В предыдущих классах ты изучил свойства умножения. Вспомним их и в дальнейшем будем называть законами умножения.
365.
Объясни, как с помощью приведенного рисунка можно обосновать равенство 4 · 3 = 3 · 4.
 |
В этом равенстве выражен переместительный закон умножения:
от перестановки множителей произведение не меняется.
В буквенной записи: ab = ba.
366.
Объясни, как можно двумя способами найти число кубиков на нижнем рисунке и как при этом получается равенство 2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4.
В этом равенстве выражен сочетательный закон умножения:
чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
В буквенной записи: a(bc) = (ab)c.
Из переместительного и сочетательного законов умножения следует, что при умножении нескольких чисел мы можем группировать множители по своему усмотрению, причем скобки не имеют никакого значения.
367.
Объясни с помощью рисунка, как получается равенство 5(3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4,
 |
в котором выражен распределительный закон умножения:
чтобы умножить какое-либо число на сумму чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные произведения.
В буквенной записи: a(b + c) = ab + ac.
Распределительный закон умножения верен и для вычитания:
a(b – c) = ab – ac
Переместительный и сочетательный законы умножения позволяют выяснить, как изменится произведение, если его множители умножить на какие-нибудь числа (эти числа не обязательно равны).
Например, 2 · 3 = 6. Умножим первый множитель, например, на 4 и второй множитель на 5. Тогда получим новое произведение
(4 · 2) · (5 · 3) = (4 · 5) · (2 · 3) = 20 · 6 = 120.
Если все множители произведения умножить на некоторые числа, то все произведение умножится на произведение этих чисел.
Устные вычисления
Законами умножения мы будем пользоваться при устных вычислениях. Изучи примеры и объясни, как выполнены вычисления.
 |
||||||||
2 · 7 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630
(сочетательный и переместительный законы)
8 · 92 = 8 · (90 + 2) = 8 · 90 + 8 · 2 = 720 + 16 = 736
(распределительный закон)
7 · 49 = 7 · (50 – 1) = 7 · 50 – 7 · 1 = 350 – 7 = 343
(распределительный закон)
67 · 100 000 = 60 · 100 000 + 7 · 100 000 =
= 6 000 000 + 700 000 = 6 700 000
(распределительный закон)
чтобы умножить натуральное число на разрядную единицу 10, 100, 1000, …, надо приписать к этому числу столько нулей, сколько их в разрядной единице, на которую умножаем.
5 · 7 · 9 · 2 =
10 · 2 · 9 · 5 =
8 · 7 · 5 · 3 =
25 · 4 · 11 =
2 · 13 · 5 =
8 · 56 =
9 · 81 =
75 · 6 =
49 · 7 =
6 · 82 =
18 · 1000 =
100 · 567 =
98 · 10 000 =
200 · 340 =
11 · 200 =
Пример. 5 · 6a = (5 · 6)a = 30a
6 · 7a =
4 · 6x =
2t · 7 =
5 · 14u =
10t · 7 =
Раскрытие скобок
Применяя распределительный закон умножения
a(b + c) = ab + ac
и
a(b – c) = ab – ac
мы заменяем выражения, содержащие скобки, на выражения, в которых нет скобок. В этом случае говорят, что мы раскрыли скобки. При этом не имеет значения, множитель а стоял перед скобками или после скобок.
 |
||||||||
1) Раскроем скобки в выражении 3(x + 2). Получим:
3(x + 2) = 3 · x + 3 · 2 = 3x + 6
2) Раскроем скобки в выражении (2a – 5) · 4. Получим:
(2a – 5) · 4 = 4 · 2a – 4 · 5 = 8a – 20
Упражнения A
 |
||||||||
373.
Сформулируй переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения.
- 121 · 4 или 4 · 121;
- 5 · (4 · 9) или (5 · 4) · 9;
- 9 · 140 или 9(100 + 40) = 9 · 100 + 9 · 40.
Буквенное выражение:
Ответ: если t = 3, то он проехал км и если t = 4, то он проехал км.
Ответ: она израсходовала граммов семян.
Буквенное выражение:
Ответ: если x = 25, то магазин получил бутылок лимонада и если x = 80, то магазин получил бутылок.
Буквенное выражение:
Ответ: если k = 5, то черепахи получили всего капустных листьев, а если k = 10, тo листьев.
 |
||||||
Упражнения Б
 |
||||||||
Буквенное выражение:
Вычисли число рубашек, если: 1) m = 25 и n = 60; 2) m = 40 и n = 45.
m | n | Число рубашек | |
1) | 25 | 60 | |
2) | 40 | 45 |
Буквенное выражение:
Вычисли число отработанных за день часов, если: 1) a = 5 и b = 10; 2) a = 3 и b = 15.
a | b | Отработано часов за день | |
1) | 5 | 10 | |
2) | 3 | 15 |
- A = 9(856 + 342) и B = 9 · 856 + 8 · 342
Значение выражения больше значения выражения , так как
- E = (1538 – 643) · 4 и T = 1538 · 5 – 643 · 4
Значение выражения больше значения выражения , так как
- один множитель увеличить (уменьшить) в некоторое число раз;
- оба множителя увеличить (уменьшить) в некоторое число раз;
- один множитель увеличить, а другой уменьшить в одно и то же число раз?
Пример:
12 · 18 =
24 · 18 =
24 · 9 =
24 · 36 =
12 · 9 =
1) Сколько получится произведений? | |
2) Сколько произведений равно нулю? | |
3) У скольких произведений равные множители? | |
4) Сколько произведений отличаются только порядком множителей? | |
5) Сколько отличных от нуля произведений оканчиваются нулем? | |
6) Сколько произведений оканчиваются пятью? |
· | 5 | 2 | ||||||||
 | ||||||||||
6 | ||||||||||
| ||||||||||
7 | ||||||||||
2 | 7 | |||||||||
· | ||||||||||
 | ||||||||||
8 | ||||||||||
 | ||||||||||
3 | ||||||||||
6 7 8 9 10 = 165
2 3 4 5 6 = 466
Сколько различных чисел получается в этих произведениях?
Ответ: в произведениях можно получить до различных чисел.
