Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid

Kahe nurga summa ja vahe siinuse valemi tõestamine
Kahe nurga summa ja vahe koosinuse avaldamine täiendusnurkade valemi järgi
Kahe nurga summa ja vahe tangensi avaldamine siinuse ja koosinuse põhivalemite järgi

Trigonomeetria kõige tähtsamad valemid

$sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{6})$		$sin (\frac{π}{3}) - sin (\frac{π}{6})$
$cos (\frac{π}{3} + \frac{π}{3})$		$cos (\frac{π}{3}) + cos (\frac{π}{3})$
$tan (\frac{π}{6} - \frac{π}{3})$		$tan (\frac{π}{6}) - tan (\frac{π}{3})$
$cos (\frac{π}{3} + \frac{π}{6})$		$cos (\frac{π}{3}) + cos (\frac{π}{6})$

Summa või vahe siinuse valem ning summa või vahe koosinuse valem on trigonomeetria kõige tähtsamad valemid. Kõik ülejäänud valemid saab neist põhivalemitest tuletada.

sin(α ± β)
cos(α ± β)

Üks enamesinenud viga on see, et funktsioon summa asendatakse funktsiooni väärtuste summaga. Kuid

sin(α + β) ≠ sin α + sin β,
cos(α + β) ≠ cos α + cos β.

Ka tangensi ja kootangensi korral seda tüüpi võrdused ei kehti.

≠
0
1
√2
=

Kui α = β = $\frac{π}{4},$
siis α + β $\frac{π}{2} .$
$sin \frac{π}{4}$ $cos \frac{π}{4}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin \frac{π}{4} + sin \frac{π}{4} =$
$sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{4})$ $sin \frac{π}{2}$ = , seega
$sin \frac{π}{4} + sin \frac{π}{4}$ $sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{4})$
$cos \frac{π}{4} + cos \frac{π}{4} =$
$cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4})$ $cos \frac{π}{2}$ = , seega
$cos \frac{π}{4} + cos \frac{π}{4}$ $cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4})$

a) sin(15° + 20°) = b) sin 15°+ sin 20° =	a b
c) cos(52°– 38°) = d) cos 52° – cos 38° =	c d
e) tan(66° – 2°) = f) tan 66° – tan 2° =	e f
	e f

Seotud sisu

Summa või vahe siinuse valem ning summa või vahe koosinuse valem

Nurkade summa siinus ja koosinus

sin 30°
cos 60°
sin 60°
cos 30°

sin 10° ⋅ cos 20° + cos 10° ⋅ sin 20° =
cos 39° ⋅ cos 21° – sin 39° ⋅ sin 21° =
sin 36° ⋅ cos 24° + cos 36° ⋅ sin 24° =
cos 19° ⋅ cos 11° – sin 19° ⋅ sin 11° =

sin β
cos β
sin α cos β
cos α cos β
sin α sin β
cos α sin β
sin(α – β)
cos(α – β)

Nurk
α – β =
= 90° – β – (90°– α) =
= – β + α = α – β

sin α cos β
cos α sin β
cos α cos β
sin α sin β
+
–

sin(α + β) =
= sinα cos β  
sin(α – β) =
= sin α cos β  
cos(α + β) =
= cos α cos β  
cos(α – β) =
= cos α cos β

sin 30°
cos 60°
sin 60°
cos 30°

sin 50° ⋅ cos 20° – cos 50°⋅ sin 20° =
cos 81° ⋅ cos 21° + sin 81° ⋅ sin 21° =
sin 110°⋅ cos 50° – cos 110° ⋅ sin 50° =
cos 48° ⋅ cos 18° + sin 48° ⋅ sin 18° =

Seotud sisu

Kokkuvõte

Märka

Siinuse valemi parempoolne avaldis algab siinusega esimesest nurgast (sin α) ning ühe nurga siinus korrutatakse teise nurga koosinusega ja vastupidi.
Koosinuse valemi parempoolne avaldis algab koosinusega esimesest nurgast (cos α) ning omavahel korrutatakse nurkade koosinused ja siinused.
Siinuse valemis on ülemised ja alumised märgid valemi eri pooltel ühesugused.
Koosinuse valemis on ülemised ja alumised märgid vastupidised.

Märka

Edaspidi saame kõik vajalikud trigonomeetria valemid tuletada kahe praegu tõestatud põhivalemi kaudu. Ka trigonomeetriline Pythagorase teoreem ehk seos sama nurga siinuse ja koosinuse vahel on järeldus kahe nurga vahe koosinuse valemist.

Tõepoolest, me teame, et cos 0° = 1.

Võttes vahe koosinuse valemis β = α, saame

cos 0° = 1 =
= cos(α − α) =
= cos²α + sin²α ⇒
⇒ sin²α + cos²α = 1.

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

Näited

Näide 1

Leiame sin 75°, kasutades põhinurkade funktsioonide väärtusi.

Lahendus

sin 75° = sin(30° + 45°) =

= sin 30° ⋅ cos 45° + cos 30° ⋅ sin 45° =

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$

$= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Näide 2

Leiame $cos \frac{π}{12},$ kasutades põhinurkade funktsioonide väärtusi.

Lahendus

$cos \frac{π}{12} = cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) =$
$= cos \frac{π}{4} cos \frac{π}{6} + sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{6} =$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} =$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Näide 3

Leiame $sin \frac{2 π}{3}$ , kasutades põhinurkade funktsioonide väärtusi.

$\frac{2 π}{3} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Summa siinuse valemi kaudu saame, et

$sin \frac{2 π}{3} = sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{6}) =$
$= sin \frac{π}{2} cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{2} sin \frac{π}{6} =$
$= 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Seotud sisu

Kahe nurga summa ja vahe tangens

Tuletame veel summa ja vahe tangensi valemid. Kasutame kahte olemasolevat põhivalemit summa siinuse ja koosinuse jaoks.

$tan (α + β) = \frac{sin (α + β)}{cos (α + β)} =$ $\frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β - sin α sin β}$

Jagame lugeja ja nimetaja koosinuste korrutisega cosα ⋅ cosβ, eeldades, et koosinused on nullist erinevad. Tulemuseks on avaldis, mis sisaldab tangensi väärtusi:

$tan (α + β) = \frac{\frac{sin α}{cos α} + \frac{sin β}{cos β}}{1 - \frac{sin α}{cos α} \cdot \frac{sin β}{cos β}} =$ $\frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$

Vahe valemi saamiseks asendame β vastandväärtusega −β ja arvestame, et tangens on paaritu funktsioon, st tan(−β) = −tan β. Siis saame

$tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$

Kahe nurga summa ja vahe tangensi valem

$tan (α \pm β) = \frac{tan α \pm tan β}{1 \mp tan α tan β}$

Märka

Ka kootangensi jaoks on võimalik tuletada vastavad valemid, kuid lihtsam on kootangens asendada tangensi pöördväärtusega.

Näited

Näide 1

Leiame nurga 120° tangensi.

Seda nurka ei saa esitada summana, kus üks liidetav on 90°, sest tan 90° väärtust ei eksisteeri. Seepärast esitame nurga vahena.

tan 120° = tan(180° − 60°) =

$= \frac{tan 180 ° - tan 60 °}{1 + tan 180 ° tan 60 °} =$

$= \frac{0 - \sqrt{3}}{1 + 0 \cdot \sqrt{3}} = - \sqrt{3}$

Näide 2

Leiame nurga 150° tangensi.

Seda nurka ei saa esitada summana, kus üks liidetav on 90°, sest tan90° väärtust ei eksisteeri. Seepärast esitame nurga vahena.

tan 150° = tan(180° − 30°) =

$= \frac{tan 180 ° - tan 30 °}{1 + tan 180 ° tan 30 °} =$

$= \frac{0 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Näide 3

Leiame $tan \frac{π}{12},$ kasutades põhinurkade tangensi väärtusi.

$tan \frac{π}{12} = tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) =$ $\frac{tan \frac{π}{4} - tan \frac{π}{6}}{1 + tan \frac{π}{4} tan \frac{π}{6}} =$
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} =$ $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} =$ $\frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}}{2} =$
$= \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

$\frac{\tan 26 ° + \tan 19 °}{1 - \tan 26 ° \tan 19 °} =$
$\frac{\tan 62 ° - \tan 17 °}{1 + \tan 62 ° \tan 17 °} =$
${(\frac{\tan 92 ° - \tan 32 °}{1 + \tan 92 ° \tan 32 °})}^{2} =$
3· ${(\frac{\tan 23 ° + \tan 7 °}{1 - \tan 23 ° \tan 7 °})}^{2} =$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Pikema lahenduskäiguga harjutamisülesanded on mõistlik lahendada vihikus.

Pea meeles! Vilumus tekib vaid harjutades.

Valemite rakendamise harjutus

10_trigovalem_print3.pdf

Märka

Pikema lahenduskäiguga harjutamisülesanded on mõistlik lahendada vihikus.

Pea meeles! Vilumus tekib vaid harjutades.

10_trigovalem_print3.pdf

sin 15° on veerandi nurk.
Teades mõne nurga täpset väärtust, saab sin 15° avaldada

sin(180° – 15°)
sin(45°– 30°)
sin(60°– 45°)
–sin(45°– 30°)
–sin(60°– 45°)
sin(90°– 75°)

Vastus

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

cos 165° on veerandi nurk, seega
cos 165° =
Teades mõne nurga täpset väärtust, saab cos 165° avaldada

cos(180° – 165°)
cos(45°– 30°)
cos(60°– 45°)
–cos(45°– 30°)
–cos(60°– 45°)
cos(165°– 150°)

Vastus

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$
$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

tan 105° on veerandi nurk, seega
tan 105° =
Teades mõnede nurkade täpseid väärtusi, saab tan105° avaldada

tan(180° – 105°)
tan(45° + 30°)
–tan(45° + 30°)
–tan(90° – 15°)
–tan(90° + 45°)
tan(45°+ 60°)

Vastus

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$
$- \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$
$- 2 - \sqrt{3}$

sin(α + β) ⋅ cos(α – β) + cos(α + β) ⋅ sin(α – β) =
=
cos(α – β) ⋅ cos(α + β) + sin(α + β) ⋅ sin(α – β) =
=

Vastus

sin 2α
cos 2α
–sin 2α
–cos 2α

0
1
–1

sin 37° ⋅ cos 53° + cos 37° ⋅ sin 53° =
sin 212° ⋅ cos 32° – cos 212° ⋅ sin 32° =
cos 61° ⋅ cos 29° – sin 61° ⋅ sin 29° =
cos 472° ⋅ cos 68° – sin 112° ⋅ sin(–292°) =
cos 227° ⋅ cos 47° – sin 587° ⋅ sin(–47°) =
sin 12° ⋅ sin12° + cos 12° ⋅ sin 78° =
cos 78° ⋅ sin168° – sin 78° ⋅ cos 168° =
sin 117° ⋅ cos 153° + sin 153° ⋅ cos 117° =

$A = \frac{cos (\frac{π}{6} + α) - sin (\frac{π}{3} + α)}{sin (\frac{π}{3} + α) + cos (\frac{π}{6} + α)}$

Vastus. α = 45° korral
< A <

Seotud sisu

Valemid peavad olema peas

α + β
α – β
sin α cos β
cos α sin β
cos α cos β
sin α sin β

sin() =
= +
sin() =
= –

cos() =
= –
cos() =
= +

Seotud sisu

Lisalugemist

Kuidas sin(α + β) avaldub nurkade α ja β siinuste ning koosinuste kaudu

Piirdume siin juhuga, kui α ja β on teravnurgad. Paigutame nurgad α ja β üksteise kõrvale nii, et nende tipud on samas punktis A ning nurga α lõpphaar on nurga β alghaaraks.

Võtame nurga β lõpphaaral vabalt ühe punkti B, joonestame ristlõigu BC nurga α lõpphaarale ning pikendame seda nurga α alghaarani. Saame lõigu BD. Tähistame AB = a, AC = b, AD = c.

Kolmnurk ABD koosneb kahest täisnurksest kolmnurgast ABC ja ACD. Seega,

S_ABD = S_ABC + S_ACD.

Leiame kolmnurkade pindalad kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu. Olgu kolmnurga küljed a ja b, nendevaheline nurk γ ning küljele a tõmmatud kõrgus h.

$S_{△} = \frac{1}{2} a h$

Kõrguse h saame avaldada täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi b ja teravnurga γ kaudu h = b ⋅ sin γ. Järelikult kehtib valem

$S_{△} = \frac{1}{2} a b sin γ .$

Seega,

$\frac{1}{2} a c sin (α + β) =$ $\frac{1}{2} b c sin α + \frac{1}{2} a b sin β .$

Korrutame pindalade võrduse mõlemad pooled kahega ja saame

ac sin(α + β) = bc sin α + ab sin β.

Jagame võrduse mõlemad pooled korrutisega ac (ac ≠ 0), siis

$sin (α + β) = \frac{b}{a} sin α + \frac{b}{c} sin β .$

Kuid $\frac{b}{a} = cos β$ ja $\frac{b}{c} = cos α .$ Saame summa siinuse valemi

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Vahe siinuse valemi saamiseks asendame nurga β negatiivse nurgaga −β ning arvestame siinuse ja koosinuse paarsust.

sin(α − β) = sin[α + (−β)] =
= sin α cos(−β) + cos α sin(−β) =
= sin α cos β − cos α sin β, sest
cos(−β) = cos β ning
sin(−β) = −sin β.

Summa ja vahe valemid kirjutatakse tavaliselt kokku üheks valemiks. Summa siinuse korral võtame ülemised märgid, vahe siinuse korral alumised.

Kahe nurga summa ja vahe siinuse valem

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

Kuidas sin(α + β) avaldub nurkade α ja β siinuste ning koosinuste kaudu

Sama joonise põhjal, mille põhjal tõestasime summa siinuse valemi, saab tõestada ka summa koosinuse valemi. Lihtsam on aga lähtuda täiendusnurkade valemist, mille kohaselt

$cos (\frac{π}{2} - α) = sin α,$ $sin (\frac{π}{2} - α) = cos α$ ning

$cos (α + β) = sin [\frac{π}{2} - (α + β)] =$
$= sin [(\frac{π}{2} - α) - β] .$

Järelikult,

$cos (α + β) = sin [(\frac{π}{2} - α) - β] =$
$= sin (\frac{π}{2} - α) \cdot cos β - cos (\frac{π}{2} - α) \cdot sin β =$
= cos α cos β − sin α sin β

Kui asendame β negatiivse nurgaga −β, saame ka vahe koosinuse valemi

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β.

Kahe nurga summa ja vahe koosinuse valem

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

Märka

Saab näidata, et saadud valemid kehtivad mis tahes nurkade α ja β korral.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kahe nurga summa ja vahe trigono­meetrilised funktsioonid

Seotud sisu

Trigonomeetria kõige tähtsamad valemid

Seotud sisu

Summa või vahe siinuse valem ning summa või vahe koosinuse valem

Nurkade summa siinus ja koosinus

Seotud sisu

Kokkuvõte

Märka

Märka

Näited

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Seotud sisu

Kahe nurga summa ja vahe tangens

Märka

Näited

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Valemite rakendamise harjutus

Märka

Seotud sisu

Valemid peavad olema peas

Seotud sisu

Lisalugemist

Kuidas sin(α + β) avaldub nurkade α ja β siinuste ning koosinuste kaudu

Kahe nurga summa ja vahe siinuse valem

Kuidas sin(α + β) avaldub nurkade α ja β siinuste ning koosinuste kaudu

Kahe nurga summa ja vahe koosinuse valem

Märka

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid