- Что такое делитель числа?
- Что такое кратное?
- Какие числа являются простыми, а какие – составными?
- Сколько существует простых чисел?
Простые и составные числа
Задание 1
На классном вечере 16 учащихся приняли участие в коллективных играх. Все 16 учащихся были распределены по командам. Рассмотри рисунок и ответь на вопросы.
- Сколько учащихся могли входить в состав команды?
- Сколько команд можно составить для каждого конкретного числа участников команды?
Рассмотрим, на какие числа делятся натуральные числа от 1 до 10.
Как мы видим, у рассмотренных в нашем примере чисел разное число делителей.
- Число 1 делится только на само себя, то есть у него только один делитель.
- Числа 2, 3, 5 и 7 имеют по два делителя: число 1 и само число.
- Числа 6, 8 и 10 имеют больше всего делителей – четыре.
Некоторые числа имеют ещё больше делителей. Например, делителями числа 24 являются 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.
Примечание
Считается, что число 0 не имеет делителей, поэтому мы его здесь не рассматриваем.
Натуральное число, которое делится только на два числа, то есть на 1 и само себя, называется простым числом.
Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным числом.
Так как для больших чисел трудно установить, является ли число простым или составным, то составлены таблицы простых чисел. В конце учебника приведена одна из таких таблиц, содержащая все простые числа в пределах до 2053. На самом деле, простых чисел бесконечно много и наибольшего простого числа не существует.
Все числа, на которые делится данное число – это его делители.
Например, 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6. Поскольку 6 = 1 · 6 и 6 = 2 · 3, то представление числа в виде произведения его делителей называется разложением на множители. Таким образом, числа 1, 2, 3 и 6 можно назвать также множителями числа 6.
Из приведённых выше чисел простыми числами являются 2, 3, 5 и 7, а составными – 4, 6, 8, 9 и 10.
Число 1, как уже сказано, не является ни простым, ни составным.
Перемножая простые делители данного числа, то есть 2, 3, 5 и т. д., получаем новые делители числа. Например, простыми делителями числа 30 являются 2, 3 и 5. Кроме простых делителей, у него есть и составные делители 6, 10, 15 и 30, полученные как произведения простых делителей, соответственно, 2 · 3, 2 · 5, 3 · 5 и 2 · 3 · 5.
Начнём умножать, например, число 2 поочерёдно на числа 1, 2, 3, 4, 5, ... . Получим числа 2, 4, 6, 8, 10, ... . Эти числа называются кратными числу 2.
Пример
Убедись, что числа 21 и 156 являются кратными числу 3. Какой вывод можно сделать?
Объясни, как получено произведение 52 · 3. Таким же образом можно действовать при устных вычислениях с бóльшими числами.
Вывод. Числа 21 и 156 делятся на 3 нацело, так как они кратны числу 3.
Любое натуральное число (кроме нуля), которое делится на данное натуральное число, называется кратным данному числу.
Следовательно, все числа, кратные данному числу, делятся на это число нацело.
Упражнения
Можешь воспользоваться таблицей простых чисел в конце учебника.
- 22
- 48
- 59
- 63
- 79
- 102
- 127
- 152
- 233
- 258
- 482
- 503
- 555
- 569
- 1361
- 1362
- 1999
- 2019
Полученные числа простыми, так как они делятся
Результат | |
7 ⋅ 7 = | |
7 ⋅ 11 = | |
7 ⋅ 13 = | |
7 ⋅ 17 = | |
7 ⋅ 19 = |
Вычисление
[2430 – 6 · (723 – 319)] · 2 + 488 =
=
1428 : [(1500 – 1496) · 5 + 2 · 11] – 34 =
=
[7 · 216 – (512 + 548) + 2 · 324] : 11 =
=
Промежуточные ответы
4 | 12 | 1512 |
42 | 2424 | 1100 |
20 | 6 | 648 |
34 | 404 | 1060 |
22 |
Математический клуб
- Найди наименьшее трёхзначное число, все цифры которого отличны от нуля, первая цифра не является составным числом, вторая цифра не является простым числом и третья цифра – простое число.
Ответ: это число . - Найди наименьшее простое число, которое больше 10 и у которого как сумма цифр, так и произведение цифр являются простыми числами.
Ответ: это число .
2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 =
Делители числа (в порядке возрастания):
- от 1 до 10: , 2, 5, 7, ;
- от 11 до 50: 11, , , ;
- от 51 до 100: , , ;
- от 101 до 1000: , , , .
