Logaritmvõrrandid

Logaritmvõrrand
Logaritmi definitsioon
Võrdsed logaritmid
Abimuutuja aitab
Uus alus

Logaritmvõrrand

Märka

Logaritmi definitsioon

log_a b = s ⇔ a^s = b

a, b > 0 ja a ≠ 1

Avaldis	Muutuja väärtus
log₂ x = 3	x =
log_y 125 = 3	y =
log 0,01 = z	z =

Logaritmvõrrand

Võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas avaldises või logaritmi aluses, nimetatakse logaritmvõrrandiks.

Seotud sisu

Logaritmi definitsioon

Logaritmi definitsiooni kasutamine

log_x_–2 (2x² – 7x) = 2

Lahendus

Vastavalt definitsioonile saame võrrandi

$2 x^{2} - 7 x = {()}^{} .$

Saadud ruutvõrrandi lahendid on

x₁ = ja x₂ = .

Kontroll

Lahend ei sobi, sest logaritmi alus ei saa olla negatiivne. Teise lahendi korral vp = pp.

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

log₄ log₃ log₂ x = 0,5

Lahendus

Mitmekordse logaritmi korral alustame kõige välimisest (vasakpoolsest) logaritmist alusega 4:

log₄ (log₃ log₂ x) = 0,5

Vastavalt logaritmi definitsioonile leiame

$\log_{3} \log_{2} x =^{} = .$

Jätkame analoogselt logaritmiga alusel 3, saame

$\log_{2} x = 3^{} = .$

Lõpuks saame

x = 2⁹ = .

Kontroll

vp = log₄ log₃ log₂ 512 = log₄ log₃ 9=log₄ 2 = 0,5.

vp = pp.

Vastus

Võrrandi lahend on x = 512.

log₄ [61 – log₂(2x – 1)] = 3.

Lahendus

Logaritmi definitsiooni põhjal saame

61 – log₂(2x – 1) = .

Siit

log₂(2x – 1) = ,

2x – 1 = 2^–3 = .

Järelikult

x = .

Kontroll näitab, et lahend sobib.

Vastus

Võrrandi lahend on .

Märka

Logaritmvõrrandi lahendeid tuleb kindlasti kontrollida. Lahendamise käigus võivad tekkida võõrlahendid, mille korral mõni logaritm esialgses võrrandis pole määratud.

Tuleb kontrollida, et

logaritmitav oleks positiivne,

logaritmi alus oleks positiivne ega võrduks 1-ga.

log₃ x = 5
x =
log₄ (x + 1) = 2
x =
$\log_{3} \sqrt{2 x + 1} = 1$
x =
log_x (8 – 3x) = 1
x =
log_1–x x² = 2
x =

Seotud sisu

Võrdsed logaritmid

Märka

Sama alusega logaritmid on võrdsed parajasti siis, kui logaritmitavad avaldised on võrdsed.

Sama alusega logaritmid võrduse mõlemal poolel

2log(5 – x) = log(25 – x²).

Lahendus

Logaritmi ees oleva kordaja saab võtta logaritmitava astendajaks.

log(5 – x)² = log(25 – x²)

Võrdsustame logaritmitavad avaldised.

(5 – x)² = (25 – x²)

Avame sulud ja lahendame ruutvõrrandi

2x² – 10x = 0.

x₁ = ja x₂ =.

Kontroll

Lahend ei sobi, sest logaritmi nullist ei eksisteeri.

Lahend sobib, sest saame tõese võrduse

2log 5 = log 25.

Vastus

Võrrandi lahend on x =.

2log x = log (21 – x) – log 2.

Lahendus

Viime kordaja 2 logaritmitava astendajaks ja asendame logaritmide vahe jagatise logaritmiga.

$\log x^{2} = \log \frac{}{} .$

Kuna logaritmid on võrdsed, on võrdsed ka logaritmitavad.

$x^{2} = \frac{21 - x}{2} \cdot 2$

Saame ruutvõrrandi

x² + x =0,

mille lahend x₁ = ei sobi, sest logaritmi ei eksisteeri negatiivse argumendi korral.

Kontroll

Lahend x₂ = sobib.

Vastus

Võrrandi lahend on x =.

$\log_{5} \sqrt{x - 9} - \log_{5} 10 + \log_{5} \sqrt{2 x - 1} = 0 .$

Lahendus

Jätame juuravaldisega logaritmid vasakule poole ja asendame logaritmide summa korrutise logaritmiga.

$\log_{5} (\sqrt{x - 9} \cdot \sqrt{2 x - 1}) = \log_{5} 10$

Kuna võrrandi mõlemal pool on sama alusega logaritm, siis logaritmitavad on võrdsed. Lahendame saadud võrrandi.

$\sqrt{(x - 9) (2 x - 1)} = 10 {()}^{2}$

2x² – x – = 0

Lahend x₁ = ei sobi, sest ruutjuure alla tekib negatiivne väärtus.

Kontroll

Lahend x₂ = sobib.

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

ln (7 – 2x) = ln (5x)
x =
log₃ (2x – 5) = log₃ (x – 1)
x =
2log_0,5 x = log_0,5 (2x² – x)
x =

Viimase ülesande võõrlahend on .

Seotud sisu

Abimuutuja aitab

Ruutvõrrandiks teisendamine

$\log_{2}^{2} (x + 1) + 5 \log_{2} (x + 1) + \log_{2} 64 = 0 .$

Ruutvõrrandi saamiseks teeme muutuja vahetuse u = log₂ (x + 1). Saame võrrandi

u² + 5u + 6 = 0, millest

u₁ = ja u₂ = .

Nüüd lahendame logaritmi definitsiooni järgi kaks logaritmvõrrandit.

1) log₂(x + 1) = –3

x + 1 =

x₁ =

2) log₂(x + 1) = –2

x + 1 =

x₂ =

Kontroll

Lahendeid on lihtne kontrollida. Mõlemad lahendid sobivad.

Vastus

Võrrandi lahendid on
$x_{1} = - \frac{7}{8}, x_{2} = - \frac{3}{4} .$

$\frac{\log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 2}{\log_{2} x + 1} = 1 .$

Lahendus

See on murdvõrrand log₂ x suhtes. Toome sisse uue muutuja log₂ x = t, siis

$\frac{t^{2} - t - 2}{t + 1} - 1 = 0 .$

Viime võrrandi vasaku poole ühisele nimetajale, saame

$\frac{t^{2} - t - 2 - t - 1}{t + 1} = 0$

ja t leidmiseks tuleb lahendada ruutvõrrand

t² t = 0.

Ruutvõrrandi lahenditest ei sobi , sest see on nimetaja nullkoht.

Saame log₂ x = ,

millest x = .

Kontroll näitab, et see lahend sobib.

Vastus

Võrrandi lahend on x = 8.

$x^{\log_{3} x - 3} - 81 = 0 .$

Lahendus

Kirjutame võrrandi kujul

$x^{\log_{3} x - 3} = 81$

ja võtame võrrandi mõlemast poolest logaritmi alusel 3.

$\log_{3} x^{\log_{3} x - 3} = \log_{3} 81$

Saame

$(\log_{3} x - 3) \cdot \log_{3} x =,$

millest

$\log_{3}^{2} x - 3 \log_{3} x - 4 = 0 .$

Kui asendame log₃ x = y, saame ruutvõrrandi, mille lahendid on

y₁ = ja y₂ =.

Muutuja x leidmiseks tuleb lahendada kaks logaritmvõrrandit.

1) log₃ x = –1

$x_{1} = \frac{1}{3}$

2) log₃ x = 4

x₂ =

Kontroll näitab, et need lahendid sobivad.

Vastus

Võrrandi lahendid on
$x_{1} = \frac{1}{3}$ ja x₂ = .

Märka

log_a ²b = (log_a b)²

$\log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x + 4 = 0$
x =
$\log_{}^{2} x - \log_{} x - 2 = 0$
x₁ = ja x₂ =
$2 \log_{4}^{2} x - 7 \log_{4} x + 3 = 0$
x₁ = ja x₂ =

Seotud sisu

Uus alus

Erinevate alustega logaritmid võrrandis

log₁₆ x + log₄ x + log₂ x = 7.

Lahendus

Kasutame teisendamiseks logaritmi omadust, et logaritmi alust ja logaritmitavat võib tõsta samasse astmesse.

Et 4² = 16 ja 2⁴ = 16, siis

$\log_{4} x = \log_{} x^{2}$ ,

$\log_{2} x = \log_{} x^{4}$ .

Siit

log₁₆ x + log₁₆ x² + log₁₆ x⁴ = 7,

$\log_{16} x^{} = 7,$

$\log_{16} x = 7,$

log₁₆ x = 1 ⇔ x = .

Kontroll näitab, et see lahend sobib.

Vastus

Võrrandi lahend on x = 16.

Seda võrrandit lahendades võib üle minna ka alusele 2 või 4.

log₄ x + log_x 4 = 2.

Lahendus

Teisendame teise logaritmi alusele 4, siis

$\log_{x} 4 = \frac{\log_{4} 4}{\log_{4} x} = \frac{1}{\log_{4} x} .$

Asendame logaritmi uue muutujaga v = log₄ x, saame

$v + \frac{1}{v} = 2 .$

Saadud murdvõrrandi lahend on v = .

Järelikult log₄ x = 1 ⇔ x = .

Lahendit on lihtne kontrollida.

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

Märka

Kui võrrandis on erineva alusega logaritme või kui tundmatu esineb logaritmi aluses, on vaja teisendada logaritme ühelt aluselt teisele.

$\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

$\log_{a} x = \log_{a^{s}} x^{s}$

log₇x = log_x 7

Teisenda parem pool alusele 7.

$\log_{7} x = \frac{}{\log_{7}}$

Vaheta muutuja log₇ x = t.

t² – = 0

Leia ruutvõrrandi lahendid.

log₇ x = ⇔
$x = \frac{}{}$
log₇ x = ⇔
x =

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

y = log₂x graafik on .

$y = - \frac{\log_{2} x}{2}$ graafik on .

y	y=log₂x	$y = - \frac{\log_{2} x}{2}$
0
2
1
–1
–0,5

„Joonise põhjal“ joonis

Võrrand	x
log₂ x = 2,5
log_0,25 x = 0,75
log x = –½
log_2,5 x = 1,5
2log₇ x = 1
$\frac{\log_{\frac{3}{4}} x}{2} = - 1$

„Graafiliselt“ joonis

Logaritmi definitsioon

log_0,2 x = –2
x =
log₂ log₃ x = 2
x =
log₂ log₃ log₄ x = 1
x =
log₂ log_0,5 log_0,25 x = 0
x =

log_0,5 (x – 5) = –1
x =
log₂ log₄ (1 – x) = 1
x =
log₃ (78 + log₂ (x + 1)) = 4
x =
$\log_{5} \sqrt{4 x - 1} = 0$
x =

log_x (3x + 4) = 2
x =
log_x+1 (x + 3) = 2
x =
log_x–3 (2x + 2) = 2
x =

Võõrlahendite hulk V =

Võrdsed logaritmid

$\log_{\frac{3}{5}} \frac{2 x + 3}{x - 2} = \log_{\frac{3}{5}} \frac{3}{5}$
x =
log₃ x + log₃ (x + 1) = log₃ 20
x =
log (4 – x) + log (1 – 2x) = 2log 3
x =

$\log_{2} x - \log_{2} (2 x + 3) = \log_{2} \frac{1}{x}$
x =
log (4 + 5x) – log x = log 1 – log x²
x =
log₆ (2x² – x) = 1 – log₆2

–2
–1
–1,5
0
1,5
1

$2 \log_{8} (2 x) + \log_{8} (x^{2} + 1 - 2 x) = \frac{4}{3} .$

Lahendus

Teisenda teist liiget.

log₈ ()² = log₈()

Jaga võrrandi liikmed 2-ga.

$\log_{8} (2 x) + \log_{8} (x - 1) = \frac{}{}$

Kasuta logaritmide summa omadust.

$\log_{8} (2 x^{2} -) = \frac{}{}$

Rakenda logaritmi definitsiooni.

2x² – =

Lahenda ruutvõrrand ja kontrolli lahendite õigsust.

Vastus

Võrrandi lahend on x =.

log_x x = 2
x =
$\frac{1}{2} \log x = \log \sqrt{3 x + 2}$
x =
log_0,25 (x – 4) = log_0,25 x + log_0,25  16
x =

Logaritmidega ruutvõrrand

$2 \log_{4}^{2} x - 7 \log_{4} x + 3 = 0$

log₄ x = ⇔
x =
log₄ x = ⇔
x =

$3 \log_{8}^{2} x - \log_{8} x = 4$

log₈ x = ⇔
x =
log₈ x = $\frac{}{}$ ⇔
x =

$\log_{3}^{2} x^{3} - \log_{3} x^{8} - 1 = 0$

Pane tähele, et $\log_{3}^{2} x^{3} = {(\log_{3} x^{3})}^{2} .$

log₃ x =⇔
x =
$\log_{3} x = - \frac{}{}$ ⇔
$x \approx 0, 885$

$\log (x - 5) - \log \sqrt{x} = 2 - \log 25$

Lahendus

Vii kõik logaritmid vasakule poole ja kasuta logaritmide omadusi. Võrrand saab kuju:

$\log [\sqrt{x} (x - 5)] = 50$
$\log \frac{25 (x - 5)}{\sqrt{x}} = 2$
$\log \frac{\sqrt{x} (x - 5)}{25} = 2$
$\log \frac{x - 5}{25 \sqrt{x}} = 2$

Kasuta logaritmi definitsiooni ja vii võrrand kujule

x – = $\sqrt{x} .$

Tee asendus $\sqrt{x} = m$ ning saad ruutvõrrandi

m² m = 0.

Ruutvõrrandil on kaks lahendit, millest m₁ = ei sobi, sest $\sqrt{x}$ ei saa olla negatiivne.
Järelikult m = .

Vastus

Võrrandi lahend on x = .

Teine võimalus

Ruutjuurest vabanemiseks võib tõsta võrrandi mõlemad pooled ruutu. Hiljem tuleb siis kontrollida, et ei teki võõrlahendeid.

$x^{\log_{3} x - 3} = 81$

Lahendus

Võta võrrandi mõlemast poolest logaritm alusel 3 ja kasuta logaritmi omadust.

(log₃ x – ) ⋅ log₃ x =

Tee asendus a = log₃ x ja saad ruutvõrrandi

a² a = 0.

Vastus

Kui a = , siis $x = \frac{1}{} .$
Kui a = , siis x = .

Kontroll näitab, et need lahendid sobivad.

Aluse muutmine

log₃ x – log_x 9 = –1

Mine üle alusele 3 ning vaheta muutuja log₃ x = a. Sel juhul tuleb lahendada ruutvõrrand

a² + a = 0.

Nüüd

log₃ x =⇔ $x = \frac{1}{}$
log₃ x = ⇔ x =

$\log_{5} x + \log_{25} x + \log_{\frac{1}{5}} x = \frac{1}{4}$

log₅ x + log₅ x log₅ x = 0,25

log₅ x= 0,25.

log₅ x =

Võrrandi lahend on

5.
$\sqrt{5}$ .
1.
$\frac{1}{5}$ .

10
10²
10³
10^–1
10^–2
10^–3
10^–0,5
10^0,5

Võrrand	Väiksem lahend	Suurem lahend
$x^{2 \log x} = 10 x$
$x^{2 + \log x} = 1000$
$x^{1 - \log x} = \frac{1}{100}$
$x^{\log 10 x} = 100$
$x^{\log x - 2} = 1000$

Ühegi võrrandi lahend pole .

Seotud sisu

Jäta meelde

$\log_{b} a =$
$\log_{a} b =$
$\log_{a} b =$ $2, siis$
${(\log_{b} a)}^{2}$ $=$
$\log_{a} b^{2} =$

$\frac{1}{\log_{a} b}$
$\log_{a^{2}} b^{2}$
$a^{2} = b$
$\log_{b}^{2} a$
$2 \log_{a} b$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Logaritm­võrrandid

Seotud sisu

Logaritmvõrrand

Märka

Logaritmvõrrand

Seotud sisu

Logaritmi definitsioon

Logaritmi definitsiooni kasutamine

Lahendus

Kontroll

Vastus

Lahendus

Kontroll

Vastus

Lahendus

Vastus

Märka

Seotud sisu

Võrdsed logaritmid

Märka

Sama alusega logaritmid võrduse mõlemal poolel

Lahendus

Kontroll

Vastus

Lahendus

Kontroll

Vastus

Lahendus

Kontroll

Vastus

Seotud sisu

Abimuutuja aitab

Ruutvõrrandiks teisendamine

Kontroll

Vastus

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Märka

Seotud sisu

Uus alus

Erinevate alustega logaritmid võrrandis

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Märka

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

„Joonise põhjal“ joonis

„Graafiliselt“ joonis

Logaritmi definitsioon

Võrdsed logaritmid

Lahendus

Vastus

Logaritmidega ruutvõrrand

Lahendus

Vastus

Teine võimalus

Lahendus

Vastus

Aluse muutmine

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Logaritmvõrrandid