Võrratusesüsteemid

Võrratusesüsteemi lahendamine
Ahelvõrratus

Võrratusesüsteemi lahendamine

Võrratusesüsteemi lahendihulk

Võrratusesüsteemi lahendihulga moodustavad need muutuja väärtused, mille korral on kõik selle süsteemi võrratused ühel ajal tõesed.

Võrratusesüsteemi lahendihulk L on süsteemi üksikute võrratuste lahendihulkade L_n (n ≥ 2) ühisosa.

L = L₁ ∩ L₂ ∩ ... ∩ L_n

Näited

Näide 1

Lahendame võrratusesüsteemi $\{\begin{cases} 2 x - 1 > x + 1 \\ 2 x^{2} - 9 x + 20 \geq 0 \end{cases} .$

Lahendus

Esimene võrratus teiseneb kujule x > 2. Seega

L₁ = (2; ∞).

Teise võrratuse lahendamiseks leiame ruutvõrrandi 2x² – 9x + 20 = 0 lahendid ning kasutame graafilist meetodit.

L₂ = (–∞; 2,5] ∪ [4; ∞)

Leiame lahendihulkade L₁ ja L₂ ühisosa. Selleks kanname need hulgad ühisele joonisele ning viirutame erinevalt.

Topeltviirutusega piirkond ongi ühisosa.

Vastus

Võrratusesüsteemi lahendihulk

L = (2; 2,5] ∪ [4; ∞).

$\{\begin{cases} u^{2} + 5 u + 4 > 0 \\ u^{2} + 2 u - 15 \leq 0 \\ u (u + 1) \geq (u - 1) (4 + u) \end{cases}$

Lahendus

Esimesed kaks ruutvõrratust lahendame graafiliselt.

–5
–4
–1
0
1
2
3

Lahendihulk L₁

Lahendihulk L₂

Viimane võrratus taandub lineaarvõrratuseks

u .

L₃ = (–∞; ]

Leiame jooniselt L = L₁ ∩ L₂ ∩ L₃.

–5
–4
–1
0
1
2
3

Vastus

Võrratusesüstemi lahendihulk

L = ; ∪ ;.

(–∞; 2)
(–∞; –1)
(–1; 2)
(2; ∞)
∅
ℝ
$\{\begin{cases} x < 2 \\ x < - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x > 2 \\ x < - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x < 2 \\ x > - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x > 2 \\ x > - 1 \end{cases}$

Süsteem	Lihtsustatud süsteem	Lahendihulk
$\{\begin{cases} x - 1 > 1 \\ 2 - x > 3 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x - 1 < 1 \\ 2 - x < 3 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x - 1 > 1 \\ 2 - x < 3 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x - 1 < 1 \\ 2 - x > 3 \end{cases}$

Seotud sisu

Ahelvõrratus

Ahelvõrratus koosneb kolmest avaldisest ja näitab, et keskmise avaldise väärtus asub äärmiste avaldiste väärtuste vahel.

A(x) * B(x) * C(x)

Avaldised võivad paikneda

kasvavas (mittekahanevas) järjekorras:

A(x) < B(x) < C(x),

kahanevas (mittekasvavas) järjekorras:

A(x) > B(x) > C(x).

Märka

Ahelvõrratus on ekvivalentne kahe võrratuse süsteemiga

$\{\begin{cases} A (x) * B (x) \\ B (x) * C (x) \end{cases},$

mida saab lahendada nii, nagu eespool näidatud.

Näide 3

Kui ahelvõrratuse keskmine osa B(x) on lineaaravaldis ning A(x) ja C(x) on konstandid, siis saab seda võrratust lahendada samade meetoditega nagu ühte lineaarvõrratust.

Lahendame võrratuse $- 1 < \frac{3 - 4 x}{7} \leq 2 .$

Lahendus

Korrutame võrratuse kõik osad 7-ga.

–7 < 3 – 4x ≤ 14

Lahutame kõigist osadest arvu 3.

–10 < – 4x ≤ 11

Jagame kõik osad muutuja x kordajaga –4, kusjuures võrratuse märgid muutuvad vastupidiseks.

2,5 > x ≥ –2,75

ehk

–2,75 ≤ x < 2,5

Vastus

Võrratuse lahendihulk L = [–2,75; 2,5).

$- 3 < \frac{x - 1}{x + 2} \leq - 1$

Lahendus

Lahendame ahelvõrratusele vastava süsteemi

$\{\begin{cases} - 3 < \frac{x - 1}{x + 2} \\ \frac{x - 1}{x + 2} \leq - 1 . \end{cases}$

Lahendame mõlemad võrratused ja leiame lahendihulkade ühisosa.

–2
–1,25
–1
–0,5
0

Lahenda esimene võrratus.

$\frac{x - 1}{x + 2} + 3 > 0$

Lahendihulk L₁

Lahenda teine võrratus.

$\frac{x - 1}{x + 2} + 1 \leq 0$

Lahendihulk L₂

Võrratuste lahendihulkade ühisosa ongi ahelvõrratuse lahendihulk.

Lahendihulk L = L₁ ∩ L₂

Vastus

Ahelvõrratuse lahendihulk

L = ; .

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Võrratuse koostamine

L = (–2; 2)

Esimene võrratus:

x + 0.

Teine võrratus:

x + 0.

L = (1; ∞)

Sirge võrratus:

0.

Parabooli võrratus:

x² + 0.

L = (–2; 0)

Oranž parabool:

x² + 0.

Lilla parabool:

x² 0.

Lineaarvõrratusesüsteemid

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

$\{\begin{cases} x - 2 > 3 \\ 3 - x < 1 \end{cases}$

Ülemine võrratus:

x .

Alumine võrratus:

x .

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

$\{\begin{cases} x - 12 < 4 - 3 x \\ x - 2 > 4 - 2 x \end{cases}$

Ülemine võrratus:

x .

Alumine võrratus:

x .

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

$\{\begin{cases} 2 x > 4 x + 6 \\ 4 x + 3 < 2 x + 1 \end{cases}$

Ülemine võrratus:

x .

Alumine võrratus:

x .

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

$\{\begin{cases} 2 (x - 3) - 3 (2 x + 1) > x - 19 \\ 3 x - 2 (2 x + 5) > 2 (3 x + 1) - 40 \end{cases}$

Ülemine võrratus:

x .

Alumine võrratus:

x .

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

$\{\begin{cases} 7 (2 x - 3) - 4 (5 x - 7) \geq 1 \\ - 2 (1 - 2 x) > 6 x - 18 \end{cases}$

Ülemine võrratus:

x .

Alumine võrratus:

x .

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

$\{\begin{cases} 2 (x + 7) \geq 7 x + 4 \\ \frac{x}{6} + \frac{x - 8}{4} \leq 1 + \frac{x - 6}{3} \end{cases}$

Ülemine võrratus:

x .

Alumine võrratus:

x .

Vastus

L =

Ahelvõrratused

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

Vasakpoolne võrratus

x

Parempoolne võrratus

x

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

Vasakpoolne võrratus

x

Parempoolne võrratus

x

Vastus

L =

Märkus

Lahendihulk kirjuta sulgudesse,
tühikuid ära lisa.
Lõpmatuse märk kopeeri siit ∞
või sisesta lühend inf (-inf).

Vasakpoolne võrratus

x

Parempoolne võrratus

x

Vastus

L =

Ristküliku küljed avalduvad kujul (2x + 3) ja (x – 2).

Muutuja x määramispiirkond:

x .

Pindala võrratus minimaalse pindala korral:

x² ≥ 0.

Pindala võrratus maksimaalse pindala korral:

x² ≤ 0.

Vastus

Muutuja x minimaalne väärtus saab olla cm ja maksimaalne cm.

Ristküliku pindala

Olgu vanema õe vanus x aastat, siis noorem õde on aastane. Kolm aastat tagasi oli vanema õe vanus ja noorema õe vanus aastat. Koosta ja lahenda vastav võrratus.

Vastus

Vanem õde võib olla

aastane.

Kui kangemat lahust on x grammi, siis lahjemat on grammi.

Kangemas lahuses on puhast ainet

⋅ x grammi.

Lahjemas lahuses on puhast ainet

⋅ (120 – x) grammi.

Maksimaalse kangusega lahuses on puhast ainet grammi.

Koosta ja lahenda võrratus

x + (120 – x)

Vastus

Kangemat lahust peab olema grammi ja lahjemat lahust grammi.

Seotud sisu

Jäta meelde

(0; 1)
(–∞; 0)
(–∞; 1)
(0; ∞)
(1; ∞)
ℝ
∅

Võrratus	Lahendihulk
$\{\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x < 0 \\ x < 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x < 0 \\ x > 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x > 0 \\ x < 1 \end{cases}$

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Võrratuse­süsteemid

Seotud sisu

Võrratuse­süsteemi lahendamine

Võrratusesüsteemi lahendihulk

Näited

Näide 1

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Ahelvõrratus

Ahelvõrratus

Märka

Näide 3

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Võrratuse koostamine

Lineaarvõrratusesüsteemid

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Ahelvõrratused

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Märkus

Vastus

Vastus

Ristküliku pindala

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Jäta meelde

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Võrratusesüsteemid

Võrratusesüsteemi lahendamine