Determinant

Maatriksi mõiste
Kaherealine determinant
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Crameri valemitega

Maatriks

Definitsioon

(m; n)-maatriks on elementide tabel, millel on m rida ja n veergu. Maatriksit, millel on ridu ja veerge võrdselt n, nimetatakse n-järku ruutmaatriksiks.

Näiteks $M = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 9 & 0 \end{matrix})$

Märka

Maatriksit moodustavaid suurusi nimetatakse maatriksi elementideks. Elementideks võivad olla arvud, muutujad, funktsioonid või mingid muud suurused.

Näide 1

Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi

$\{\begin{cases} a x + b y = e \\ c x + d y = f \end{cases} .$

Tundmatute kordajatest saab moodustada tabeli

$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = A$ ,

millel on kaks rida ja kaks veergu. Sellist tabelit nimetatakse maatriksiks.

Maatriks A on teist järku ruutmaatriks, sest selle ridade ja veergude arv on võrdne kahega. Kui lisame sellele maatriksile veel vabaliikmete veeru $(\begin{matrix} e \\ f \end{matrix}),$ saame ristkülikukujulise maatriksi

$B = (\begin{matrix} a & b & e \\ c & d & f \end{matrix}),$

millel on 2 rida ja 3 veergu.

Öeldakse, et maatriks B on (2; 3) maatriks.

Seotud sisu

Determinant

Definitsioon

Teist järku ruutmaatriksi A determinandiks nimetatakse suurust

$|A| = |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ ,

mis on kaherealine determinant.

Kaherealine determinant on null siis ja ainult siis, kui selle read (veerud) on võrdelised.

Kui $\frac{a}{c} = \frac{b}{d},$ siis ad = bc
ja
ad – bc = 0.

Märka

Ülalt vasakult alla paremale minevat ruutmaatriksi või determinandi diagonaali nimetatakse peadiagonaaliks, teist diagonaali aga kõrvaldiagonaaliks.

Näited 2 ja 3

3. Determinandi arvutamine

Leiame determinandi $D = |\begin{matrix} - 1 & 5 \\ 4 & 15 \end{matrix}| .$

Lahendus

Lahutame peadiagonaali elementide korrutisest kõrvaldiagonaali elementide korrutise.

Vastus

D = –1 ⋅ 15 – 5 ⋅ 4 = –15 – 20 = –35

2. Determinant võrdne nulliga

Arvutame determinandi $D = |\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 6 & - 4 \end{matrix}| .$

Lahendus

Lahutame peadiagonaali elementide korrutisest kõrvaldiagonaali elementide korrutise.

Vastus

D = 3 ⋅ (–4) – (–2) ⋅ 6 = –12 + 12 = 0

1) $\|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\| =$	3) $\|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 9 & 5 \end{matrix}\| =$
2) $\|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\| =$	4) $\|\begin{matrix} - 2 & - 9 \\ 0 & - 7 \end{matrix}\| =$

1) $\|\begin{matrix} 6 & 5 \\ 1 \end{matrix}\| = - 9$	3) $\|\begin{matrix} 10 \\ - 1 & 4 \end{matrix}\| = 2$
2) $\|\begin{matrix} 2 \\ 5 & 12 \end{matrix}\| = 4$	4) $\|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 \end{matrix}\| = - 13$

Seotud sisu

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine

Crameri teoreem

Kui lineaarvõrrandisüsteemi determinant on nullist erinev, siis on süsteemil ühene lahend, mis avaldub determinantide kaudu järgmiselt:

$x = \frac{Δ_{x}}{Δ},$ $y = \frac{Δ_{y}}{Δ},$

kus $Δ = |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|,$ $Δ_{x} = |\begin{matrix} e & b \\ f & d \end{matrix}|,$ $Δ_{y} = |\begin{matrix} a & e \\ c & f \end{matrix}|$ ja $Δ \neq 0 .$

Lahendite olemasolu

$Δ \neq 0$

süsteemil on üks lahendipaar

$Δ = Δ_{x} = Δ_{y} = 0$

lahendeid on lõpmata palju

$Δ = 0,$ $Δ_{x} \neq 0,$ $Δ_{y} \neq 0$

lahendid puuduvad

Märka

$\{\begin{cases} a x + b y = e \\ c x + d y = f \end{cases}$

Näide 4

Lahendame võrrandisüsteemi $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 8 \\ 4 x + 5 y = 5 \end{cases}$ Crameri meetodiga.

Lahendus

Leiame süsteemi determinandi.

$Δ = |\begin{array}{r} 2 & - 3 \\ 4 & 5 \end{array}| = 22$

Leiame tundmatu x determinandi.

$Δ_{x} = |\begin{array}{r} 8 & -3 \\ 5 & 5 \end{array}| = 55$

Leiame tundmatu y determinandi.

$Δ_{y} = |\begin{matrix} 2 & 8 \\ 4 & 5 \end{matrix}| = -22$

Leiame tundmatud.

$x = \frac{Δ_{x}}{Δ} = \frac{55}{22} = 2,5$

$y = \frac{Δ_{y}}{Δ} = \frac{-22}{22} = -1$

Kontrolli lahendeid.

Vastus

Süsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = 2,5 \\ y = -1 \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 3 x & - & 2 y & = & 16 \\ -5 x & + & y & = & -15 \end{array}$

Süsteemi determinant

$Δ = |\begin{array}{r} \end{array}| =$

Tundmatu x determinant

$Δ_{x} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$

Tundmatu y determinant

$Δ_{y} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$

Vastus

Süsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Crameri teoreem

Võrrandisüsteemi $\{\begin{cases} a x + b y = e \\ c x + d y = f \end{cases}$ lahendid on

$x = \frac{Δ_{x}}{Δ}$ ja $y = \frac{Δ_{y}}{Δ} .$

Tõestamine

Tõesta iseseisvalt Crameri teoreem. Abiks on järgmised juhised. Kui hakkama ei saa, vaata järgmist slaidi, kus on näidatud tundmatu x leidmist.

Lahenda võrrandisüsteem $\{\begin{cases} a x + b y = e \\ c x + d y = f \end{cases}$ lahutamisvõttega.
Tundmatu x avaldamiseks korruta ülemine võrrand arvuga d ja alumine võrrand arvuga b. Siis tundmatu y elimineerub.
Avalda süsteemi determinant $Δ$ , tundmatu x determinant $Δ_{x}$ ning jagatis $\frac{Δ_{x}}{Δ} .$
Võrdle seda jagatist enne leitud x-ga.
Korda sama muutujaga y.

Tõestus

Korrutame ülemist võrrandit d-ga ja alumist b-ga.

$\{\begin{cases} a x + b y = e |\cdot d \\ c x + d y = f |\cdot (- b) \end{cases} \Leftrightarrow$

$- \{\begin{cases} a d x + b d y = e d \\ b c x + b d y = b f \end{cases}$

Lahutame võrrandid.

adx – bdy = ed – bf

Avaldame tundmatu x.

(ad – bc)x = ed – bf

$x = \frac{e d - b f}{a d - b c}$

Süsteemi determinant

$Δ = |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$

Tundmatu x determinant

$Δ_{x} = |\begin{matrix} e & b \\ f & d \end{matrix}| = e d - b f$

Jagame $\frac{Δ_{x}}{Δ}$ ning näeme, et

$x = \frac{e d - b f}{a d - b c} = \frac{Δ_{x}}{Δ}$ ■

$\{\begin{array}{r} 13 x & + & 5 y & = & 12,1 \\ 7 x & - & 3 y & = & 3,1 \end{array}$

Süsteemi determinant
$Δ = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
Tundmatu x determinant
$Δ_{x} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
Tundmatu y determinant
$Δ_{y} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$

Vastus

Süsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 21 x & + & 17 y & = & 147 \\ 11 x & - & 7 y & = & 77 \end{array}$

Süsteemi determinant
$Δ = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
Tundmatu x determinant
$Δ_{x} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
Tundmatu y determinant $Δ_{y} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$

Vastus

Süsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & 3 y & = & 10 \\ 2 y & - & 3 x & = & -41 \end{array}$

Süsteemi determinant
$Δ = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
Tundmatu x determinant
$Δ_{x} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
Tundmatu y determinant
$Δ_{y} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$

Vastus

Süsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

$|\begin{matrix} -5 & 2 x \\ 10 & - x \end{matrix}| = -45$

Vastus

x =

$\{\begin{array}{r} 5 x & - & p y & = & 19 \\ 10 x & + & 20 y & = & 8 \end{array}$

Lahendus

Ühese lahendi puudumine tähendab, et lahendeid on lõpmata palju või lahendid puuduvad. Sellisel juhul peab süsteemi determinant võrduma nulliga.

D = $|\begin{matrix} \end{matrix}|$ =

Vastus

p =

Kui $Δ = |\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}|$ ja $Δ_{x} = |\begin{array}{r} 6 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}|,$ siis

$\{\begin{cases} x + y = \\ x - y = \end{cases} .$

Selle süsteemi graafiline lahendus

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

Kui $Δ = |\begin{array}{r} 2 & -1 \\ 0,5 & -1 \end{array}|$ ja $Δ_{y} = |\begin{array}{r} 2 & 3 \\ 0,5 & - 3 \end{array}|,$ siis

$\{\begin{cases} x y = \\ x y = \end{cases} .$

Selle süsteemi graafiline lahendus

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

Kui $Δ_{x} = |\begin{array}{r} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{array}|$ ja $Δ_{y} = |\begin{array}{r} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}|,$ siis

$\{\begin{cases} x & y & = \\ x & y & = \end{cases} .$

Selle süsteemi graafiline lahendus

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

Seotud sisu

Jäta meelde

+
–
kp
ks
kt
pt
ps
ts

x
y
Δ
–Δ
Δx
Δy
–Δx
–Δy

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

1) $\|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\| =$	3) $\|\begin{matrix} 0 & 2 \\ 9 & 5 \end{matrix}\| =$
2) $\|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\| =$	4) $\|\begin{matrix} - 2 & - 9 \\ 0 & - 7 \end{matrix}\| =$

1) $\|\begin{matrix} 6 & 5 \\ 1 \end{matrix}\| = - 9$	3) $\|\begin{matrix} 10 \\ - 1 & 4 \end{matrix}\| = 2$
2) $\|\begin{matrix} 2 \\ 5 & 12 \end{matrix}\| = 4$	4) $\|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 \end{matrix}\| = - 13$

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Determinant

Seotud sisu

Maatriks

Definitsioon

Märka

Näide 1

Seotud sisu

Determinant

Definitsioon

Märka

Näited 2 ja 3

3. Determinandi arvutamine

Lahendus

Vastus

2. Determinant võrdne nulliga

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Lineaarvõrrandi­süsteemi lahendamine

Crameri teoreem

Lahendite olemasolu

Märka

Näide 4

Lahendus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Crameri teoreem

Tõestamine

Tõestus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Lahendus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine