Juurvõrrandid

Juurvõrrandi mõiste ja ühte juurt sisaldavate võrrandite lahendamine
Kahe juurega juurvõrandi lahendamine
Juurvõrrandi lahendamine muutuja vahetusega

Seotud sisu

Juured võrrandis

Kui $\sqrt{x} = 5,$ siis
x =

Kui $\sqrt{x + 1} = 5,$ siis
x =

Kui $\sqrt[3]{y} = 3,$ siis
y =

Kui $\sqrt[3]{3 y} = 3,$ siis
y =

Kui $\sqrt[5]{a} = - 2,$ siis
a =

Kui $\sqrt[5]{a - 2} = - 2,$ siis
a =

Kui $\sqrt[4]{m^{4}} = 7,$ siis m =

7
–7
lahendid puuduvad.
49

Kui $p^{\frac{1}{2}} = 16,$ siis p =

4
–4
lahendid puuduvad.
256

Kui $q^{\frac{1}{4}} = - 2,$ siis q =

16
–16
lahendid puuduvad.
–8

Märka

Juurimine on astendamise pöördtehe.

Kui $\sqrt[n]{a} = b,$ siis

bⁿ = a.

Seotud sisu

Ühe juurega võrrand

Juurvõrrand

Juurvõrrandiks on võrrand, milles tundmatu esineb juuremärgi all.

Juurvõrrandid on näiteks

$\sqrt[3]{x} = 1 - 2$ ja $\sqrt[]{x^{2} + 9} = x - 2 .$

Juurvõrrand ei ole aga

$\sqrt{3} x^{2} - \sqrt[3]{2} x + 2 \sqrt{5} = 0 .$

Märka

Juurvõrrandeid lahendades arvestame, et paarisarvulise juure all on mittenegatiivne arv

$\sqrt[2 k]{a} \geq 0, a \geq 0 .$

Lahendamisretsept

Juurvõrrandi lahendamise põhimeetodiks on juurtest vabanemine. Selleks tuleb võrrandi mõlemad pooled tõsta samasse astmesse.

Teisenda võrrandi kujule, kus juur on ühel pool võrdusmärki ning ülejäänud liikmed teisel pool.
Astenda võrrandi pooli astendajaga, mis kaotaks juure.
Lahenda saadud võrrand.

NB! Saadud võrrand ei pruugi aga olla samaväärne esialgsega, kui astendajaks on paarisarv.
Järelikult tuleb niimoodi saadud võrrandi lahendeid kontrollida, kas need rahuldavad esialgset võrrandit, ja kõrvaldada võõrlahendid.

Märka valemit

Kaksliikmete astendamisel kasuta valemit

(a ± b)² = a² ± 2ab + b².

Lihtsad näited

Näide 1

Lahendame võrrandi (x + 3)^0,5 = 2.

Lahendus

Astendame võrrandi pooli 2-ga ja lahendame saadud võrrandi.

x + 3 = 4, millest x = 1.

Kontroll

(1 + 3)^0,5 = 4^0,5 = 2,
vp = pp

Vastus

x = 1

Võrrandi üks võimalik geomeetriline lahendus on joonisel 1.

Näide 2

Lahendame võrrandi $\sqrt{x - 2} = \frac{x}{3} .$

Lahendus

Astendame võrrandi pooli 2-ga.

$x - 2 = \frac{x^{2}}{9}$

Saadud ruutvõrrandi lahendid on

x₁ = 3 ja x₂ = 6.

Kontrollimisel selgub, et mõlemad lahendid sobivad ning seda näitab ka joonis 2.

Vastus

Võrrandil on kaks lahendit, x₁ = 3 ja x₂ = 6.

Näide 3

Lahendame võrrandi $\sqrt{x + 7} - 2 x = - 1 .$

Lahendus

Jätame ruutjuure ühele poole ja viime teised liikmed teisele poole võrdusmärki.

$\sqrt{x + 7} = 2 x - 1$

Tõstame mõlemad pooled ruutu.

${(\sqrt{x + 7})}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

$x + 7 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Saadud ruutvõrrandi lahenditeks on –0,75 ja 2.
Kontrollimisel selgub, et esimene neist on võõrlahend.

Vastus

Võrrandi ainuke lahend on x = 2.

Mõtle

x = 1
x = 2

x = 3
x = 6

Seotud sisu

Kahe juurega võrrand

Näide

Lahendame võrrandi $\sqrt{y + 6} + 1 = \sqrt{2 y - 2} + 2 .$

Lahendus

Jätame võrrandi vasakule poole ainult ühe juure. Selleks lahutame võrrandi mõlemalt poolelt arvu üks.

$\sqrt{y + 6} = \sqrt{2 y - 2} + 1$

Võtame mõlemad pooled ruutu.

${(\sqrt{y + 6})}^{2} = {(\sqrt{2 y - 2} + 1)}^{2}$

$y + 6 = 2 y - 2 + 2 \sqrt{2 y - 2} + 1$

Avaldame järelejäänud juure ülejäänud liikmete kaudu ja tõstame veel kord mõlemad pooled ruutu.

$2 \sqrt{2 y - 2} = 7 - y$

${(2 \sqrt{2 y - 2})}^{2} = {(7 - y)}^{2}$

Lahendus jätkub järgmisel slaidil.

Avame sulud ${(2 \sqrt{2 y - 2})}^{2} = {(7 - y)}^{2}$ ja saame ruutvõrrandi.

y² – y + = 0.

Ruutvõrrandi lahendid on

19
3
–3
–19

Kontrolli mõlema lahendi sobivust algvõrrandisse.

Vastus

Võrrandi ainuke lahend on x = .

Märka

${(a + \sqrt{x + b})}^{2} =$

$= a^{2} + 2 a \sqrt{x + b} + x + b$

5
(5; 0)
(0; 5)
∅
0
$ℝ$

Seotud sisu

Muutuja vahetus juurvõrrandis

Näide. Mõtle kaasa

Lahendame võrrandi $\sqrt{\frac{x + 11}{1 - x}} + 12 \sqrt{\frac{1 - x}{x + 11}} = 7 .$

Võrrandis olevad juured on teineteise pöördväärtused, seepärast teeme asenduse.

$\sqrt{\frac{x + 11}{1 - x}} = t$ ja $\sqrt{\frac{1 - x}{x + 11}} = \frac{1}{t}$

Leiame muutuja t

Pärast asenduse tegemist saame murdvõrrandi.

$t + \frac{12}{t} = 7$

Viime kõik liikmed ühisele nimetajale ja lahendame võrrandi.

$\frac{t^{2} - 7 t + 12}{t} = 0$

t² – 7t + 12 = 0, t ≠ 0

t₁ = 3 ja t₂ = 4.

Lahendus jätkub järgmisel slaidil.

Asendame ruutvõrrandi lahendid t₁ = 3 ja t₂ = 4 juurvõrrandisse.

$\sqrt{\frac{x + 11}{1 - x}} = 3$
$\frac{x + 11}{1 - x} = 9$
x + 11 = 9(1 – x)
x₁ =

$\sqrt{\frac{x + 11}{1 - x}} = 4$
$\frac{x + 11}{1 - x} = 16$
x + 11 = 16(1 – x)
x₂ = $\frac{}{}$

Kontroll näitab, et mõlemad lahendid sobivad.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\sqrt{x - 1} = 7 - x$
x² – x + = 0
$3 \sqrt{x + 2} = 2 + x$
x² – x – = 0
$x - \sqrt{x + 1} = 1$
x² – x = 0

Vastus

Juurvõrrandite lahendid on

7
5
–2
10
0
3
2
–5

$\sqrt{x - 3} = 2$
x =
$\sqrt[3]{x + 2} = 3$
x =
${(x + 4)}^{\frac{1}{4}} = 2$
x =
$\sqrt[5]{1 - 2 y} = 0$
y =
a^0,5 = 2 – a
a =
$\sqrt[4]{4 x + 1} = 3$
x =

$(x^{2} - 9) \sqrt{2 - x} = 0$

–3
–2
2
3

$(x^{2} - 4) \sqrt{x - 5} = 0$

–5
–2
2
5

$\sqrt{x} (3 x - 4) = 0$

0
$\frac{3}{4}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{1}{3}$

$(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} - 3 x} = 0$

–1
1
3
0

Kahe juurega võrrandid

$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 13} = 6$

Pärast esimest astendamist, lihtsustamist ja ühise teguriga 12 läbijagamist lahenda ühe juurega võrrand.

$\sqrt{x + 13}$ =

Vastus

Juurvõrrandi lahend
x = .

$\sqrt{x + 14} - \sqrt{x + 5} = 3$

Pärast esimest astendamist ja lihtsustamist lahenda ühe juurega võrrand.

$6 \sqrt{x + 5}$ =

Vastus

Juurvõrrandi lahend
x = .

$\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{x + 5} = 1$

Pärast esimest astendamist ja lihtsustamist saad ühe juurega võrrandi.

x – = $2 \sqrt{x + 5}$

Pärast teist ruutu tõstmist ja lihtsustamist tuleb lahenda ruutvõrrand.

x² – x + = 0

Kontrolli, et teada saada, kumb on võõrlahend.

Vastus

Juurvõrrandi lahend
x = .

$\sqrt{3 x - 5} + \sqrt{x - 2} = 3$

Pärast esimest astendamist, lihtsustamist ning võrrandi poolte läbijagamist ühise teguriga 2, saad ühe juurega võrrandi.

$3 \sqrt{x - 2}$ = – x

Pärast teist ruutu tõstmist ja lihtsustamist tuleb lahendada ruutvõrrand.

x² – x + = 0.

Kontrolli, kumb lahend sobib.

Vastus

Juurvõrrandi lahend
x = .

Võrrandil $\sqrt{x + 4} = x + 4$

Võrrandil $\sqrt{x + 4} = x + 2$

Võrrandil $\sqrt{x - 4} = x - 2$

Võrrandil $\sqrt{x + 4} = x - 2$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Juur­võrrandid

Seotud sisu

Juured võrrandis

Märka

Seotud sisu

Ühe juurega võrrand

Juurvõrrand

Märka

Lahendamisretsept

Märka valemit

Lihtsad näited

Näide 1

Lahendus

Kontroll

Vastus

Näide 2

Lahendus

Vastus

Näide 3

Lahendus

Vastus

Mõtle

Seotud sisu

Kahe juurega võrrand

Näide

Lahendus

Lahendus jätkub järgmisel slaidil.

Vastus

Märka

Seotud sisu

Muutuja vahetus juurvõrrandis

Näide. Mõtle kaasa

Leiame muutuja t

Lahendus jätkub järgmisel slaidil.

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Kahe juurega võrrandid

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Juurvõrrandid