Nurga defineerimine

Nurga kujutamine koordinaattasandil
Mis tahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Teravnurk I koordinaatveerandis

Vaatleme ringjoont, mille raadius on r ja keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis.

Olgu P(x; y) selle ringjoone punkt, mis asub nurga α lõpphaaral (raadius OP = r moodustab x-telje positiivse poolteljega nurga α).

Olgu esmalt nurk α teravnurk ja punkt P(x; y) asugu esimeses koordinaatveerandis. Vastavalt teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonile

$sin α = \frac{y}{r},$ $cos α = \frac{x}{r},$

$tan α = \frac{y}{x},$ $cot α = \frac{x}{y} .$

Vastavalt sellele, millises veerandis lõpphaar asub, nimetatakse nurki esimese, teise, kolmanda või neljanda veerandi nurkadeks. Nurka mõõdetakse alghaarast lõpphaarani

Vaatleme nurkade kujutamist (x; y) tasandil koordinaatteljestikus. Sel juhul asub nurga tipp koordinaatide alguspunktis ja nurga alghaar on x-telje positiivsel poolteljel. Nurga lõpphaar asub mingis koordinaatveerandis või mingil teljel olenevalt nurga suurusest

Vaadeldes nurka α kui muutujat, näeme, et igale α väärtusele esimeses veerandis vastab selle nurga siinuse väärtus, mille võime omistada muutujale u. Saame siinusfunktsiooni u = sin α.

Seaduspärasust või valemit, mis ühe muutuja α väärtustele seab vastavusse teise muutuja u väärtusi, nimetatakse funktsiooniks ja tähistatakse u = f (α).

Peale siinusfunktsiooni on põhilisteks trigonomeetrilisteks funktsioonideks veel koosinus-, tangens- ja kootangensfunktsioon. Vaadeldavaid funktsioone nimetatakse trigonomeetrilisteks, sest teravnurga korral avaldub nende väärtus täisnurkse kolmnurga külgede suhtena.

Seotud sisu

Nurga kujutamine koordinaattasandil

Kui nurga lõpphaara pöörlemine toimub vastupäeva, on nurk positiivne, kui päripäeva, siis negatiivne.

Joonisel on nurk α teise veerandi positiivne nurk ning nurk β neljanda veerandi negatiivne nurk.

Nurga 0° lõpphaar alghaaraga ja on x-telje poolteljel.
Nurga $\frac{π}{2}$ (või 90°) lõpphaar on y-telje poolteljel.
Nurga π (või 180°) lõpphaar on x-telje poolteljel.
Nurga $\frac{3 π}{2}$ (või 270°) lõpphaar on y-telje poolteljel.
Kui nurka suurendada või vähendada mingi täisarv korda täispöörete 2π (või 360°) võrra, siis nurga lõpphaara asend

Nurgad

α ja α + 2nπ
(või α + n ⋅ 360°), n ∈ ℤ,

on sama veerandi ja sama lõpphaaraga nurgad.

Seotud sisu

Mis tahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid

Olgu nüüd nurk α teise, kolmanda või neljanda veerandi nurk ning P(x; y) ringjoone punkt, mis asub selle nurga lõpphaaral. Defineerime mis tahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid samade võrduste kaudu, mis kehtivad teravnurga korral.

Definitsioonid kehtivad nii positiivsete kui ka negatiivsete nurkade korral (ringi raadius on alati positiivne, st r > 0).

Nurga α siinus on
lõpphaara punkti y-koordinaadi ja
raadiuse suhe.

$sin α = \frac{y}{r}$

Nurga α koosinus on lõpphaara punkti x-koordinaadi ja
raadiuse suhe.

$cos α = \frac{x}{r}$

Nurga α tangens on lõpphaara punkti y-koordinaadi ja x-koordinaadi suhe.

$tan α = \frac{y}{x}$

Nurga α kootangens on lõpphaara punkti x-koordinaadi ja y-koordinaadi suhe.

$cot α = \frac{x}{y}$

1,2 rad
1750°
2π/3
4π/3
38°
π/3
5π/3
5,7 rad
4,2 rad
620°
317°
870°
412°
2,8 rad
250°
145°

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Kui positiivne nurk on 150°, siis sellele vastav absoluutväärtuselt vähim negatiivne nurk on °.
Kui negatiivne nurk on −85°, siis sellele vastav vähim positiivne nurk on °.
Kui nurga lõpphaar läbib punkti $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}),$ siis vastava positiivse nurga suurus on ° ja negatiivse nurga suurus °.
Kui nurga lõpphaar läbib punkti $(\frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{2}}{2}),$ siis vastava positiivse nurga suurus on ° ja negatiivse nurga suurus °.
Kui nurga lõpphaar läbib punkti $(- \frac{1}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}),$ siis vastava positiivse nurga suurus on ° ja negatiivse nurga suurus °.
Kui nurga lõpphaar läbib punkti (0; −1), siis vastava positiivse nurga suurus on ° ja negatiivse nurga suurus °.