Ruutvõrrandisüsteemid

Ruutvõrrandisüsteemi graafiline lahendus
Ruutvõrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega
Ruutvõrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega

Seotud sisu

Graafiline lahendamine

Kahe tundmatuga ruutvõrrandisüsteemiks

nimetatakse võrrandisüsteemi, milles vähemalt üks võrranditest on tundmatu suhtes teise astme võrrand.

Sellist süsteemi saab lahendada graaﬁliselt või asendusvõttega, teatud juhtudel ka liitmisvõttega.

Märka

Võrrandisüsteemi graafiliselt lahendades leitakse jooniselt võrranditele vastavate joonte lõikepunktid.

Graaﬁlise lahenduse puuduseks on suhteline ebatäpsus.

Mõtle kaasa

$\{\begin{cases} x^{2} - 2 x + y = 5 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases} .$

Esimene võrrand esitab ruutfunktsiooni.
y = –x² + 2x + 5

Teine võrrand esitab lineaarfunktsiooni.
y = –x + 1

Lahendid leiame nende funktsioonide graafikute lõikepunktidest.
Lohista õigetele kohtadele võrrandisüsteemi lahendid ja vastavad muutujate väärtused.

x₁ = –1
(–1; 2)
(4; –3)
x₂ = 4
y₁ = 2
y₂ = –3

Kontrolli, kas leitud lahendid on täpsed.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases} .$

${\begin{cases} x^{2} - 2 y - 5 x = 2 \\ y + x^{2} - 2 x = 5 \end{cases} .$

Esimene võrrand on ruutfunktsioon.
y = 0,5x² – 2,5x – 1

Teine võrrand on ruutfunktsioon.
y = –x² + 2x + 5

Süsteemi lahendid on punktides

A
B
C
D
E
F
G
H
I

Lohista joonisele ainult võrrandisüsteemi lahendid.

(–1; 2)
(0; 5)
(1; 6)
(5,4; 0)
(2,5; –4,125)
(4; –3)
(–1,5; 0)
(–0,4; 0)

$\{\begin{cases} x^{2} - y = 1 \\ x - y = - 5 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x^{2} - y - 3 x + 5 = 0 \\ 2 x - y - 1 = 0 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x^{2} - 6 y = 14 \\ 3 x + 2 y = 4 \end{cases}$

Vastus

Selle võrrandisüsteemi lahendid (x₁ < x₂) on

$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases} .$

Seotud sisu

Liitmisvõte

Märka

Ruutvõrrandisüsteemis saab liitmisvõtet ehk elimineerimismeetodit kasutada siis, kui üks tundmatutest on mõlemas võrrandis vaid ühes sama tüüpi liikmes: kas lineaarliikmes, ruutliikmes või korrutisena teise tundmatuga.

Näited

Näide 1

Lahendame võrrandisüsteemi $\{\begin{cases} y^{2} - x^{2} = 5 \\ 2 x^{2} - 3 y^{2} + 4 y = -7 \end{cases} .$

Lahendus

Liitmisvõttega saab kõrvaldada muutuja x ruudu. Selleks korrutame esimese võrrandi 2-ga ning liidame võrrandid.

$+ \{\begin{array}{r} - 2 x^{2} & + & 2 y^{2} & = & 10 \\ 2 x^{2} & - & 3 y^{2} & + & 4 y & = & -7 \end{array}$
$\begin{array}{r} - y^{2} & + & 4 y & = & 3 \end{array}$

Lahendame saadud ruutvõrrandi ning saame kaks y väärtust.

y² – 4y + 3 = 0
y₁ = 1 ja y₂ = 3

Asendame esimeses võrrandis muutuja y₁ = 1 ja leiame vastavad muutuja x väärtused.

1² – x² = 5
x² = –4
(reaalarvulised lahendid puuduvad)

Asendame esimeses võrrandis muutuja y₂ = 3 ja leiame vastavad muutuja x väärtused.

3² – x² = 5
x² = 4
x₁ = –2
x₂ = 2

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{array}{r} x_{1} = & -2 \\ y_{1} = & 3 \end{array}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = 2 \\ y_{2} = 3 \end{cases} .$

Näide 2

Lahendame võrrandisüsteemi $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x y = x - 1 \\ x + 2 x y = 1 \end{cases} .$

Lahendus

Muutuja y esineb võrrandites vaid korrutises xy, seepärast saame selle korrutise kõrvaldada liitmisvõttega.

Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning liidame võrrandid.

$+ \{\begin{array}{r} 2 x^{2} & - & 6 x y & = & 2 x & - & 2 \\ 3 x & + & 6 x y & = & 3 \end{array}$
$\begin{array}{r} 2 x^{2} & + & 3 x & = & 2 x & + & 1 \end{array}$

Lahendame saadud ruutvõrrandi.

2x² + x – 1 = 0
x₁ = –1 ja x₂ = 0,5

Asendame teises võrrandis muutuja x leitud väärtustega ja leiame vastavad muutuja y väärtused.

x₁ = –1
–1 – 2y = 1
y₁ = –1

_x2 = 0,5
0,5 + y = 1
y₂ = 0,5

Kontrollides selgub, et mõlemad lahendipaarid sobivad.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{array}{r} x_{1} = & -1 \\ y_{1} = & -1 \end{array}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = 0,5 \\ y_{2} = 0,5 \end{cases} .$

Mõtle

Joonistel on näiteülesannete graafilised lahendused.

(–2; 3)
(2; 3)
y² – x² = 5
2x² – 3y² + 4y = –7

(0,5; 0,5)
(–1; –1)
x² – 3xy = x – 1
x + 2xy = 1

Seotud sisu

Asendusvõte

Ühest võrrandist teise

Asendusvõte on ruutvõrrandisüsteemide lahendamise põhimeetod. Ühest võrrandist avaldatakse üks muutuja teise kaudu ning saadud avaldisega asendatakse muutuja teises võrrandis.

Näide 1

Lahendame võrrandisüsteemi $\{\begin{cases} x^{2} - y^{2} = 3 \\ x y = 2 \end{cases} .$

Lahendus

Avaldame teisest võrrandist y a saadud avaldisega asendame muutuja y esimeses võrrandis.

$y = \frac{2}{x}$
$x^{2} - \frac{4}{x^{2}} = 3$

Korrutame võrrandi mõlemad pooled x²-ga, saame biruutvõrrandi, millel on kaks lahendit.

x⁴ – 3x² – 4 = 0

x² = –1
reaalarvulised lahendid puuduvad

x² = 4
x₁ = –2
x₂ = 2

Tundmatu y väärtused leiame võrdusest $y = \frac{2}{x} .$

y₁ = –1
y₂ = 1

Kontrollides selgub, et mõlemad lahendid sobivad.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{cases} x_{1} = -2 \\ y_{1} = -1 \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = 2 \\ y_{2} = 1 \end{cases} .$

(–2; –1)
(1; 2)
(–1; –2)
(2; 1)
xy = 2
x² – y² = 3

Näide 2

Lahendame võrrandisüsteemi

$\{\begin{cases} x^{2} + 2 x y - 6 y^{2} + 3 x + 13 y = 15 \\ x - 2 y + 3 = 0 \end{cases} .$

Lahendus

Avaldame teisest võrrandist x.

x = 2y – 3

Saadud avaldisega asendame muutuja x esimeses võrrandis.

(2y – 3)² + 2y(2y – 3) – 6y² + 3(2y – 3) + 13y – 15 = 0

Avame sulud ja koondame sarnased liikmed.

4y² – 12y + 9 + 4y² – 6y – 6y² + 6y – 9 + 13y – 15 = 0

Nii saame ruutvõrrandi tundmatu y suhtes, millel on kaks lahendit.

2y² + y – 15 = 0
y₁ = – 3
y₂ = 2,5

Nüüd saame leida vastavad tundmatu x väärtused.

x₁ = 2y₁ – 3 = –9
x₂ = 2y₂ – 3 = 2

Kontrollimisel selgub, et mõlemad lahendid sobivad.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{cases} x_{1} = - 9 \\ y 1 = - 3 \end{cases}$ ja $\{\begin{array}{r} x_{2} = & 2 \\ y_{2} = & -2,5 \end{array} .$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$1) \{\begin{cases} y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + 4 \\ y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 2 \end{cases}$

$2) \{\begin{cases} x^{2} + 4 x - 2 = y \\ - x^{2} - 2 x = 2 + y \end{cases}$

Joonisel on kahe võrrandisüsteemi lahendid. Lohista õigele kohale esimese süsteemi lahendid L1 ja teise süsteemi lahendid L2.

L1
L2

$\{\begin{array}{r} - x^{2} & + & 6 x & - & y & = & 2 \\ x^{2} & - & 6 x & - & y & = & -2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} y & = & - x^{2} & + & 6 x & - & 2 \\ x^{2} & - & 6 x & + & y & = & 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x^{2} & - & 6 x & + & y & = & 2 \\ x^{2} & - & 6 x & - & y & = & -2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x^{2} & - & 6 x & - & y & = & -2 \\ y & = & x^{2} & - & 6 x \end{array}$

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid (x₁ < x₂) on

$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & y & = & 1 \\ x & + & 2 y & = & -7 & | \cdot (-2) \end{array}$

Pärast võrrandite liitmist tuleb lahendada võrrand
y = , millest y = .
Leia x.
x =

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & y^{2} & = & 31 \\ x & + & 2 y & = & -7 & | \cdot (-2) \end{array}$

Võrrandite liitmisel saad ruutvõrrandi.

y² – = 0

Märgi ruutvõrrandi lahendid.

Leia kaks muutuja x väärtust. Arvesta, et x₁ < x₂.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases} .$

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & y^{2} & = & 31 \\ x & + & {(2 y)}^{2} & = & 103 \end{array}$

Korruta esimene võrrand –4-ga ja liida võrrandid.

Saad võrrandi x = ,
millest x =

Leia kaks muutuja y väärtust. Arvesta, et y₁ < y₂.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahendid on

$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases}$ .

1)	$\{\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Vastus	$\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases}$
2)	$\{\begin{array}{r} x & + & y^{2} & = & 3 \\ x & - & y & = & 1 \end{array}$
Vastus	$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$	$\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases}$
3)	$\{\begin{cases} x + y^{2} = 3 \\ x - y^{2} = 1 \end{cases}$
Vastus	$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$	$\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases}$

1)	$\{\begin{cases} x + y = 7 \\ x y = 12 \end{cases}$
Vastus	$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$	$\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases}$
2)	$\{\begin{cases} x y = 5 \\ x - y = 4 \end{cases}$
Vastus	$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$	$\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases}$
3)	$\{\begin{cases} x + y = 0 \\ x y = -16 \end{cases}$
Vastus	$\{\begin{cases} x_{1} = \\ y_{1} = \end{cases}$	$\{\begin{cases} x_{2} = \\ y_{2} = \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 2 \sqrt{3} \\ x - y = 4 \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} + 2 \\ y & = & \sqrt{3} - 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} - 2 \\ y & = & \sqrt{3} + 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 - \sqrt{2} \\ y & = & 1 + \sqrt{2} \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 + \sqrt{2} \\ y & = & 1 - \sqrt{2} \end{array}$

$\{\begin{cases} x + y = 2 \sqrt{3} \\ x y = - 1 \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} - 2 \\ y & = & \sqrt{3} + 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 - \sqrt{2} \\ y & = & 1 + \sqrt{2} \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 + \sqrt{2} \\ y & = & 1 - \sqrt{2} \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} + 2 \\ y & = & \sqrt{3} - 2 \end{array}$

$\{\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -2 \sqrt{2} \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} - 2 \\ y & = & \sqrt{3} + 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 - \sqrt{2} \\ y & = & 1 + \sqrt{2} \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 + \sqrt{2} \\ y & = & 1 - \sqrt{2} \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} + 2 \\ y & = & \sqrt{3} - 2 \end{array}$

$\{\begin{cases} x + y = 2 \\ x^{2} + y^{2} = 6 \end{cases}$

$\{\begin{array}{r} x & = & 1 + \sqrt{2} \\ y & = & 1 - \sqrt{2} \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} - 2 \\ y & = & \sqrt{3} + 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & \sqrt{3} + 2 \\ y & = & \sqrt{3} - 2 \end{array}$
$\{\begin{array}{r} x & = & 1 - \sqrt{2} \\ y & = & 1 + \sqrt{2} \end{array}$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ruutvõrrandi­süsteemid

Seotud sisu

Graafiline lahendamine

Kahe tundmatuga ruutvõrrandisüsteemiks

Märka

Mõtle kaasa

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Liitmisvõte

Märka

Näited

Näide 1

Lahendus

Vastus

Näide 2

Lahendus

Vastus

Mõtle

Seotud sisu

Asendusvõte

Ühest võrrandist teise

Näide 1

Lahendus

Vastus

Näide 2

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ruutvõrrandisüsteemid