Liigu edasi põhisisu juurde Peamenüü

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarvõrrandisüsteemi graafiline lahendamine
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega

Graafiline lahendamine

Lineaarvõrrandisüsteem

Kahe tundmatuga kahest võrrandist koosneva lineaarvõrrandisüsteemi normaalkuju on

$\{\begin{cases} a x + b y = e \\ c x + d y = f \end{cases}$ ,

kus a, b, c, d, e ja f on reaalarvud,
x ja y on tundmatud.

Lõikuvad sirged

Loe edasi

Selgitused

Lineaarvõrrandisüsteemi kumbki võrrand kujutab graaﬁliselt sirget. Näiteks kui muutuja y juures olev kordaja nullist erineb, saame avaldada muutuja y muutuja x kaudu. Tulemuseks on sirge võrrand tõusu ja algordinaadi kaudu.

Kui muutuja y kordaja on null, teisendub võrrand kujule

x = g,

mille graaﬁkuks on samuti sirge, kuid see on paralleelne y-teljega.

Seega, esimesele võrrandile vastab graaﬁliselt sirge s, mille kõik punktid rahuldavad seda võrrandit, ja teisele võrrandile sirge t, mille kõik punktid rahuldavad teist võrrandit.

Süsteemi lahendiks on punktid P(x; y), mille koordinaadid rahuldavad korraga mõlemat võrrandit. Seega on süsteemi lahendiks sirgete s ja t lõikepunkt P (vaata joonist).

Märka

Graaﬁlise meetodi puuduseks on, et sageli saame graaﬁkult vaid lahendi ligikaudsed väärtused.

Näited

Lahendame võrrandisüsteemi graafiliselt.

$\{\begin{array}{r} x & + & 2 y & = & -8 \\ 2 x & + & y & = & 2 \end{array}$

x = 0,5
y = –4
x = 4
y = 2
x = –8
y = –6

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

Paralleelsed sirged

Lahendame võrrandisüsteemi

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & y & = & 6 \\ 4 x & + & 2 y & = & 0 \end{array} .$

Joonestame koordinaatteljestikku mõlemad sirged.

y = –2x + 6
ja
y = –2x

Need sirged on paralleelsed ning seetõttu süsteemil lahendid puuduvad.

Ühtivad sirged

Lahendame võrrandisüsteemi

. $\{\begin{array}{r} 2 x & + & y & = & 6 \\ 4 x & + & 2 y & = & 12 \end{array} .$

Joonestame teljestikku mõlemad sirged.

y = –2x + 6
ja
2y = –4x + 12 | : 2

Need sirged ühtivad ja lahendeid on seetõttu lõpmata palju.

$\{\begin{array}{r} 2 x & - & 4 y & = & -4 \\ x & - & 2 y & = & 6 \end{array}$
Süsteemil
$\{\begin{array}{r} x & - & 2 y & = & 6 \\ 2 x & + & y & = & 1 \end{array}$
Süsteemil

Liitmisvõte

Liitmisvõtte idee

seisneb üleminekul ühe tundmatuga võrrandile. Teine tundmatu kõrvaldatakse kas võrrandite liitmise või lahutamise teel.

Selleks peavad kõrvaldatava tundmatu kordajad olema kas vastandarvud või võrdsed arvud.

Algses võrrandisüsteemis ei pruugi see nii olla. Sel juhul tuleb võrrandite pooli korrutada sobivalt valitud arvudega.

Märka

Võrrandite liitmise asemel võib need hoopis lahutada, sest lahutamine on negatiivse arvu liitmine.

Näited

Näide 1

Lahendame liitmisvõttega võrrandisüsteemi.

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & 3 y & = & 4 \\ 3 x & - & 4 y & = & -11 \end{array}$

Lahendus

Vabaneme näiteks tundmatust x. Selleks korrutame esimest võrrandit 3-ga ja teist –2-ga.

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & 3 y & = & 4 & |\cdot 3 \\ 3 x & - & 4 y & = & -11 & |\cdot (-2) \end{array} \Leftrightarrow$

$\{\begin{array}{r} 6 x & + & 9 y & = & 12 \\ -6 x & + & 8 y & = & 22 \end{array}$

Liidame esimesele võrrandile teise.

$+ \{\begin{array}{r} 6 x & + & 9 y & = & 12 \\ -6 x & + & 8 y & = & 22 \end{array}$
$\begin{array}{r} 17 y & = & 34 \\ y & = & 2 \end{array}$

Asetame y väärtuse esimesse võrrandisse.

2x + 3 ⋅ 2 = 4
2x = 2
x = 1

Kontrolli lahendite õigsust!

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 3 x & - & 4 y & = & 6 \\ 4 x & + & 3 y & = & 8 \end{array}$

1. Tundmatust y vabanemiseks tuleb esimest võrrandit korrutada –3-ga ja teist võrrandit 4-ga.

$\{\begin{array}{r} 3 x & - & 4 y & = & 6 & |\cdot (-3) \\ 4 x & + & 3 y & = & 8 & |\cdot 4 \end{array} \Leftrightarrow$

$\{\begin{array}{r} x & + & y & = \\ x & + & y & = \end{array}$

2.Lahutame esimesest võrrandist teise.

$- \{\begin{array}{r} x & + & 12 y & = \\ x & + & 12 y & = \end{array}$
$\begin{array}{r} x & = \\ x & = \end{array}$

3. Asetame x väärtuse esimesse võrrandisse ja lahendame saadud võrrandi.

3 ⋅ () – 4y = 6
y =

4. Kontrolli lahendite õigsust!

Vastus. Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

1) $\{\begin{array}{r} x & + & y & = & 5 \\ x & - & y & = & 1 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
2) $\{\begin{array}{r} x & + & y & = & 5 \\ x & - & y & = & -1 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
3) $\{\begin{array}{r} x & + & y & = & 1 \\ - x & + & y & = & 5 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
4) $\{\begin{array}{r} x & + & y & = & -1 \\ - x & + & y & = & -5 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$

1) $\{\begin{array}{r} 2 x & + & y & = & 6 \\ x & - & y & = & -3 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
2) $\{\begin{array}{r} x & + & y & = & 7 \\ 3 x & - & y & = & 5 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
3) $\{\begin{array}{r} - x & + & y & = & 6 \\ x & + & 2 y & = & 6 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
4) $\{\begin{array}{r} - x & - & y & = & 0 \\ x & + & 3 y & = & 8 \end{array}$	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$

Asendusvõte

Asendusvõtte idee

Avaldatakse ühest võrrandist üks tundmatu teise kaudu ja asendatakse siis see tundmatu teises võrrandis saadud avaldisega. Tulemuseks on ühe tundmatuga lineaarvõrrand, mida saab lahendada.

Märka

Kui võimalik, vali avaldamiseks tundmatu, mille kordaja on üks või arv, millega jagamisel tekivad lõplikud kümnendmurrud.

Näide 3

Lahendame võrrandisüsteemi $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 4 \\ 3 x - 4 y = -11 \end{cases} .$

Lahendus

Avaldame tundmatu x esimesest võrrandist.

2x = 4 – 3y
x = 2 – 1,5y

Asendame teises võrrandis tundmatu x saadud avaldisega.

3(2 – 1,5y) – 4y = –11
6 – 4,5y – 4y = –11
–8,5y = – 17
y = 2

Arvutame tundmatu x väärtuse.

x = 2 – 1,5 · 2
x = –1

Kontrolli lahendite õigsust!

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases} .$

1) $\{\begin{array}{r} 8 x & + & 3 y & = & -2 \\ 2 x & + & 4 y & = & -20 \end{array}$

$x = -0,25 - 0,375 y$
$y = -5 - 0,5 x$
$x = 1,5 y - 4$
$x = - \frac{y}{3} - \frac{1}{3}$
$y = -3 x - 1$
$y = - \frac{2}{3} - \frac{8 x}{3}$
$x = -2 y - 10$
$y = \frac{2 x}{3} + \frac{8}{3}$

2) $\{\begin{array}{r} 2 x & - & 3 y & = & -8 \\ 3 x & + & y & = & -1 \end{array}$

$x = - \frac{y}{3} - \frac{1}{3}$
$x = -0,375 y - 0,25$
$y = -0,5 x - 5$
$x = 1,5 y - 4$
$y = -3 x + 1$
$y = \frac{2 x}{3} + \frac{8}{3}$
$y = - \frac{8 x}{3} - \frac{2}{3}$
$x = -2 y - 10$

Harjuta ja treeni

$\{\begin{array}{r} 2 x & - & y & = & 22 \\ x & + & 4 y & = & 16 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & + & 2 y & = & -2 \\ x & - & y & = & 4 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} 2 x & + & 5 y & = & 15 \\ 3 x & + & 8 y & = & -1 \end{array}$

x = –2
x = 2
x = 4
y = –1
y = –2
y = –4

$A: \{\begin{array}{r} \frac{x}{-3} & + & \frac{y}{-1} & = & 1 \\ \frac{2 x}{3} & - & y & = & 4 \end{array}$

$B: \{\begin{array}{r} 2 x & + & y & = & 10 \\ x & + & 2 y & = & -8 \end{array}$

$C: \{\begin{array}{r} x & + & 3 y & = & 0 \\ 0,5 y & + & x & = & 5 \end{array}$

$D: \{\begin{array}{r} y & + & \frac{x}{2} & = & -4 \\ 4 x & - & 3 y & = & 12 \end{array}$

A
B
C
D

1) $\{\begin{array}{r} \frac{x + 7}{5} & + & \frac{y + 6}{2} & = & 7 \\ \frac{x - 2}{2} & + & \frac{y + 1}{2} & = & 3 \end{array} \Leftrightarrow$

$\{\begin{array}{r} x & + & y & = \\ x & + & y & = \end{array}$

Vastus

Süsteemi lahend on
(; ).

2) $\{\begin{array}{r} \frac{x + 8}{3} & - & \frac{y - 6}{6} & = & 2 \\ \frac{x - 3}{4} & + & \frac{y + 5}{5} & = & -1 \end{array} \Leftrightarrow$

$\{\begin{array}{r} x & - & y & = \\ x & + & y & = \end{array}$

Vastus

Süsteemi lahend on
(; ).

$1) \{\begin{cases} 2 (3 x - 4 y) = 3 (3 x + y) - 14 \\ 5 (3 x + 1) - 4 (2 y - 3) = 24 \end{cases}$

Võrrandid lihtsustuvad kujule

$-3 x - 11 y = -14$
$3 x + 11 y = 14$
$3 x - 11 y = -14$
$15 x - 8 y = 7$
$15 x - 8 y = 31$
$15 x - 8 y = 6$

Vastus

Süsteemi lahend on
(; ).

$2) \{\begin{cases} 4 (x - 3 y) = 3 (7 x + 5 y) - 7 \\ 5 (2 x + 4 y) - 3 (4 x - y) = -27 \end{cases}$

Võrrandid lihtsustuvad kujule

$25 x - 27 y = -5$
$-17 x - 27 y = -7$
$17 x + 27 y = 7$
$-2 x + 23 y = -27$
$-2 x + 17 y = -27$
$22 x - 17 y = -27$

Vastus

Süsteemi lahend on (; ).

Lisa materjali

×

Vali failid, mida soovid lisada. Toetatud formaadid on txt, html, htm, pdf, odt, odp, ods, xls, xlsx, ppt, pptx, pps, doc, docx, rtf, png, jpg, jpeg ja gif.

× Tekkis viga. Proovi uuesti.

× Laadin. Palun oota.

× Õnnestus

Palun oota