Logaritmvõrratused

Logaritmvõrratuse lahendamine

Logaritmvõrratuse lahendamine

Lahendusretsept

Logaritmvõrratuse

log_a f(x) * b

lahendamisel rakendame võrratuse mõlemale poolele eksponentfunktsiooni alusel a ja võtame arvesse, et logaritmfunktsioon on määratud vaid positiivse argumendi korral.

Kui a > 1, siis

$a^{\log_{a} f (x)} * a^{b} \Leftrightarrow f (x) * a^{b}$

ja lahendame võrratuste süsteemi

$\{\begin{cases} f (x) > 0 \\ f (x) * a^{b} \end{cases} .$

Kui 0 < a < 1, siis on logaritmfunktsioon kahanev ja võrratuse märk * tuleb asendada tema vastandmärgiga.
Juhul, kui teise võrratuse märgiks * on > või ≥ , piisab vaid selle võrratuse lahendamisest, sest a^b > 0 ning esimene võrratus järeldub teisest.

Märka

Logaritmfunktsioon on määratud vaid positiivse argumendi korral, st et

f(x) > 0.

Kui määramispiirkonna ja argumendi võrratuse lahendihulga ühisosa on tühihulk, siis logaritmvõrratusel lahendid puuduvad.

Logaritmide võrdlemine

log_0,2 x > log_0,2 3.

Lahendus

Leiame võrratuse määramispiirkonna:

X = .

Pane tähele, et logaritmi alus 0,2 < 1. Seega

log_0,2 x > log_0,2 3 ⇔ x 3.

Saame võrratuste süsteemi

$\{\begin{cases} x > 0 \\ x < 3 \end{cases},$ mille lahendihulk ongi vastuseks.

Vastus

L = (; )

log(x + 2) ≥ log(2x + 1).

Lahendus

Määramispiirkonna leiame võrratuste süsteemist

$\{\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 2 x + 1 > 0 \end{cases} .$

Siis x > .

Kümnendlogaritmi alus on ühest suurem, seega

log(x + 2) ≥ log(2x + 1)

x + 2 2x + 1

x .

Võrratusesüsteemi $\{\begin{cases} x > - 0, 5 \\ x \leq 1 \end{cases}$ lahendihulk ongi ülesande vastuseks.

Vastus

L =

Mõtle

Lahenda võrratus joonise põhjal.

(–∞; 1)
(0; 1)
(0; 2)
(5,2; ∞)
(0; 5,2)
(–∞; 0]
[3; ∞)
(0; 3]

Võrratus	Lahendihulk
log₃ x < 0
log₃ x ≥ 1
log₃ x > 1,5

[0; 1]
(0; 1)
(0; 1]
(2; ∞)
(0; 0,5)
(–∞; 1]
(0; 2)
(0,5; ∞)

Võrratus	Lahendihulk
log_0,5 x > 1
log_0,5 x < –1
log_0,5 x ≥ 0

[0; 1)
(0; 1)
(0; e)
(e; ∞)
(–∞; 1)
(0; ∞)
(1; ∞)

Võrratus	Lahendihulk
ln x < 1
ln x > 0
ln x < 0

Logaritmi võrdlemine arvuga

log₂(x + 1) + log₂(x – 5) ≤ 4.

Lahendus

Leiame võrratuse vasaku poole määramispiirkonna.

$\{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow$ x

Logaritmide omaduste põhjal leiame

log₂(x + 1)(x – 5) ≤ 4.

Kui kasutame eksponentfunktsiooni alusel 2, saame

$2^{\log_{2} (x^{2} - 4 x - 5)} \leq 2^{4}$

x² – 4x – 5 ≤

Lahendame ruutvõrratuse ja leiame ühisosa määramispiirkonnaga.

Vastus

Võrratuse lahendihulk on L = .

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märkus

Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf)

1) log₂(2x – 3) < 3

x ∈ ;

2) log₂(2x – 3) ≥ 2

x ∈ ;

3) log₂(4x + 2) ≤ 4

x ∈ ;

4) log₂(4x + 2) > 0

x ∈ ;

5) log₂(2,5x) > 3

x ∈ ;

6) log₂(2,5x) ≤ 2

x ∈ ;

7) log₂(0,5x + 1) < –2

x ∈ ;

8) log₂(0,5x – 1) ≥ –2

x ∈ ;

Ülesande „Graafikud“ joonis

Abijoont kasuta määramispiirkonna leidmisel.

Lahendamine

Märkus

Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

log(3x – 6) ≤ log(3x)

Määramispiirkond

X = (;).

Võrratuse

3x – 6 3x lahendihulk on

ℝ.
∅.

Vastus

L = (;)

log_0,1(1 – 2x) ≥ log_0,1(2x + 4)

Määramispiirkond

X = (;).

Võrratusest

1 – 2x 2x + 4

x

Vastus

L = ;

Märkus

Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

ln(2 + x) ≤ ln(3x)

Määramispiirkond

X = (;).

Võrratusest

2 + x 3x

x

Vastus

L = ;

Võrratuse

ln(–5x – 6) > ln(7x + 3)

määramispiirkond on

ℝ.
∅.

Argumendi võrratuse

–5x – 6 > 7x + 3

lahendamisel saame, et

x .

Kuna määramispiirkonna ja argumendi võrratuse ühisosa on

ℝ,
∅,

siis logaritmvõrratusel lahendid puuduvad.

Võrratuse

ln(2x + 3) < ln(x – 3)

määramispiirkond on

ℝ.
(3; ∞).
(–1,5; 3).
∅.

Argumendi võrratuse

2x + 3 < x – 3

lahendamisel saame, et

x .

Kuna määramispiirkonna ja argumendi võrratuse ühisosa on

ℝ,
(3; ∞),
(–1,5; 3),
∅,

siis logaritmvõrratusel lahendid puuduvad.

Nulliga võrdlemine

log₂(2x – 5) > 0

Määramispiirkonnas

x .

Argumendi võrratus on

2x – 5 > , millest

x .

Vastus

x

$\log_{\frac{1}{3}} (4 - x) < 0$

Määramispiirkonnas

x .

Argumendi võrratus on

4 – x , millest

x .

Vastus

x

ln(x – 2) > 0

Määramispiirkonnas

x .

Argumendi võrratus on

x – 2 , millest

x .

Vastus

x

$\log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 5 x + 7) > 0$

Määramispiirkond

(0; ∞)
(–∞; 2) U (3; ∞)
(2; 3)
ℝ
∅
(–∞; 0)

Argumendi võrratus on

x² – 5x + 7 , millest x ∈

(0; ∞).
(–∞; 2) U (3; ∞).
(2; 3).
ℝ.
∅.
(–∞; 0).

Vastus

L =

log(x – 2) + log(x + 1) < 1

Määramispiirkonna tingimus

x .

Lahendada tuleb ruutvõrratus

x² x 0.

Arvestades määramispiirkonnaga ja ruutvõrratuse lahenditega on võrratuse lahendihulk

(–∞; –3).
(–∞; 2).
(–3; 4).
(2; 4).
(2; ∞).
(4; ∞).

log_0,5(x – 2) + log_0,5(x + 1) ≥ – 2

Määramispiirkonna tingimus

x .

Lahendada tuleb ruutvõrratus

x² x 0.

Arvestades määramispiirkonnaga ja ruutvõrratuse lahenditega on võrratuse lahendihulk

(2; 3).
[2; 3].
[2; 3).
(2; 3].
(3; ∞).
[3; ∞).

$\log_{\sqrt{5}} (x + 2) + \log_{\sqrt{5}} (x - 2) \geq 2$

Määramispiirkonna tingimus

x .

Lahendada tuleb ruutvõrratus

x² 0.

Arvestades määramispiirkonnaga ja ruutvõrratuse lahenditega on võrratuse lahendihulk

(2; 3).
[2; 3].
[2; 3).
(2; 3].
(3; ∞).
[3; ∞).

(0; ∞)
(e; ∞)
[e; ∞)
(e; 2e)
(e; 2e]
(0; e²)
(0; e²]

Võrratus	X	L
ln(x – e) ≤ 1
ln x ≥ 1
ln x < 2

Seotud sisu

Jäta meelde

Aluse tingimus	Võrratus	Argumendi võrratus
a > 1	log₂ x > log₂ 4
	log₂ x < log₂ 4
0 < a < 1	log_0,5 x > log_0,5 4
	log_0,5 x < log_0,5 4

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Logaritm­võrratused

Seotud sisu

Logaritmvõrratuse lahendamine

Lahendusretsept

Märka

Logaritmide võrdlemine

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Mõtle

Logaritmi võrdlemine arvuga

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Märkus

Ülesande „Graafikud“ joonis

Lahendamine

Märkus

Vastus

Vastus

Märkus

Vastus

Nulliga võrdlemine

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Logaritmvõrratused