Kolmnurga lahendamine

Näide 1. Külg ja kaks nurka

Kolmnurga lühim külg on 8 dm ning kaks nurka 57° ja 78°. Lahendame kolmnurga sajandiku täpsusega.

Olgu a = 8 dm. Leiame kolmanda nurga 180° – 57° – 78° = 45°. See on vähim nurk ja seega lühima külje a vastasnurk α = 45°. Tähistame β = 57° ja γ = 78°.

Kasutame siinusteoreemi   $\frac{a}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}=\frac{b}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}.$

Siit

$b=\frac{a·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }},$   $c=\frac{a·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}.$

$b=\frac{8·\text{sin\hspace{0.05em}}57°}{\text{sin\hspace{0.05em}}45°}\approx$   $\frac{8·\mathrm{0,8387}}{\mathrm{0,7071}}\approx \mathrm{9,49}(dm)$

$c=\frac{8·\text{sin\hspace{0.05em}}78°}{\text{sin\hspace{0.05em}}45°}\approx$   $\frac{8·\mathrm{0,9781}}{\mathrm{0,7071}}\approx \mathrm{11,07}(dm)$

Vastus. Kolmnurga kolmas nurk on 45° ning küljed ligikaudu 9,49 dm ja 11,07 dm.

Näide 2. Kolm külge

Kolmnurga küljed on 3,2 cm, 4,1 cm ja 5,7 cm. Leiame nurgad kümnendiku täpsusega.

Olgu a = 3,2 cm, b = 4,1 cm, c = 5,7 cm ning vastavalt α, β ja γ nende külgede vastasnurgad. Koosinusteoreemi valemist saame avaldada otsitavate nurkade koosinused:

$\text{cos\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$ 
​ $\text{cos\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},$ 
​ $\text{cos\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

Kui kaks nurka α ja β on leitud, võib kolmanda nurga γ avaldada nurkade summast: γ = π – α – β. Seega,

$\text{cos\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }=\frac{{\mathrm{4,1}}^2+{\mathrm{5,7}}^2-{\mathrm{3,2}}^2}{2·\mathrm{4,1}·\mathrm{5,7}}\approx$   $\mathrm{0,8357},$

α ≈ 33,3°;

$\text{cos\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }=\frac{{\mathrm{3,2}}^2+{\mathrm{5,7}}^2-{\mathrm{4,1}}^2}{2·\mathrm{3,2}·\mathrm{5,7}}\approx$   $\mathrm{0,7105},$​

β ≈ 44,7°;

γ ≈ 180° – 33,3° – 44,7° = 102°.

Vastus. Kolmnurga nurgad on umbes 33,3°, 44,7° ja 102,0°.

Näide 3. Kaks külge ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 2,8 m ja 4,4 m ning nendevaheline nurk 29°. Lahendame kolmnurga kümnendiku täpsusega.

Olgu α = 2,8 m, β = 4,4 m ja γ = 29°. Leiame kolmanda külje koosinusteoreemi põhjal:

c² = a² + b² – 2ab · cos γ =
​= 2,8² + 4,4² – 2 · 2,8 · 4,4 · cos 29° ≈
​≈ 27,2 – 24,64 · 0,8746 ≈ 5,65
​ja
​c ≈ 2,377 ≈ 2,4 (m).

Ülejäänud kahest nurgast leiame väiksema, sest suurem nurk võib osutuda nürinurgaks ja seda on nurga siinuse järgi keerulisem leida.

$\frac{a}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}=\frac{b}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}$

Et a on väiksem kui b, siis on α väiksem nurgast β.

$\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }=\frac{a}{c}·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }$
​$\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }=\frac{\mathrm{2,8}}{\mathrm{2,377}}·\text{sin\hspace{0.05em}}29°\approx \mathrm{0,5711},$  α ≈ 34,8°

β = 180° – α – γ ≈ 180° – 34,8° – 29° = 116,2°

Siinusteoreemist oleksime saanud

$\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }=\frac{b}{c}·\text{sin}\mathfrak{\gamma }$
$\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }=\frac{\mathrm{4,4}}{\mathrm{2,377}}·\text{sin\hspace{0.05em}}29°\approx \mathrm{0,8974},$​

millele vastab teravnurk 63,8°, kuid ka nürinurk 180° – 63,8° = 116,2°. 

Nende nurkade siinused on võrdsed ja seega oleks õige tulemuse saamiseks vaja kasutada kolmnurga nurkade summat. Järelikult on lihtsam leida kahest nurgast väiksem, st teravnurk, ning kolmanda nurga saamiseks kasutada kolme nurga summat.

Vastus. Kolmnurga kolmas külg on umbes 2,4 m ja nurgad umbes 34,8° ning 116,2°.

Näide 4. Külg ja lähisnurgad

Majakas paistis punktis A laeva kursi suhtes 25° nurga all. Kui laev oli samal kursil 12 km punktini B edasi sõitnud, paistis majakas 52° nurga all. Leiame laeva kauguse majakast punktides A ja B.

Olgu majakas punktis M.

Tähistame
AM = a,
​BM = b ja
​AB = c = 12 km.

Siis β = 25° ja α = 180° – 52° = 128°.

β + γ = 52° ⇔ γ = 52° – 25° = 27°

Siinusteoreemi põhjal $\frac{a}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}=\frac{b}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}.$ 

Seega,

$a=\frac{c·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }},$   $b=\frac{c·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}.$

$a=\frac{12·\text{sin\hspace{0.05em}}128°}{\text{sin\hspace{0.05em}}27°}\approx$   $\frac{12·\mathrm{0,788}}{\mathrm{0,454}}\approx \mathrm{20,8}(km),$
$b=\frac{12·\text{sin\hspace{0.05em}}25°}{\text{sin\hspace{0.05em}}27°}\approx$​   $\frac{12·\mathrm{0,423}}{\mathrm{0,454}}\approx \mathrm{11,2}(km).$

Vastus. Laev oli algul majakast umbes 20,8 km ja pärast 11,2 km kaugusel.

Näide 5

Teletorn paistab ühest punktist 53° nurga all. Tornile 100 m lähemal olevast punktist paistab see 68° nurga all. Leiame torni kõrguse poole meetri täpsusega.

Olgu
​a = 100 m,
​γ = 53° ja
​δ = 68°.

Siis
β = 180° – δ = 180° – 68° = 112° ja
​α = δ – γ = 68° – 53° = 15°.

Siinusteoreemi järgi   $\frac{a}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}=\frac{b}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }},$   seega   $b=\frac{a·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}.$

Kuid h = b · sin γ, järelikult

$h=\frac{a·\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }\text{\hspace{0.05em}sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }},$ 

​$h=\frac{100·\text{sin\hspace{0.05em}}112°·\text{sin\hspace{0.05em}}53°}{\text{sin\hspace{0.05em}}15°}\approx$    $286(m).$

Vastus. Teletorni kõrgus on umbes 286 meetrit.

Olgu
​a = 32 cm,
​b = 38 cm ja
​α = 52°

Siinusteoreemi   $\frac{a}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\alpha }}=\frac{b}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}$   põhjal saame

$\frac{32}{\text{sin\hspace{0.05em}}52°}=\frac{38}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\gamma }}.$

Siit   $\text{sin\hspace{0.05em}}\mathfrak{\beta }=\frac{38·\text{sin\hspace{0.05em}}52°}{32}\approx \mathrm{0,9358},$   millest β ≈ 69°21'.

Kolmnurga kolmas nurk on

γ = 180° – 52° – 69°21' ≈ 58°39'.

Nüüd saame leida külje c pikkuse:

$\frac{32}{\text{sin\hspace{0.05em}}52°}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}58°39\text{'}},$   millest

$c=\frac{32·\text{sin\hspace{0.05em}}58°39\text{'}}{\text{sin\hspace{0.05em}}52°}\approx \mathrm{34,7}(cm).$

Vastus. Kolmnurga kolmas külg on 34,7 cm ning nurgad 69°21' ja 58°39'.

Aga ka teise veerandi nurga (st nürinurga) siinus on positiivne, seega võib nurk β olla ka nürinurk:

β = 180° – 69°21' = 110°39'.

Lahendatav kolmnurk võib olla ka nürinurkne.

Leiame nurga γ ja külje c.

γ = 180° – 52° – 110°39' ≈ 17°21'.

$\frac{32}{\text{sin\hspace{0.05em}}52°}=\frac{c}{\text{sin\hspace{0.05em}}17°21\text{'}},$   millest

$c=\frac{32·\text{sin\hspace{0.05em}}17°21\text{'}}{\text{sin\hspace{0.05em}}52°}\approx \mathrm{12,1}(cm).$

Vastus. Kolmnurga kolmas külg on 12,1 cm ning nurgad 110°39' ja 17°21'.