Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid

Tuleta meelde
Absoluutväärtuse definitsioon
Absoluutväärtus võrrandis
Kaks võrdset absoluutväärtust
Veel kaks lahendusvõtet

Seotud sisu

Tuleta meelde

Arvu absoluutväärtus

Mittenegatiivse arvu korral on arvu absoluutväärtus arv ise.

Negatiivse arvu absoluutväärtus on selle vastandarv.

$|a| = \{\begin{cases} a, kui a \geq 0 \\ - a, kui a < 0 \end{cases}$

Märka absoluutväärtust

Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist.

|a| + |b|
|b| – |a|
–|a| – |b|
|a| –|b|

Seotud sisu

Absoluutväärtuse definitsioon

Võrrand |a(x)| = k

Lahendamisel kasutame absoluutväärtuse definitsiooni.

Kui k > 0, lahendame kaks võrrandit:

a(x) = k,
a(x) = –k.

Kui k < 0, siis võrrandil lahendid puuduvad.

Märka avaldise absoluutväärtust

$|a (x)| = \{\begin{cases} a (x), kui a (x) \geq 0 \\ - a (x), kui a (x) < 0 \end{cases}$

Näide 1

Lahendame võrrandi |x² –5x | = 6 absoluutväärtuse definitsiooni järgi.

Lahendus

Lahendame kaks võrrandit.

1) a(x) > 0

x² – 5x = 6

x₁ = –1

x₂ = 6

2) a(x) < 0

x² – 5x = –6

x₃ = 2

x₄ = 3

Vastus

Võrrandil on neli lahendit: –1; 6; 2 ja 3.

Mõtle

|5 – 8x| = 29
x₁ = ja x₂ =
|5x + 12| = 3
x₁ = ja x₂ =
|2x – 3| = 11
x₁ = ja x₂ =

|x² + 6x – 1| = 6

Lahenda kaks võrrandit.

x² + 6x – = 0
x² + 6x + = 0

Vastus

x ∈ {; ; ; }

Seotud sisu

Absoluutväärtus võrrandis

Selgitused

Vaatleme absoluutväärtust sisaldavat võrrandit:

|a(x)| + b(x) = 0.

Selline võrrand on samaväärne kahe süsteemiga, mis koosneb ühest võrratusest ja ühest võrrandist:

$\{\begin{cases} a (x) \geq 0 \\ a (x) + b (x) = 0 \end{cases}$ ja $\{\begin{cases} a (x) < 0 \\ - a (x) + b (x) = 0 \end{cases}$ .

Süsteemi lahendiks on need võrrandi lahendid, mille korral võrratus on tõene. Seega piisab vaid võrrandi lahendamisest, võrratuse tõesust saab kontrollida ilma seda lahendamata.

Esimese ja teise süsteemi lahendid moodustavad kokku esialgse võrrandi lahendihulga.

Märka

Et absoluutväärtus on alati mittenegatiivne, st |a(x)| ≥ 0, siis saab võrrand

|a(x)| + b(x) = 0

omada lahendeid vaid juhul, kui b(x) ≤ 0.

Seega saame veel ühe võimaluse võrrandiga samaväärsete süsteemide kirjutamiseks.

$\{\begin{cases} b (x) \leq 0 \\ a (x) + b (x) = 0 \end{cases}$

ja

$\{\begin{cases} b (x) \leq 0 \\ - a (x) + b (x) = 0 \end{cases}$

Võrrand on samaväärne süsteemidega

$\{\begin{cases} 2 y^{2} + 7 y - 4 \geq 0 \\ 6 y^{2} + 5 y + y^{2} + 7 y - 4 = 16 \end{cases}$ ,
$\{\begin{cases} 2 y^{2} + 7 y - 4 < 0 \\ 6 y^{2} + 5 y - (2 y^{2} + 7 y - 4) = 16 \end{cases}$ .

Lihtsustame ja lahendame süsteemi 1 võrrandi (y₁ < y₂).

y² + y – = 0

y₁ = ja y₂ =

Lahendi y₁ korral on võrratus ja y₂ korral .

Lihtsustame ja lahendame süsteemi 2 võrrandi (y₁ < y₂).

y² – y – = 0

y₁ = ja y₂ =

Lahendi y₁ korral on võrratus ja y₂ korral .

Järelikult saame võrrandi lahenditeks ühe lahendi esimesest süsteemist ja teise teisest süsteemist.

Vastus

Võrrandi lahendid on 1 ja .

Seotud sisu

Kaks võrdset absoluutväärtust

Võrrand |a(x)| = |b(x)|

Lahendada tuleb kaks võrrandit:

a(x) = b(x)
a(x) = –b(x)

Näide 2

Lahendame võrrandi |2u² + u – 10| = |7u –14|.

Lahendus

Võrrand on samaväärne kahe võrrandiga.

1) 2u² + u – 10 = 7u – 14

2u² – 6u + 4 = 0

u² – 3u + 2 = 0

u₁ = 1 ja u₂ = 2

2) 2u² + u – 10 = –(7u – 14)

2u² + 8u – 24 = 0

u² + 4u – 12 = 0

u₃ = –6 ja u₄ = 2

Vastus

Võrrandil on kolm erinevat lahendit: u₁ = 1, u₂ = 2 ja u₃ = –6.

Mõtle

|x – 3| = |9 – 2x|

x – 3 = 9 – 2x
x – 3 = –9 + 2x

Vastus

Võrrandi lahendid on

x₁ = ja x₂ = .

|x² – 2x| = |3x – 6|

x² – 2x = 3x – 6
x² – 2x = –(3x – 6)

Vastus

Võrrandil on kolm erinevat lahendit:

x₁ = , x₂ = ja x₃ = .

Seotud sisu

Veel kaks lahendusvõtet

2x² + 7x + 26 – |15x + 28| – 2|x + 5| = 0

Lahendus

Absoluutväärtuse märgi all on lineaaravaldised nullkohtadega

x₁ = $- \frac{28}{15}$ ja x₂ = .

Märgi nullkohad arvteljele, mis jaotub kolmeks intervalliks.

$- \frac{28}{15}$
0
–5
5
x < –5
–5 ≤ x < $- \frac{28}{15}$
x ≥ $- \frac{28}{15}$

Kirjutame intervallidele vastavad süsteemid ja lihtsustame võrrandid.

Lihtsustamine

I intervallis on mõlemad absoluutväärtused negatiivsed. Võrrand saab kuju
2x² + 7x + 26 + 15x + 28 + 2(x + 5) = 0.
II intervallis on 1. absoluutväärtus negatiivne ja 2. positiivne. Võrrand saab kuju
2x² + 7x + 26 + 15x + 28 – 2(x + 5) = 0.
III intervallis on mõlemad absoluutväärtused positiivsed. Võrrand saab kuju
2x2 + 7x + 26 – (15x + 28) – 2(x + 5) = 0.

I intervall $\{\begin{cases} x < - 5 \\ x^{2} + 12 x + 32 = 0 \end{cases}$

x₁ =

x₂ =

II intervall

$\{\begin{cases} - 5 \leq x < - \frac{28}{15} \\ x^{2} - 3 x + 4 = 0 \end{cases}$

x ∈ ∅

III intervall

$\{\begin{cases} x \geq - \frac{28}{15} \\ x^{2} - 5 x - 6 = 0 \end{cases}$ x₃ =

x₄ =

Lahend x₂ ei asu antud intervallis ja seega on võrrandil 3 lahendit.

Vastus

Võrrandi lahendid x ∈ {; ; }.

Neli süsteemi

Lahendame võrrandi

2u² – |u – 1| = |u² – 3u – 5| + u – 6.

Lahendus

Kirjutame neli süsteemi, millega antud võrrand on samaväärne.

Esimene süsteem

$\{\begin{cases} u - 1 \geq 0 \\ u^{2} - 3 u - 5 \geq 0 \\ u^{2} + u + 12 = 0 \end{cases}$

Süsteemi võrrandi saame võrrandi

2u² –(u – 1) = u² – 3u – 5 + u – 6

lihtsustamisel.

u ∈ ∅

Teine süsteem

$\{\begin{cases} u - 1 \geq 0 \\ u^{2} - 3 u - 5 < 0 \\ 3 u^{2} - 5 u + 2 = 0 \end{cases}$

Süsteemi võrrandi saame võrrandi

2u² –(u – 1) = –(u² – 3u – 5) + u – 6

lihtsustamisel.

u₁ = $\frac{2}{3}$ ja u₂ = 1

Lahend u₁ ei rahulda võrratusi.

Kolmas süsteem

$\{\begin{cases} u - 1 < 0 \\ u^{2} - 3 u - 5 \geq 0 \\ u^{2} + 3 u + 10 = 0 \end{cases}$

Süsteemi võrrandi saame võrrandi

2u² + u – 1 = u² – 3u – 5 + u – 6

lihtsustamisel.

u ∈ ∅

Neljas süsteem

Süsteemi võrrandi saame võrrandi

$\{\begin{cases} u - 1 < 0 \\ u^{2} - 3 u - 5 < 0 \\ u^{2} + u = 0 \end{cases}$

2u² + u – 1 = –(u² – 3u – 5) + u – 6

lihtsustamisel.

u₃ = 0 ja u₄ = 1

Mõlemad lahendid rahuldavad võrratusi.

Saadud lahendeid saab kontrollida.

Võrrandi lahendid on

u₁ = ja u₂ = .

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Absoluutväärtuse definitsioon

|x² + 2x –3| = 5

Võrrandi lahendid:

x₁ = ja x₂ = .

Võrrand, mis ei lahendu:

x² + 2x + = 0.

|x² – 6x| = 5

Täisarvulised lahendid:

x₁ = ja x₂ = .

Irratsionaalsed lahendid:

x₃ =– $\sqrt{}$ ja

x₄ = + $\sqrt{}$ .

|x + 1| = 4 + 2x

Kui (x + 1) > 0, siis x₁ = .

Kui (x + 1) < 0,
siis x₂ = – $\frac{}{}$ .

Võrrandi lahendiks sobib vaid .

Ülesandele vastav võrrand on

|x – 3| = 3|2x – 1|
3|x – 3| = |2x – 1|

Võrrandil on kaks lahendit, mis mõlemad sobivad.

Vastus

x₁ = ja x₂ = $\frac{}{}$ .

Kaks absoluutväärtust võrrandis

|x – 3| = |4 – x|
x =
|6 + 5y| = |5y + 4|
y =
|z – 2| = 3 + |5 + z|
z =

|x – 2| + |2x + 4| = 7
x₁ = ja x₂ =
|2y – 4| = 5 +|y + 1|
y₁ = – $\frac{}{}$ ja y₂ =
|z – 7| + |2z + 5| = 12
z₁ = – $\frac{}{}$ ja z₂ =

|x² + 2x – 3| = |x + 3|

$\{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \\ x + 3 \geq 0 \end{cases}$

Lahendada tuleb ruutvõrrand

x² = 0.

x₁ =

x₂ =

$\{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases}$

Lahendada tuleb ruutvõrrand

x² = 0.

x₃ =

x₄ =

$\{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3 < 0 \\ x + 3 \geq 0 \end{cases}$

Lahendada tuleb ruutvõrrand

x² = 0.

x₅ =

x₆ =

$\{\begin{cases} x^{2} + 2 x - 3 < 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases}$

Lahendada tuleb ruutvõrrand

x² = 0.

x₇ =

x₈ =

Vastus

Võrrandi lahendid kasvavas järjekorras

x ∈ {; ; }.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Absoluut­väärtust sisaldavad võrrandid

Seotud sisu

Tuleta meelde

Arvu absoluutväärtus

Märka absoluutväärtust

Seotud sisu

Absoluutväärtuse definitsioon

Võrrand |a(x)| = k

Märka avaldise absoluutväärtust

Näide 1

Lahendus

Vastus

Mõtle

Vastus

Seotud sisu

Absoluutväärtus võrrandis

Selgitused

Märka

Vastus

Seotud sisu

Kaks võrdset absoluutväärtust

Võrrand |a(x)| = |b(x)|

Näide 2

Lahendus

Vastus

Mõtle

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Veel kaks lahendusvõtet

Lahendus

Lihtsustamine

Vastus

Neli süsteemi

Lahendus

Esimene süsteem

Teine süsteem

Kolmas süsteem

Neljas süsteem

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Absoluutväärtuse definitsioon

Vastus

Kaks absoluutväärtust võrrandis

Vastus

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid