Murdvõrrandid

Murdvõrrandi mõiste
Murdvõrrandi määramispiirkond
Murdvõrrandi lahendamine
Murdvõrrandi lahendamine muutuja vahetusega
Murdvõrrandi lahendite leidmine jooniselt

Murdvõrrand

Mõiste

Definitsioon

Võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas, nimetatakse murdvõrrandiks.

$\frac{2}{x - 5} = \frac{x}{2}$

Põhjalikum definitsioon

Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis pärast vajalikke teisendusi (murdude ühisele nimetajale viimine, sarnaste liikmete koondamine jms) omandab kuju

$\frac{A (x)}{B (x)} = 0,$

kus A(x) ja B(x) on avaldised tundmatu x suhtes.

Märka

Murru nulliga võrdumise tingimuse kohaselt

$\frac{A (x)}{B (x)} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} A (x) = 0 \\ B (x) \neq 0 \end{cases}$ .

Nulliga jagamine

Tuletame meelde, et lõpliku suuruse jagamine nulliga on võimatu, sest tulemuseks on absoluutväärtuselt lõpmatu suur väärtus. Näiteks kui jagada positiivne suurus a > 0 järjest väiksemate positiivsete arvudega x, saame pöördvõrdelise seose

$y = \frac{a}{x}$

tõkestamatult kasvavad väärtused.

Hüperbool

Vaata joonist. Graaﬁliselt kujutab seda seost hüperbooli haru esimeses koordinaatveerandis.

Kui muutuja x läheneb nullile, läheneb jagamise tulemus y lõpmatusele.
x = 0 korral puudub avaldisel lõplik väärtus.

Seotud sisu

Murdvõrrandi määramispiirkond

Määramispiirkond

Võrrandi määramispiirkonnaks ehk lubatavate väärtuste piirkonnaks nimetatakse tundmatu kõikide selliste väärtuste hulka, mille puhul võrrandisse kuuluvatel avaldistel on väärtus.

Märka

Murdvõrrandi määramispiirkonnast tuleb välja arvata kõik sellised muutuja väärtused, mille korral murru nimetaja on null, sest nulliga ei saa jagada.

Näited

Näide 1

Võrrandi $\frac{x + 9}{8 - x} = 0$ määramispiirkonda ei kuulu arv 8, sest

8 – x ≠ 0.

Näide 2

Võrrandis $\frac{x + 9}{4 - x^{2}} = \frac{6}{x + 2}$

4 – x² ≠ 0 ja x + 2 ≠ 0.

Seega ei kuulu määramispiirkonda arvud 2 ja –2.

$\frac{2 x - 7}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{5 - x}{x^{2} - 3 x} + \frac{2 x + 6}{x^{2} - 2 x}$

määramispiirkonda mittekuuluvad arvud, kui tead, et

$x^{2} - 3 x \neq 0$
$2 x - 7 \neq 0$
$2 x + 6 \neq 0$
$x^{2} - 5 x + 6 \neq 0$
$5 - x \neq 0$
$x^{2} - 2 x \neq 0$

Vastus

Võrrandi määramispiirkonda kuuluvad kõik reaalarvud, välja arvatud arvud hulgast

Märgi, milliste x väärtuse korral murrul $\frac{x - 1}{x}$ väärtus puudub.

–1
0
1
Mis tahes $x$ korral on väärtus arvutatav.

Märgi, milliste x väärtuse korral on murd $\frac{x - 1}{x}$ võrdne nulliga.

–1
0
1
Sellist $x$ väärtust ei leidu.

Märgi, milliste x väärtuste korral murrul $\frac{x + 1}{x^{2} - 25}$ väärtus puudub.

–1
–5
5
0
1
Mis tahes $x$ korral on väärtus arvutatav.

Märgi, milliste x väärtuste korral on murd $\frac{x + 1}{x^{2} - 25}$ võrdne nulliga.

–5
–1
0
1
5
Sellist $x$ väärtust ei leidu.

Märgi, milliste x väärtuste korral murrul $\frac{5}{9 - x^{2}}$ väärtus puudub.

–3
–5
5
0
3
9
1
Mis tahes $x$ korral on väärtus arvutatav.

Märgi, milliste x väärtuste korral on murd $\frac{5}{9 - x^{2}}$ võrdne nulliga.

–5
–3
0
1
9
3
5
Sellist $x$ väärtust ei leidu.

Märgi, milliste x väärtuste korral murrul $\frac{x - 5}{x^{2} + 5}$ väärtus puudub.

–5
5
0
–1
1
Mis tahes $x$ korral on väärtus arvutatav.

Märgi, milliste x väärtuste korral on murd $\frac{x - 5}{x^{2} + 5}$ võrdne nulliga.

–5
0
1
–1
5
Sellist $x$ väärtust ei leidu.

Märgi, milliste x väärtuste korral murrul $\frac{1 - x^{2}}{5 x^{2} - 5 x}$ väärtus puudub.

–5
5
0
–1
1
Mis tahes $x$ korral on väärtus arvutatav.

Märgi, milliste x väärtuste korral on murd $\frac{1 - x^{2}}{5 x^{2} - 5 x}$ võrdne nulliga.

–5
0
1
–1
5
Sellist $x$ väärtust ei leidu.

Seotud sisu

Lahendamine

Lahendamisretsept

Vii kõik võrrandi liikmed ühele poole võrdusmärki.
Leia muutuja väärtused, mis ei kuulu määramispiirkonda.
Vii võrrandi liikmed ühisele murrujoonele: leia ühine nimetaja, korruta või jaga, lihtsusta.
Võrdsusta lugeja nulliga ning lahenda saadud võrrand.
Kontrolli, kas kõik lahendid kuuluvad võrrandi määramispiirkonda.
Kontrolli algvõrrandiga neid lahendeid, mis kuuluvad määramispiirkonda.

Märka

Lihtsamaid murdvõrrandeid võib lahendada võrde põhiomadust kasutades, kui määramispiirkond on fikseeritud.

$\frac{A (x)}{B (x)} = \frac{C (x)}{D (x)}$ ⇔

⇔ $A (x) \cdot D (x) = B (x) \cdot C (x)$

B(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0

Näide 1

Lahendame võrrandi $\frac{3}{2 x - 2} + \frac{3}{x - 1} = 1$ .

Viime kõik liikmed ühele poole võrdusmärki ja tegurdame nimetajad.

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{3}{x - 1} - 1 = 0$

Leiame ühise nimetaja ja laiendame lugejad.

$\frac{3 + 3 \cdot 2 - 2 (x - 1)}{2 (x - 1)} = 0$

Lihtsustame lugeja.

$\frac{3 + 6 - 2 x + 2}{2 (x - 1)} = 0$ ⇔ $\frac{- 2 x + 11}{2 (x - 1)} = 0$

Võrdsustame lugeja nulliga ja lahendame saadud võrrandi.

–2x + 11 = 0 ⇔ x = 5,5

Leitud lahend kuulub määramispiirkonda, sest tingimus 2(x – 1) ≠ 0 on täidetud.

Kontrollime algvõrrandiga.

vp: $\frac{3}{2 \cdot 5,5 - 2} + \frac{3}{5,5 - 1} =$ $\frac{3}{9} + \frac{3}{4,5} = 1$
vp = pp

Vastus

Võrrandi lahend on x = 5,5.

Lahendame võrrandi $\frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x^{2} - 1} = 4 .$

Lahendus

Viime kõik liikmed ühele poole võrdusmärki ja tegurdame nimetajad.

$\frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{(x - 1) (x + 1)} - 4 = 0$

Määramispiirkonda ei kuulu arvud

1
0
–1
2

Leiame murdude ühise nimetaja. Selleks on vähim avaldis, mis jagub kõigi nimetajatega.

$x - 1$
$x + 1$
$x^{2} - 1$
$x (x - 1)$

Korrutame murrud laiendajatega, koondame lugejas sarnased liikmed ja saame murru lugejaks ruutkolmliikme, mis peab võrduma nulliga.

$- 4 x^{2} + 5 x + 6 = 0$
$- 4 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Kuna määramispiirkonda mittekuuluvad arvud on teada, ei oma murru nimetaja edasisel lahendamisel enam tähtsust.

Saadud ruutvõrrandi lahendid on

2
–2
0,75
–0,75

Kontrolli määramispiirkonda kuuluva(te) lahendi(te) õigsust algvõrrandiga!

Vastus

Mõlemad lahendid kuuluvad määramispiirkonda ja on seega on murdvõrrandi lahendid.

Lahendame võrrandi $\frac{2}{x^{2} + x} - \frac{x + 4}{2 x} = \frac{x}{2 x + 2} .$

Lahendus

Viime kõik liikmed ühele poole võrdusmärki ja tegurdame nimetajad.

$\frac{2}{x (x + 1)} - \frac{x + 4}{2 x} - \frac{x}{2 (x + 1)} = 0$

Määramispiirkonda ei kuulu arvud

1
0
–1
2

Leiame murdude ühise nimetaja. Selleks on vähim avaldis, mis jagub kõigi nimetajatega.

$2 x + 2$
$2 x (x + 1)$
$2 x^{2} + x$
$2 x (x - 1)$

Korrutame murrud laiendajatega, koondame lugejas sarnased liikmed ja saame murru lugejaks avaldise, mis peab võrduma nulliga.

$- 2 x^{2} + 5 x + 12 = 0$
$- 2 x^{2} - 5 x = 0$

Saadud ruutvõrrandi lahendid on

0
–1,5
–2,5
4

Kontrolli määramispiirkonda kuuluva(te) lahendi(te) õigsust algvõrrandiga!

Vastus

Üks lahenditest ei kuulu määramispiirkonda ja seetõttu on murdvõrrandi lahendiks vaid
x = .

Lahendame võrrandi $\frac{2}{x - 3} = \frac{x}{2}$ võrde põhiomaduse ehk ristkorrutise reegli järgi.

Lahendus

1. Määramispiirkonda ei kuulu arv .

2. Kasutades võrde põhiomadust, saame

x(x – 3) = .

3. Avame sulud ja lahendame ruutvõrrandi

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$
$x^{2} - 3 x + 4 = 0$
$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Vastus

Ruutvõrrandi ja ühtlasi algvõrrandi lahendid on

1
4
–1
–4

1) $\frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x} = 0$

3
–3
0
1
–1
0,5

2) $\frac{3 x}{(5 - x) (x + 3)} = 0$

3
–3
0
5
–5
Lahendid puuduvad.

3) $\frac{x^{2} (2 x - 1)}{x + 1} = 0$

–0,5
Lahendid puuduvad.
0
1
–1
0,5

1) $\frac{(x + 3) (2 x - 1)}{x^{2} - 9} = 0$

3
–3
0
1
Lahendid puuduvad.
0,5

2) $\frac{5 x^{2} (x - 5)}{(x^{2} - 25) x} = 0$

1
–1
0
5
–5
Lahendid puuduvad.

3) $\frac{4 x^{2} - 1}{x^{2} - 4} = 0$

–4
4
–0,5
2
–2
0,5

Seotud sisu

Muutuja vahetus

Millal kasutada?

Teatud võrrandeid saab teisendada lihtsamale kujule, kui asendada tundmatut sisaldav avaldis uue muutujaga.

See eeldab, et esialgne avaldis sisaldab tundmatut vaid asendatava avaldise kujul konstantse liidetava täpsusega.

Märka

Kui xⁿ + k = a, siis

xⁿ + k + m = a + m.

Võrrandi lahendamine muutuja vahetusega

Lahendame võrrandi $\frac{1}{x^{2} - 3} + \frac{2}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} .$

Lahendus

Avaldised (x² + 1) ja (x² – 3) erinevad vaid konstandi poolest.

Asendame

x² + 1 = y, siis
x² – 3 = x² + 1 – 4 = y – 4.

Saame uue võrrandi

$\frac{1}{y - 4} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} .$

Viime kõik liikmed ühisele nimetajale 2y(y – 4), saame

$\frac{1^{\underset{⏝}{2 y}}}{y - 4} + \frac{2^{\underset{⏝}{2 (y - 4)}}}{y} = \frac{1^{\underset{⏝}{y (y - 4)}}}{2}$

$\frac{2 y + 4 (y - 4) - y (y - 4)}{2 y (y - 4)} = 0$

$\frac{- y^{2} + 10 y - 16}{2 y (y - 4)} = 0$

Võrdsustame lugeja 0-ga ja samas seame tingimuse, et nimetaja ei tohi olla 0.

y² – 10y + 16 = 0 ja y(y – 4) ≠ 0

Leiame lahendid.

y₁ = 2 ja y₂ = 8.

Mõlemad väärtused sobivad, sest tingimus y(y – 4) ≠ 0 on täidetud.

Saame esialgse tundmatu jaoks 2 võrrandit.

x² + 1 = 2
x₁ = –1
x₂ = 1

x² = 7
x₃ = $- \sqrt{7}$
x₄ = $\sqrt{7}$

Vastus

Võrrandil on neli lahendit: x₁ = –1, x₂ = 1, x₃ = $- \sqrt{7}$ , x₄ = $\sqrt{7}$ .

Kui x² + 10 = a, siis
x² – 10 = .
Kui y² – 5y + 3 = p, siis
y² – 5y + 8 = .
Kui x + 2 = m, siis
3x + 6 = .
Kui a³ – 5 = x. siis
a³ + 1 = .

Seotud sisu

Graafiline lahendus

Märka

Võrrandi f(x) = 0 lahenditeks on funktsiooni y = f(x) nullkohad.

Võrrandi f(x) = g(x) lahenditeks on funktsioonide f(x) ja g(x)graafikute lõikepunktide abstsissid.

Mõtle

Joonisel on võrrandi

$\frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x} = 0$

üks võimalikest graafilistest lahendustest. Lohista võrrandi lahendid joonisele.

3
0,5
0

Joonisel on võrrandi

$\frac{7 x - 5}{8 x + 3} = 4$

üks võimalikest graafilistest lahendustest. Lohista võrrandi lahend joonisele õigesse kohta.

–0,68
0
0,68
–1,67

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\frac{x (x - 1)}{x^{2} - 4 x + 3} = 0$
x =

$\frac{(x - 2) (x - 3)}{x^{2} - 4 x + 4} = 0$
x =

$\frac{x^{2} + 5 x - 14}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

2
–2
7
–7
Lahendid puuduvad.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

2
–2
7
–7
Lahendid puuduvad.

Nõuanne

Tegurda lugeja või nimetaja ning kasuta murru nulliga võrdumise tingimust.

$\frac{3 - x}{3 + x} = \frac{x}{x + 8}$

Määramispiirkonda ei kuulu arvud

3
–3
0
–8

Võrrandi lahendite summa on .

$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{2 - 2 x}{x}$

Määramispiirkonda ei kuulu arvud

1
–1
0
–2

Võrrandil on kaks lahendit, millest suurem on .

$\frac{1}{10 x - 1} = \frac{1}{2 - 5 x}$

Võrrandi ainuke lahend on
x = .

$\frac{2}{x^{2} + 3} + \frac{4}{x^{2} + 7} = 1$

Kui x² + 3 = a, siis
x² + 7 = a + .

Pärast muutuja vahetust, murdude laiendamist ja lihtsustamist tuleb lahendada ruutvõrrand

$a^{2} + 10 a + 8 = 0$
$a^{2} - 2 a - 8 = 0$
$a^{2} + 2 a - 8 = 0$
$a^{2} - 2 a + 24 = 0$

Lahenda ruutvõrrand ja asenda a₁ ja a₂ punkt 1 avaldisse. Saad kaks ruutvõrrandit:

$x^{2} = 1$
$x^{2} = -5$
$x^{2} = 4$
$x^{2} = -2$

Saadud ruutvõrranditest lahendub vaid üks.

Vastus

Murdvõrrandi lahendid kuuluvad hulka

1) $\frac{3 x - 5}{x - 2} - \frac{3 - x}{x - 2} = 0$

Lõpmata palju lahendeid.
Lahendid puuduvad.
Üks lahend.
Kaks lahendit.

2) $\frac{3 x - 5}{x - 2} = \frac{3 - x}{x + 2}$

Lõpmata palju lahendeid.
Lahendid puuduvad.
Üks lahend.
Kaks lahendit.

3) $\frac{3 x + 5}{x - 2} = \frac{3 - x}{x - 2}$

Lõpmata palju lahendeid.
Lahendid puuduvad.
Üks lahend.
Kaks lahendit.

$\frac{2 (x + 2) (1 - x)}{x^{2} - 7 x + 10} = 0$
$\frac{{(x - 2)}^{2}}{x + 1} = 0$
$\frac{x - 2}{x + 1} = 1$
$\frac{x - 2}{x^{2} - 7 x + 10} = 0$

võrrandi vasakut poolt täiendada teguriga (x – 3)?

Lahendihulk jääb samaks.
Lahendihulka lisandub 3.
Lahendihulka ei saa kuuluda 3.

võrrandi vasakut poolt täiendada teguriga (x – 3)^–1?

Lahendihulk jääb samaks.
Lahendihulka lisandub 3.
Lahendihulka ei saa kuuluda 3.

$(x - 1) (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}) = - \frac{1}{5}$

Võrrandi määramispiirkonda ei kuulu

1
–1
0
5

Pärast lihtsustamist on vasakul pool murd

$\frac{2 x - 1}{x}$
$\frac{1}{x - 1}$
$\frac{1}{x}$
$\frac{x - 1}{x}$

Vastus

Võrrandi lahend on
x = .

$\frac{4 - 2 x}{4 - x^{2}} : \frac{2 - x}{2 + x} - \frac{2}{2 - x} = x^{2} - 3 x - 10$

Võrrandi määramispiirkonda ei kuulu

2
–2
0
1

Tegurda kaksliikmed.

4 – 2x = ()

4 – x² = (2 + )(–)

Pärast lihtsustamist jääb veel lahendada ruutvõrrand

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$
$x^{2} - 3 x = 0$
$x^{2} - 3 x - 8 = 0$
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$

Ruutvõrrandi lahendid on

–2
–5
2
5

Vastus

Murdvõrrandil on üks lahend
x = , sest teine ruutvõrrandi lahend ei kuulu määramispiirkonda.

$\frac{x^{2} - 1}{2 x + 2} = 0$

1
–1
0
Lahendid puuduvad.

$\frac{2 x + 2}{x^{2} - 1} = 0$

1
–2
2
–1
3
Lahendid puuduvad.

$\frac{x^{2} - 1}{2 x + 2} = 1$

1
–2
–3
–1
3
Lahendid puuduvad.

$\frac{x^{3} - 8}{x + 2} = 0$

2
–2
1
Lahendid puuduvad hulgas $ℝ .$

$\frac{x^{3} + 8}{x - 2} = 0$

2
–2
1
Lahendid puuduvad hulgas $ℝ .$

$\frac{x^{3} + 8}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

2
–2
1
Lahendid puuduvad hulgas $ℝ .$

$\frac{x^{3} + 8}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

2
–2
1
Lahendid puuduvad hulgas $ℝ .$

Seotud sisu

Jäta meelde

Murdvõrrand saab pärast lihtsustamist kuju

$\frac{A (x)}{B (x)} = 0,$ kus

$A (x) = 0$
$A (x) \neq 0$
$B (x) = 0$
$B (x) \neq 0$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Murd­võrrandid

Seotud sisu

Murdvõrrand

Mõiste

Definitsioon

Põhjalikum definitsioon

Märka

Nulliga jagamine

Hüperbool

Seotud sisu

Murdvõrrandi määramispiirkond

Määramispiirkond

Märka

Näited

Näide 1

Näide 2

Vastus

Seotud sisu

Lahendamine

Lahendamisretsept

Märka

Näide 1

Vastus

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Muutuja vahetus

Millal kasutada?

Märka

Võrrandi lahendamine muutuja vahetusega

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Graafiline lahendus

Märka

Mõtle

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Nõuanne

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Murdvõrrandid