näide 2

Lahendus

Näide 3

Lahendus 1

Lahendus 2

Seotud sisu

Summa või vahe nimetajas

Irratsionaalavaldis nimetajas

Märka

Mõtle

Näited

Näide 4

Näide 5

Näide 6

Näide 7

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest