Fraktalid

Mis on fraktal?
Itereerimine
Jada fraktalis
Fraktali pindala

Mis on fraktal?

Fraktal

Fraktal on keeruline, näiteks konarlik geomeetriline kujund, mida saab osadeks jaotada ja mille osad on suure kujundi vähendatud koopiad, st fraktal on enesesarnane.
Fraktal on pidev funktsioon, millel harilikus mõttes pole tuletist.
Enesesarnasus on fraktali kõige olulisem omadus, mis eristab teda mittefraktaalsest objektist.

Märka

Sõna „fraktal“ on tuletatud ladinakeelsest sõnast fractus ja tähendab murdumist. Mõiste võttis kasutusele Poola päritolu matemaatik Benoit Mandelbrot (1924–2010), kes pani ka aluse uuele geomeetria harule, s.o fraktaalgeomeetriale.

Näited

Looduslikud fraktalid

Konarlike piiridega objektid:
rannajoon, kaljud, kristallid
Osakesed, ümbritsetud väiksemate tükkidega:
plahvatused Päikesel, galaktikad, tuleleegid
Hargnemine:
puud, jäälilled, korallid
Objektid, mille välispind võib olla suhteliselt sile, aga sisu konarlik:
kondid ja maks, leib
Spiraalid:
teokarbid, taimed

Matemaatilised fraktalid

Mandelbroti hulk
Weierstrassi funktsioon
$f (x) = \sum_{}^{} a^{k} \cdot cos (b^{k} π x)$

Klassikalised fraktalid:

kolmnurk,

lumehelves

Draakoni joon

Tehislikud fraktalid

Fraktaalkunst
Arvutikunst
Ehitised
Mõned tarbeesemed

Looduslik fraktal

Weierstrassi funktsioon. Pidev funktsioon, millel puudub tuletis

Maailma üks keerulisemaid kujundeid on Mandelbroti hulk

Arvutikunst

Eiffeli torn

Seotud sisu

Itereerimine

Algataja ja tegutseja

Fraktal sünnib väga lihtsast elemendist, mida nimetatakse initsiaatoriks või algatajaks. Algatajaks võib olla näiteks punkt, lõik või kolmnurk.

Algatajale rakendatakse ühte kindlat reeglit ehk generaatorit, mis muudab algset kujundit. Saadud kuju muudetakse jälle sama reegli järgi ja nii palju kordi järjest.

Tekib jada, mille iga element saadakse sellele vahetult eelnevast elemendist reegli rakendamise tulemusena.

Niisugune tegutsemine kannab nime itereeritud funktsioonisüsteem ja selle kordusi ehk samme nimetatakse iteratsioonideks. Iga sammu või iteratsiooniga muutub loodav objekt täiuslikumaks ja keerulisemaks ning omandab fraktaalse struktuuri.

Märka

Milline fraktal algkujundist sünnib, oleneb generaatorist.

Algatajaks on lõik.

Cantori hulga saamiseks itereerime lõiku generaatoriga

Viis iteratsiooni

Kochi joone saamiseks itereerime lõiku generaatoriga

Kolm Kochi joone iteratsiooni

Mõtle

Mis on algkujund ja millise reegli järgi itereerimine toimub?

Kochi lumehelves

Sierpinski kolmnurk

Vicseki fraktal

Tamas Vicsek (snd 1948), Ungari matemaatik

Näide

Mandelbroti hulk on tõkestatud kompleksarvude jada.

$z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c$

Seotud sisu

Jada fraktalis

Märka

Klassikaliste fraktalite genereerimisel tekivad geomeetrilised jadad.

Algkujundiks on ühiklõik ja see on ühtlasi jada esimene element.

n	Lõikude arv	Lõigu pikkus ü	Pikkused kokku ü
1	1		1
2		$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
3		$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
4	8	$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
5		$\frac{}{}$	$\frac{}{}$
Lõikude arvu jada {a_n} on		Lõigu pikkuse jada {c_n} on	Kogupikkuste jada {b_n} on
aritmeetiline jada geomeetriline jada tõkestatud jada tõkestamata jada hääbuv jada kasvav jada kahanev jada		aritmeetiline jada geomeetriline jada tõkestatud jada tõkestamata jada hääbuv jada kasvav jada kahanev jada	aritmeetiline jada geomeetriline jada tõkestatud jada tõkestamata jada hääbuv jada kasvav jada kahanev jada
q =		q =	q =
a_n = $^{n - 1}$		c_n = $^{1 - n}$	b_n = ${(\frac{}{})}^{n - 1}$

Cantori hulga genereerimise esimesed 5 elementi

Kochi lumehelves

Leia sammhaaval Kochi lumehelbe ümbermõõt.

Külgede arv suureneb korda.
Ühe lõigu pikkus on

$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$

ühikut.

Vastus

Kujundi ümbermõõt
P = ühikut.

Külgede arv suureneb korda.
Ühe lõigu pikkus on

$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$

ühikut.

Vastus

Kujundi ümbermõõt
P = $\frac{}{}$ ühikut.

Külgede arv suureneb korda.
Ühe lõigu pikkus on

$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{27}$
$\frac{2}{9}$
$\frac{1}{18}$

ühikut.

Vastus

Kujundi ümbermõõt on
P = $\frac{}{}$ ühikut.

Külgede arv suureneb korda.
Ühe lõigu pikkus on

$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{27}$
$\frac{2}{27}$
$\frac{1}{81}$

ühikut.

Vastus

Kujundi ümbermõõt
P = $\frac{}{}$ ühikut.

Olgu algkujundi ümbermõõt p ühikut.

Igal sammul suureneb külgede arv korda.
Igal sammul väheneb ühe lõigu pikkus korda.
Kochi lumehelbe tekkimise sammud moodustavad jada {k_n}, mille üldliige on
k_n = p ⋅ ${(\frac{}{})}^{n - 1} .$
Kui sammude arv n→∞, siis on saame Kochi lumehelbe ümbermõõduks sest jada liikmed

Leia Cantori hulga lõikude pikkuste summa, kui n→∞ ja algataja pikkus on 1.

Vastus

Kui n→∞ ⇒ c_n =

Seotud sisu

Fraktali pindala

Algkujundiks on kolmnurk, mille pindala on üks ruutühik ja see on ühtlasi jada esimene element.

n	Värviliste kolmnurkade arv	Ühe kolmnurga pindala rü	Pindalade summa rü
1	1		1
2	3
3
4
5
Kolmnurkade arvu jada {a_n} on		Ühe kolmnurga pindala jada {k_n} on	Pindalad summa jada {s_n} on
aritmeetiline jada geomeetriline jada tõkestatud jada tõkestamata jada hääbuv jada kasvav jada kahanev jada		aritmeetiline jada geomeetriline jada tõkestatud jada tõkestamata jada hääbuv jada kasvav jada kahanev jada	aritmeetiline jada geomeetriline jada tõkestatud jada tõkestamata jada hääbuv jada kasvav jada kahanev jada
q =		q =	q =
a_n = $^{n - 1}$		k_n = $^{1 - n}$	s_n = $^{n - 1}$

Sierpinski kolmnurga genereerimise kuus esimest sammu

Leia Sierpinski kolmnurga värvitud kolmnurkade pindalade summa, kui n→∞ ja algataja pindala on 1.

Kui n→∞ ⇒ s_n =

Leia Sierpinski kolmnurga värvitud kolmnurkade ümbermõõtude summa p_n, kui n→∞ ja algataja külje pikkus on 1.

Kui n→∞ ⇒ p_n =

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Samm	Ruutude arv	Ühe ruudu pindala rü	Pindala rü
1	1	1
2		$\frac{}{}$
3		$\frac{}{}$
4		$\frac{}{}$
5		$\frac{}{}$
...	...	...	....
10	$\overset{}{}$	$\frac{}{\overset{}{}}$
...	...
n	$\infty$

Igal sammul ruutude arv korda.
Igal sammul ühe ruudu pindala korda.
Sammude lähenemisel lõpmatusele, läheneb värviliste ruutude pindala

Märka

Palju huvitavat fraktalitest leiad raamatust „Fraktaalgeomeetria algajatele ehk veidrad fraktalid“.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Fraktalid

Seotud sisu

Mis on fraktal?

Fraktal

Märka

Näited

Looduslikud fraktalid

Matemaatilised fraktalid

Tehislikud fraktalid

Seotud sisu

Itereerimine

Algataja ja tegutseja

Märka

Mõtle

Kochi lumehelves

Sierpinski kolmnurk

Vicseki fraktal

Näide

Seotud sisu

Jada fraktalis

Märka

Kochi lumehelves

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Fraktali pindala

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märka

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid