Irratsionaalsus ja abivalemid

Irratsionaalavaldised
Kaksliikme ruudu valemid
Ruutude vahe valem
Kuupide valemid

Irratsionaalavaldised

Irratsionaalavaldis

Juured avaldises

Avaldisi, mis sisaldavad juuri või murdarvulisi astendajaid, nimetatakse juuravaldisteks ehk irratsionaalavaldisteks.

Sarnased avaldised

Irratsionaalavaldised on omavahel sarnased, kui need on võrdsed või erinevad vaid ratsionaalarvulise kordaja poolest.

Koondamine

Sarnaseid liikmeid saab koondada.

Näited

Irratsionaalavaldised

$\sqrt[3]{3 x}$
$7 \sqrt{5}$
$6 \sqrt{2} - 4 \sqrt{x}$
$\frac{9}{1 - \sqrt{4}}$

Sarnased avaldised

On sarnased

$6 \sqrt{7 x}$ ja $\frac{\sqrt{7 x}}{4}$

Ei ole sarnased

$\sqrt[3]{7 x}$ ja $\sqrt{7 x}$

Koondamine

$2 \sqrt{7 x} + \sqrt{7 x} - 2 \sqrt{7} - \sqrt{7} =$
$= 3 \sqrt{7 x} - 3 \sqrt{7}$

Seotud sisu

Kaksliikme ruudu valemid

Kaksliikme ruut

Summa ruut

Seosest

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

järeldame, et

${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = a + 2 \sqrt{a b} + b .$

Vahe ruut

Seosest

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

järeldame, et

${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b$ .

Märka

${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})$

${(\sqrt{a})}^{2} = a$

$2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = 2 \sqrt{a b}$

Näited

Summa ruut

${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2} =$ $2 + 2 \sqrt{10} + 5 =$ $7 + 2 \sqrt{10}$

Pane tähele, et vastusesse jääb alles ruutjuur.

Vahe ruut

${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} =$ $3 - 2 \sqrt{6} + 2 =$ $5 - 2 \sqrt{6}$

Pane tähele, et vastusesse jääb alles ruutjuur.

Summa ja vahe ruut

${(2 + \sqrt{7})}^{2} =$ $4 + 4 \sqrt{7} + 7 =$ $11 + 4 \sqrt{7}$
${(2 - \sqrt{7})}^{2} =$ $4 - 4 \sqrt{7} + 7 =$ $11 - 4 \sqrt{7}$

Seotud sisu

Ruutude vahe valem

Kaksliikmete korrutis

Seosest

(a – b)(a + b) = a² – b²

järeldame, et

$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

Märka

Vahe a – b tegurdub ruutude vahe valemi järgi.

$a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Näited

Lihtsustamine

$(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5}) =$ $2 - 5 = - 3$
$(\sqrt{11} + 3 \sqrt{7}) (3 \sqrt{7} - \sqrt{11}) =$ $9 \cdot 7 - 11 = 52$

Tegurdamine

$x - 5 = (\sqrt{x} - \sqrt{5}) (\sqrt{x} + \sqrt{5})$
$9 - m = (3 - \sqrt{m}) (3 + \sqrt{m})$

–30
30
66
95
–55
100

$(3 \sqrt{5} - 5 \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{3}) =$
$(2 \sqrt{5} + 5 \sqrt{3}) (2 \sqrt{5} - 5 \sqrt{3}) =$
$(5 + 5 \sqrt{5}) (5 \sqrt{5} - 5) =$
$(5 \sqrt{3} - 3) (3 + 5 \sqrt{3}) =$

Seotud sisu

Kuupide valemid

Kuupide summa

Valemist

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

järeldame, et ruutjuurte kuupide summa tegurdub.

$a \sqrt{a} + b \sqrt{b} =$ ${(\sqrt{a})}^{3} + {(\sqrt{b})}^{3} =$ $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (a - \sqrt{a b} + b)$

Kuupide vahe

Valemist

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

järeldame, et tegurdub ruutjuurte kuupide vahe.

$a \sqrt{a} - b \sqrt{b} = {(\sqrt{a})}^{3} - {(\sqrt{b})}^{3} =$ $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (a + \sqrt{a b} + b)$

Summa ja vahe kuup

Valemitest

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b²

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b²

järeldame, et

${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{3} =$ $a \sqrt{a} + 3 a \sqrt{b} + 3 \sqrt{a} b + b \sqrt{b}$

${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{3} =$ $a \sqrt{a} - 3 a \sqrt{b} + 3 \sqrt{a} b - b \sqrt{b}$

Märka

$a \sqrt{a} = \sqrt{a^{3}} = {(\sqrt{a})}^{3}$

${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{3} =$
$= (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Näited

Kuupide vahe tegurdamine

$\sqrt{27} - \sqrt{8} =$ $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (3 + \sqrt{6} + 2) =$ $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (5 + \sqrt{6}),$
sest $\sqrt{27} = {(\sqrt{3})}^{3}$ ja $\sqrt{8} = {(\sqrt{2})}^{3} .$

Kuupide summa tegurdamine

$x \sqrt{x} + 1 =$ $(\sqrt{x} + 1) (x - \sqrt{x} + 1),$
sest $x \sqrt{x} = {(\sqrt{x})}^{3}$ ja 1 = 1³.

Summa kuubi lihtsustamine

Avame sulud ja koondame sarnased juured.

${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{3} =$ $2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5} + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{5} =$ $17 \sqrt{2} + 11 \sqrt{5}$

Vahe kuubi tegurdamine

$3 \sqrt{3} - 9 \sqrt{x} + 3 \sqrt{3} x - x \sqrt{x} =$ ${(\sqrt{3} - \sqrt{x})}^{3}$

6
$\sqrt{a}$
12
8
4

${(\sqrt{a} + 2)}^{3} =$

= a+a + $\sqrt{a}$ +

5
√5
√125
25
m
√m

– $\sqrt{m}$ =

= (+ $\sqrt{m}$ + m) $(\sqrt{5} - \sqrt{m})$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$(\sqrt{s} - 3) (\sqrt{s} + 3) =$
$(2 \sqrt{a} - 3 \sqrt{b}) (2 \sqrt{a} + 3 \sqrt{b}) =$
$(\sqrt{5 x} + 2 \sqrt{y}) (\sqrt{5 x} - 2 \sqrt{y}) =$
$(5 \sqrt{y} + \sqrt{2 x}) (\sqrt{2 x} - 5 \sqrt{y}) =$

${(\sqrt{a} + 3)}^{2}$ =
= + $\sqrt{}$ +
${(2 \sqrt{b} - 5)}^{2}$ =
= – $\sqrt{}$ +
${(\sqrt{3 p} + 2 \sqrt{t})}^{2}$ =
= + $\sqrt{}$ +
${(\sqrt{2 m} - \sqrt{3 n})}^{2}$ =
= – $\sqrt{}$ +

a√a – 27
√27 – a³
3√3 – a√a
3 – a
3√3 + a√a
a³ + 3√3

$(\sqrt{a} - 3) (a + 3 \sqrt{a} + 9) =$
$(\sqrt{3} - a) (3 + a \sqrt{3} + a^{2}) =$
$(\sqrt{3} - \sqrt{a}) (3 + \sqrt{3 a} + a) =$
$(\sqrt{3} - \sqrt{a}) (\sqrt{a} + \sqrt{3}) =$
$(3 - \sqrt{3 a} + a) (\sqrt{a} + \sqrt{3}) =$
$(3 - a \sqrt{3} + a^{2}) (\sqrt{3} + a) =$

a + b
a² + b²
a³ + b³
a⁴ + a⁴
a⁶ + a⁶

$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}) =$
$(a^{2} + b^{2}) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}) =$
$(a^{2} - a b + b^{2}) (a + b) =$
$(a \sqrt[3]{a} + b \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a^{2} b^{2}}) (\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{b^{2}}) =$
$(a \sqrt[3]{a} + b \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a^{8}} - \sqrt[3]{a^{4} b^{4}} + \sqrt[3]{b^{8}}) =$

b – 1
b² – 1
b³ – 1
(b²)² –1
(b³)² – 1

$(b \sqrt[3]{b} - 1) (\sqrt[3]{b^{8}} + b \sqrt[3]{b} + 1) =$
$(\sqrt[3]{b} - 1) (\sqrt[3]{b^{2}} + \sqrt[3]{b} + 1) =$
$(b^{4} + b^{2} + 1) (b^{2} - 1) =$
$(b^{2} + b + 1) (b - 1) =$
$(\sqrt[3]{b^{2}} - 1) (b \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^{2}} + 1) =$

Seotud sisu

Valemid

a – b
(√a – √b)³
a + 2√(ab) + b
a√a – b√b
(√a + √b)³
(√a – √b)²
a√a + b√b

$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) =$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) =$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) =$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (a + b - \sqrt{a b}) =$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (a + b + \sqrt{a b}) =$

$a \sqrt{a} - 3 a \sqrt{b} + 3 \sqrt{a} b - b \sqrt{b} =$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b}) {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} =$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Irratsio­naalsus ja abivalemid

Seotud sisu

Irratsionaalavaldised

Irratsionaalavaldis

Juured avaldises

Sarnased avaldised

Koondamine

Näited

Irratsionaalavaldised

Sarnased avaldised

Koondamine

Seotud sisu

Kaksliikme ruudu valemid

Kaksliikme ruut

Summa ruut

Vahe ruut

Märka

Näited

Summa ruut

Vahe ruut

Summa ja vahe ruut

Seotud sisu

Ruutude vahe valem

Kaksliikmete korrutis

Märka

Näited

Lihtsustamine

Tegurdamine

Seotud sisu

Kuupide valemid

Kuupide summa

Kuupide vahe

Summa ja vahe kuup

Märka

Näited

Kuupide vahe tegurdamine

Kuupide summa tegurdamine

Summa kuubi lihtsustamine

Vahe kuubi tegurdamine

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Irratsionaalsus ja abivalemid