Trigono­meetrilised funktsioonid

  • Põhiseosed
  • Funktsiooni perioodilisus
  • Perioodi pikkus
Seotud sisu
Muud tegevused

Põhiseosed

Trigonomeetrilised põhiseosed

sin2α+cos2α=1

tan α =sin α cos α

cot α =cos α sin α

1+tan2 α =1cos2α

1+cot2 α =1sin2α

Märka mis tahes nurga funktsioone

  • Nurka α mõõdetakse alates x-telje positiivsest poolteljest, mis on nurga alghaaraks. Nurga lõpphaaraks on nullpunktist väljuv kiir OP.
  • Positiivseid nurki mõõdetakse vastupäeva ja negatiivseid päripäeva.

Funktsioon

Seos

sin α =

cos α =

tan α =

cot α =

xy

Olenevalt koordinaat­veerandist on ordinaat y ja abstsiss x negatiivse või positiivse väärtusega.

  • +
  • -
Seotud sisu
Muud tegevused

Funktsiooni perioodilisus

Perioodiline funktsioon

Funktsioon y = f(x) on perioodiline, kui kehtib võrdus

f(x) = f(x + p),

kus x ∈ X.

Vähimat positiivset arvu p, mille korral see võrdus kehtib, nimetatakse funktsiooni perioodiks.

Märka

Trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, sest nurga α iga suurendamine või vähendamine täispöörde 2π võrra jätab lõpphaara samasse asendisse ja seega nurga funktsioon ei muutu.

Näide 1

Joonisel on kaks perioodilist funktsiooni. Abstsissteljel on ühikud kraadides.

Rohelise funktsiooni periood on 360° ja punase joone periood on 90°.

  • Rohelise funktsiooni periood on °.
    Joonisel on näha selle funktsiooni  perioodi.
  • Sinise funktsiooni periood on °.
    Joonisel on näha selle funktsiooni  perioodi.
Seotud sisu
Muud tegevused

Perioodi pikkus

Iseseisev töö

Joonisel on funktsiooni y = cf(ax + b) graafik. Liuguriga saad muuta kordajate a, b ja c väärtust. Selgita välja, kuidas mõjutavad kordajad funktsiooni perioodi pikkust.

Kordaja a

Kordaja b

Periood p

1

0

1

2

2

0

2

1

–3

0

–3

–3

0,5

0

0,5

–2

  1. Perioodi pikkust mõjutab 
  2. Perioodi pikkust  kordaja märk.
  3. Kui argumendi kordaja |a|>1, siis perioodi pikkus 
  4. Kui argumendi kordaja |a|< 1, siis perioodi pikkus 
  5. Kui vabaliige |b| > 0, siis perioodi pikkus 
  6. Kui vabaliige |b| < 0, siis perioodi pikkus 

Muuda joonisel ainult kordaja c väärtust.

  1. Kui a = 1, b = 0 ja c = 1, siis funktsiooni periood
    p = .
  2. Kui c = 2, siis periood
    p = .
  3. Kui c = –2, siis periood
    p = .

Järeldus. Funktsiooni y = c ⋅ f(ax + b) kordaja c 

  • mõjutab perioodi pikkust, kui c < 0.
  • mõjutab perioodi pikkust, kui c > 0.
  • perioodi pikkust ei mõjuta.

Funktsioon y = c⋅ f(ax + b)

Perioodi pikkus

Kui perioodilise funktsiooni y = f(x) perioodi pikkus on py, siis funktsiooni y = f(ax) pikkus on  p = py : a, kus a ≠ 0.

  1. Kui y = f(x) periood on 10, siis y = f(10x) periood
    p = .
  2. Kui y = g(x) periood on 5, siis y = g(0,2x) periood
    p = .
  3. Kui y = h(x) periood on 2, siis y = h(x + 10) periood
    p = .
  4. Kui y = k(4x) periood on 7, siis y = k(x + 4) periood
    p = .
  5. Kui y = s(0,1x) periood on 100, siis y = 9⋅s(x) periood
    p = .
Seotud sisu
Muud tegevused

Harjuta ja treeni

Perioodiline funktsioon

Joonisel on kolm perioodilist funktsiooni:

Punane joon f(x), roheline joon g(x) ja lilla joon h(x).

  • 0,5π
  • π
  • 1,5π
  • 2π
  • 3π
  • 1
  • 1,5
  • 2
  • 2,5
  • 3

Funktsioon

Periood p

Perioodide arv joonisel

f(x)

g(x)

h(x)

  • 0,5π
  • 2π3
  • π
  • 3π2
  • 2π
  • 3π
  • 6π

Funktsioon

Periood

f(3x)

fx3

g(0,5x)

g(2x)

h(x + π)

h(0,75x + 2π)

  • f(x)
  • g(x)
  • h(x)
  • f(x), g(x), h(x)

Punkt

Funktsioon

A(90°; 0,5)

B(–0,5π; 0)

Cπ4;22

D(180°; 0)

E315°;-24

F(–30°; –0,866)

Funktsioon

Periood p

y = f(2x)

°

y = f(0,5x)

°

y = 2 f(–x)

°

y = 5 f(–4x)

°

y=-3fx3

°

Seotud sisu
Muud tegevused

Jäta meelde

Kui funktsiooni y = f(x) perioodi pikkus on p ja |a|>1, siis

  • a · p
  • a p
  • p a
  • funktsiooni y = f(ax) perioodi pikkus on 
  • funktsiooni y=fxaperioodi pikkus on  
Seotud sisu
Muud tegevused