Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Crameri valemite põhjal
Lineaarvõrrandisüsteemi lahendmaine asendus- ja liitmisvõttega

Gaussi meetod

Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem LVS

LVS normaalkuju

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$

x, y ja z
on tundmatud ehk otsitavad kordajatega

a_i, b_i ja c_i(i = 1, 2, 3) ning
d₁, d₂, d₃ on vabaliikmed.

LVS maatriksid

Süsteem maatrikskujul

$A (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix})$

Süsteemi maatriks

$A = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix})$

Süsteemi laiendatud maatriks

$A = (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{4} \end{matrix} \end{matrix})$

LVS lahendid

Lahendite leidmiseks tuleb maatriks

$A = (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{4} \end{matrix} \end{matrix})$

teisendada maatriksiks

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & α_{1} \\ 0 & 1 & 0 & α_{2} \\ 0 & 0 & 1 & α_{3} \end{matrix}),$

millest saamegi lahendid

$\{\begin{cases} x = α_{1} \\ y = α_{2} \\ z = α_{3} \end{cases} .$

Märka

Võrrandisüsteemis saab teostada järgmisi teisendusi:

võrrandit võib korrutada ja jagada nullist erineva reaalarvuga,
ühele võrrandile võib liita teise võrrandi,
võrrandi asukohta süsteemis võib vahetada.

Et võrrandite teisendamisel muutujad segama ei hakkaks, võtame appi LVS laiendatud maatriksi.

Gaussi meetod

Lahendame süsteemi $\{\begin{array}{r} x & + & y & + & z & = & 4 \\ 2 x & - & y & + & z & = & 0 \\ x & + & 3 y & - & 2 z & = & 13 \end{array}$

Lahendus

Kirjutame välja LVS laiendatud maatriksi.

I veerus on x, II veerus y, III veerus z kordajad ja IV veerus vabaliikmed.

$(\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & - 2 & 13 \end{array})$

Valime esimesest reast muutuja x kordaja 1 esimese rea juhtelemendiks, mille abil teisendame teised sama veeru elemendid nulliks.

$(\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & - 2 & 13 \end{array})$

Teisendame II ja III rea esimese elemendi nulliks nii, et liidame nendele ridadele sobiva kordajaga korrutatud esimese rea.

$(\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & - 2 & 13 \end{array}) \begin{array}{l} - 2 \cdot I \\ - I \end{array}$

II reale liidame –2-ga korrutatud I rea.

III reast lahutame I rea.

$(\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 8 \\ 0 & 2 & - 3 & 9 \end{array})$

Nüüd on esimeses veerus vaid üks nullist erinev element.

Jätkub järgmisel slaidil.

Teisendame edasi nii, et igas veerus ja reas oleks vaid üks nullist erinev element.

$(\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 3 & - 1 & - 8 \\ 0 & 2 & - 3 & 9 \end{array})$

Korrutame II rea –1-ga ja valime muutuja z kordaja 1 teise rea juhtelemendiks.
Teisendame I ja III rea kolmanda elemendi nulliks.

$(\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & 2 & - 3 & 9 \end{array}) \begin{array}{l} - II \\ + 3 \cdot II \end{array}$

Lahutame I reast II rea.
Liidame III reale 3-kordse II rea.

$(\begin{array}{r} 1 & - 2 & 0 & - 4 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & 11 & 0 & 33 \end{array}) \begin{array}{l} : 11 \end{array}$

Jagame III rea 11-ga ja valime muutuja y kordaja 1 III rea juhtelemendiks.

$(\begin{array}{r} 1 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array})$

Jätkub järgmisel slaidil.

Teisendame edasi nii, et igas veerus ja reas oleks vaid üks nullist erinev element.

$(\begin{array}{r} 1 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array})$

Teisendame I ja II rea teise elemendi nulliks.

$(\begin{array}{r} 1 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array}) \begin{array}{l} + 2 \cdot III \\ - 3 \cdot III \end{array}$

Liidame I reale kahekordse III rea.

Lahutame II reast kolmekordse III rea.

$(\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array})$

Nüüd on saabunud olukord, kus kõikide ridade juhtelementidega samas veerus on vaid nullid.
Vahetame teise ja kolmanda rea, et juhtelemendid oleks diagonaalil.

$(\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array})$

Kirjutame maatriksi järgi välja võrrandisüsteemi, teades, et juhtelemendid on muutujate x, y ja z kordajad ning viimase veeru elemendid vabaliikmed. Nii leidsimegi võrrandisüsteemile lahendi.

Vastus

$\{\begin{array}{r} x & = & 2 \\ y & = & 3 \\ z & = & -1 \end{array}$

Erijuhud

Lahendeid pole

Kui lõpptulemuseks on maatriks, mille muutujate kordajad on kõik nullid, aga vabaliige nullist erinev, näiteks

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}),$

siis süsteemil lahendid puuduvad.

Lahendeid palju

Kui maatriksi kõik elemendid teisenevad nullideks, on süsteemil lõpmata palju lahendeid.

$(\begin{array}{r} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})$

Sellist maatriksit nimetatakse nullmaatriksiks.

Millal kasutada

Gaussi meetodit on mugav kasutada süsteemide puhul, kus on rohkem kui kolm tundmatut. Harjutamise ja teadmiste rikastamise eesmärgil sobib see lahenduskäik aga väga hästi kolme ja ka kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendi leidmiseks.

Gaussi meetod on põhimõtteliselt võrrandisüsteemi liitmisvõttega lahendamine, kus võrrandite asemel teostatakse teisendusi maatrikskujul kordajatega.

Mõtle

$\{\begin{array}{r} 8 x & - & 5 y & = & 31 \\ 5 x & + & 8 y & = & -14 \end{array}$

Laiendatud maatriks

8
–8
5
–5
31
14
–31
–14

Vastus

–267
–3
–2
1
2
3
89
178

$\{\begin{array}{r} -3 x & + & y & = & 5 \\ y & - & 2 z & = & 0 \\ 2 x & - & y & + & 3 z & = & -1 \end{array}$

Laiendatud maatriks

1
–1
2
–2
3
0
–3
5

Vastus

–14
–7
–2
–1
1
2
7
14

Seotud sisu

Crameri meetod

Crameri teoreem

Kui lineaarvõrrandisüsteemi

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}$

determinant on nullist erinev, siis on süsteemil ühene lahend, mis avaldub determinantide kaudu:

$x = \frac{Δ_{x}}{Δ},$ $y = \frac{Δ_{y}}{Δ},$ $z = \frac{Δ_{z}}{Δ},$
Δ ≠ 0.

Kui Δ = 0

$Δ_{x} = Δ_{y} = Δ_{z} = 0$

Süsteemil on lõpmatult palju lahendeid, mis kõik rahuldavad ühte kolme tundmatuga võrrandit.

Δ_x, Δ_y, ja Δz ei ole nullid

Süsteem on vastuoluline ja lahendid puuduvad.

Märka

Süsteemi determinant

$Δ = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|$

Tundmatu x determinant

$Δ_{x} = |\begin{matrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|$

Tundmatu y determinant

$Δ_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ b_{2} & d_{2} & c_{2} \\ c_{3} & d_{3} & c_{3} \end{matrix}|$

Tundmatu z determinant

$Δ_{z} = |\begin{matrix} a_{1} & a_{1} & d_{1} \\ b_{2} & b_{2} & d_{2} \\ c_{3} & c_{3} & d_{3} \end{matrix}|$

Näide 1

Lahendame Carmeri valemitega süsteemi

$\{\begin{array}{r} 2 x & + & 3 y & - & 4 z & = & 19 \\ 3 x & - & 2 y & + & 2 z & = & -2 \\ 7 x & - & 5 y & + & 3 z & = & 0 \end{array} .$

Lahendus

Leiame süsteemi determinandi.

$Δ = |\begin{array}{r} 2 & 3 & - 4 \\ 3 & - 2 & 2 \\ 7 & - 5 & 3 \end{array}| = 27$

Leiame tundmatute determinandid.

$Δ_{x} = |\begin{array}{r} 19 & 3 & - 4 \\ - 2 & - 2 & 2 \\ 0 & - 5 & 3 \end{array}| = 54$

$Δ_{y} = |\begin{array}{r} 2 & 19 & - 4 \\ 3 & - 2 & 2 \\ 7 & 0 & 3 \end{array}| = 27$

$Δ_{z} = |\begin{array}{r} 2 & 3 & 19 \\ 3 & - 2 & - 2 \\ 7 & - 5 & 0 \end{array}| = - 81$

Leiame lahendi.

$x = \frac{Δ_{x}}{Δ} = \frac{54}{27} = 2$

$y = \frac{Δ_{y}}{Δ} = \frac{27}{27} = 1$

$z = \frac{Δ_{z}}{Δ} = \frac{- 81}{27} = - 3$

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{array}{r} x = & 2 \\ y = & 1 \\ z = & - 3 \end{array} .$

$\{\begin{array}{r} x & + & y & - & z & = & 0 \\ x & + & 2 y & + & z & = & -1 \\ y & + & z & = & -2 \end{array}$

$Δ_{} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
$Δ_{x} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
$Δ_{y} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$
$Δ_{z} = |\begin{matrix} \end{matrix}| =$

Vastus

$\{\begin{cases} x = \\ y = \\ z = \end{cases}$

Seotud sisu

Liitmis- ja asendusvõte

Märka

Kolmerealiste determinantide arvutamine on tunduvalt töömahukam kui kaherealiste determinantide korral. Sellepärast tuleb kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendades eelistada liitmisvõtet, asendusvõtet või mõlemat.

Näide 2

Lahendame süsteemi $\{\begin{array}{r} 4 x & + & 4 y & - & 3 z & = & -2 \\ -3 x & + & y & + & 5 z & = & 13 \\ 5 x & - & 3 y & + & 4 z & = & 1 \end{array} .$

Lahendus

Lihtne on avaldada teisest võrrandist tundmatu y.

y = 13 + 3x – 5z

Asendame saadud avaldisega esimeses ja kolmandas võrrandis tundmatu y.

$\{\begin{array}{r} 4 x + 4 (13 + 3 x - 5 z) & = & -2 \\ 5 x - 3 (13 + 3 x - 5 z) & = & 1 \end{array}$

Saame kaks kahe tundmatuga võrrandit.

$\{\begin{array}{r} 16 x & - & 23 z & = & -54 \\ -4 x & + & 19 z & = & 40 \end{array}$

Saadud süsteem lahendub väga lihtsalt liitmisvõttega, kui korrutada teine võrrand neljaga.

$+ \{\begin{array}{r} 16 x & - & 23 z & = & -54 \\ -16 x & + & 76 z & = & 160 \end{array}$
$\begin{array}{r} 53 z & = & 106 \\ z & = & 2 \end{array}$

Jätkub järgmisel slaidil.

Nüüd tuleb lahendada süsteem

$\{\begin{cases} y = 13 + 3 x - 5 z \\ - 4 x + 19 z = 40 \\ z = 2 \end{cases}$

Leiame teisest võrrandist tundmatu x, kui z = 2.

–4x + 19 ⋅ 2 = 40
–4x = 2
x = –0,5

Leiame esimesest võrrandist tundmatu y, sest x ja z on juba teada.

y = 13 + 3 ⋅ (–0,5) – 5 ⋅ 2
y = 1,5

Kontrolli saadud lahendit.

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on $\{\begin{array}{r} x = & -0,5 \\ y = & 1,5 \\ z = & 2 \end{array} .$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\{\begin{array}{r} 5 x & - & 2 y & = & -24 \\ -2 x & + & 7 y & = & 22 \end{array}$

Lahendus

1. samm

Leia süsteemi laiendatud maatriks.

5
–2
7
22
–24
2

2. samm

I : 5
II + 2 · I

1
0
–0,4
6,2
12,4
–4,8

3. samm

II : 6,2
I + 0,4 · II

1
0
4
2
–4
–2

Vastus

Võrrandisüsteemi lahend on

2
–2
4
–4
0
1

Lahendussammud

Koosta süsteemi laiendatud maatriks.
Vali juhtelemendiks I rea esimene element.
- Teisenda I veeru teised elemendid nulliks.
- Jaga II rea elemendid 3-ga.
Vali juhtelemendiks II rea teine element.
- Teisenda kolm veergu selliselt, et diagonaalile jäävad ühed ning ülejäänud elemendid on nullid.

LVS süsteem

$\{\begin{array}{r} x & + & y & + & z & = & 3 \\ - x & + & 2 y & - & z & = & -9 \\ 2 x & - & y & + & z & = & 10 \end{array}$

1. Süsteemi laiendatud maatriks.

1
3
2
–1
–2
–3

2. Maatriks pärast teist sammu.

1
3
–3
4
–1

3. Maatriks pärast lõplikku teisendust.

3
2
–2
–3
0

Vastus

$\{\begin{cases} x = \\ y = \\ z = \end{cases}$

Seotud sisu

Jäta meelde

Δ
Δx
Δy
Δz

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kolme tundmatuga lineaar­võrrandi­süsteem

Seotud sisu

Gaussi meetod