Vektorite skalaarkorrutis

Skalaari mõiste
Skalaarkorrutise omadused
Nurk kahe vektori vahel

Skalaarkorrutis

Märka

Vektoreid saab korrutada mitmel moel. Ühtedel juhtudel on tulemuseks mingi arv, teistel juhtudel aga uus vektor. Me vaatleme siin vektorite skalaarkorrutist, mis seab kahele vektorile vastavusse skalaari ehk arvu. Skalaarkorrutise tehet tähistame punktiga.

Kahe vektori skalaarkorrutiseks on arv, mis võrdub vektorite pikkuste ning nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos φ$

Näide 1

Kuidas skalaarkorrutist interpreteerida.

Antud on kaks ühte punkti rakendatud vektorit $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ . Tõmmates ristlõigu vektori $\vec{b}$ lõpp-punktist vektorini $\vec{a}$ on vektori $\vec{a}$ pikkusest eraldatud lõik x, mis täisnurkse kolmnurga reeglite põhjal avaldub

$\cos φ = \frac{x}{|\vec{b}|}$ ja $x = |\vec{b}| \cos φ .$

Seega kahe vektori skalaarkorrutis on ühe vektori pikkuse ja selle vektori sihile kantud teise vektori pikkuse projektsiooni korrutis.

Olgu

$\vec{a}$ = (8; 0), siis $|\vec{a}|$ = 8,

$\vec{b}$ = (5; 7), siis $|\vec{b}|$ = $\sqrt{74}$ ,

φ = 54,46°, seega $|\vec{b}| \cos φ = 5 .$

Seega $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos φ =$ 8 · 5 = 40.

$\vec{a}$ = (14; 0)

$\vec{b}$ = (6; 6)

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ =

$\vec{a}$ = (6; 0)

$\vec{b}$ = (–6; 12)

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = –

$\vec{a}$ = (10; 6)

$\vec{b}$ = (0; 10)

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ =

Seotud sisu

Skalaarkorrutise omadused

Märka

Omadused põhinevad koosinusfunktsiooni väärtustel sõltuvalt nurgast.

cos 0° = 1

cos 90° = 0

cos 180° = –1

Vektori skalaarkorrutis iseendaga ehk skalaarruut on võrdne selle vektori pikkuse ruuduga.

$\vec{a} \cdot \vec{a} = {|\vec{a}|}^{2}$

Kui vektorid on risti, siis nende skalaarkorrutis on null.

$\vec{a} ⊥ \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Kui vektorid on kollineaarsed, siis
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ samasuunaliste vektorite korral;
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = - |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ vastassuunaliste vektorite korral.

Skalaarkorrutis on positiivne, kui vektorite vahel on teravnurk, ja negatiivne, kui see on nürinurk.

Skalaarkorrutis saab olla null mitte ainult siis, kui cos φ = 0 ehk vektorid on risti, vaid ka siis, kui üks vektoritest on nullvektor. Selleks et me saaksime väita, et kui skalaarkorrutis on null, siis on vektorid risti, tuleb eeldada, et nullvektor on risti mis tahes vektoriga. Seda võibki teha, sest nullvektoril puudub siht ja suund.

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = –27, seega vektorite vahel on
$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = 31, seega vektorite vahel on
$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = 0, seega vektorite vahel on
$\vec{a}$ = (3; 0) ja $\vec{b}$ = (7; 0), vektorite vahel on
ning $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 0.
$\vec{a}$ = (0;–4) ja $\vec{b}$ = (0; 5), vektorite vahel on
ning $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 0.
$\vec{a}$ = (–8; 0) ja $\vec{b}$ = (0; 3), vektorite vahel on
ning $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 0.
$\vec{a}$ = (2; –2) ja $\vec{b}$ = (4; 4), vektorite vahel on
ning $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 0.

Seotud sisu

Skalaarkorrutis vektorite koordinaatide kaudu

Vektorite skalaarkorrutis on võrdne nende vastavate koordinaatide korrutiste summaga.

Kui $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ ja $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}),$ siis

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos φ =$
= a₁b₁ + a₂b₂.

Asetame vektorite algused koordinaatide alguspunkti. Olgu nurgad, mille vektorid moodustavad x-telje positiivse suunaga, vastavalt α ja β. Sel juhul on nurk vektorite vahel φ = β – α.

$O A = |\vec{a}|$ , $O B = |\vec{b}|$ ning vastavalt definitsioonile leiame nurkade a ja b trigonomeetrilised funktsioonid:

$\sin α = \frac{a_{2}}{|\vec{a}|}$ , $\cos α = \frac{a_{1}}{|\vec{a}|}$ , $\sin β = \frac{b_{2}}{|\vec{b}|}$ , $\cos β = \frac{b_{1}}{|\vec{b}|}$ .

cos φ = cos(β – α) = cos αcos β + sin αsin β =

= $\frac{a_{1} b_{1}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ + $\frac{a_{2} b_{2}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ = a₁b₁ + a₂b₂.

Märka

Skalaarkorrutise avaldis vektorite koordinaatide kaudu võimaldab veenduda selle korrutise järgmiste omaduste õigsuses.

Kommutatiivsus

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes

$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b}) = k (\vec{a} \cdot \vec{b})$

Distributiivsus vektorite liitmise suhtes

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

Näited

Näide 2

Olgu $\vec{a} =$ (–2; 5) ja $\vec{b} =$ (4; 3).

Vektorite vahel on teravnurk.
$\vec{a} \cdot \vec{b} =$ –2 · 4 + 5 · 3 = 7
Nurk vektorite vahel on 0°.
$\vec{a} \cdot \vec{a} =$ –2 · (–2) + 5 · 5 = 29
Skalaarkorrutis nullvektoriga.
$\vec{b} \cdot \vec{0} =$ 4 · 0 + 3 · 0 = 0

Näide 3

Kui

$\vec{a} =$ (–2; 1) ja

$\vec{b} =$ (4; –5),

siis skalaarkorrutis

$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = –2 · 4 + 1 · (–5) =–13.

Järeldus

Vektorite vahel on nürinurk, sest skalaarkorrutis on negatiivne.

Näide 4

Kui

$\vec{a} =$ (3; –1) ja

$\vec{b} =$ (3; 9),

siis skalaarkorrutis

$\vec{a} \cdot \vec{b} =$ 3 · 3 + (–1) · 9 = 0.

Järeldus

Kuna skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti.

$\vec{a} =$ (–2; 5) ja $\vec{b} =$ (b; 3)

Vektorid on risti, kui nende skalaarkorrutis on
–2 · b + 5 · 3 = 0, b =
Vektorid on kollineaarsed, kui nende koordinaadid on .
5 · b = , b =

Seotud sisu

Nurk vektorite vahel

Skalaarkorrutise kaudu saab leida vektoritevahelise nurga koosinuse.

Kahe vektori vahelise nurga koosinus võrdub vektorite skalaarkorrutise ja vektorite pikkuste korrutise suhtega.

$\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Märka

Vektorite vahelise nurga leidmisel on kasulik vektorid rakendada samasse punkti.

Nurk tipu A juures on nurk vektorite $\vec{A B}$ ja $\vec{A C}$ vahel.

Tipust A väljuvad vektorid on

$\vec{A B}$ = (; ),

$\vec{A C}$ = (; ).

Nurga leiame skalaarkorrutise valemist.

$\cos φ = \frac{3 \cdot 9 + (- 6) \cdot (- 1)}{\sqrt{} \cdot \sqrt{}}$ ≈ 0,543
φ ≈ °

Vastus

Tipu A juures olev nurk on ligikaudu 57°.

A(4; 2), B(–1; 0), C(5; –3)

Vähim nurk kolmnurgas asub külje vastas. Külgede pikkused on:
AB = $\sqrt{}$ ;
BC = $\sqrt{}$ ja
AC = $\sqrt{}$ .

Lühim külg on .
Nurk tuleb leida vektorite $\vec{}$ ja $\vec{}$ vahel, vektorid on rakendatud punkti .
Nende vektorite skalaarkorrutis on ja pikkuste korrutis $\sqrt{} .$

Vastus

Kolmnurga vähima nurga koosinus
cos φ = .

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

$\vec{s}$ = (–3; 2), $\vec{t}$ = (7; –1)

Nurk $\vec{s}$ ja $\vec{t}$ vahel
$\cos φ = \frac{}{\sqrt{}}$
φ = °

Nurk $\vec{s}$ ja $- \vec{t}$ vahel
$\cos θ = \frac{}{\sqrt{}}$
θ = °

$\vec{s}$ = (1; 5), $\vec{t}$ = (6; 2)

Nurk $\vec{s}$ ja $\vec{t}$ vahel
$\cos φ = \frac{}{\sqrt{}}$
φ = °

$\vec{s}$ = (1; 5), $\vec{t}$ = (6; 2)

Nurk $\vec{s}$ ja $2 \vec{t}$ vahel
$\cos θ = \frac{}{\sqrt{}}$
θ = °

$\vec{s}$ = (2; 9), $\vec{t}$ = (–27; 6)

Nurk $\vec{s}$ ja $\vec{t}$ vahel
$\cos φ = \frac{}{\sqrt{}}$
φ = °

Nurk $- \vec{s}$ ja $- \vec{t}$ vahel
$\cos θ = \frac{}{\sqrt{}}$
θ = °

$\vec{s}$ = (1; 7), $\vec{t}$ = (–7; 5)

Nurk $\vec{s}$ ja $\vec{t}$ vahel
$\cos φ = \frac{}{\sqrt{}}$
φ = °

Nurk $- \vec{s}$ ja $\vec{s} + \vec{t}$ vahel
$\cos θ = \frac{}{\sqrt{}}$
θ = °

a→= (m; 5), b→= (–1; 5)
- $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ , siis m =
- $\vec{a} ∥ \vec{b}$ , siis m =
- $|\vec{a}| = |\vec{b}|,$
  siis
  m₁ = < m₂ =
a→= (2; m), b→= (–2; m)
- $\vec{a} ⊥ \vec{b},$ siis
  m₁ = < m₂ =
- $\vec{a} ∥ \vec{b}$ , siis m =
- $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ , siis m =

Vastus

Rombi teravnurk on °.

Märka

Et tõestada hulknurka, tuleb näidata tema tunnuste kehtimist tema definitsiooni põhjal.

A(–4; 3), B(4; 1), C(2; 10)

Võrdseid haarasid tähistavad samast tipust lähtuvad vektorid.

$\vec{}$ = (; )
$\vec{}$ = (; )

Nurga koosinus on
cos α = $\frac{}{}$ ,
nurk on α = °´.

Punktid B(9; –2) ja C(7; –0,5)
Aluse määrab $\vec{A B}$ = (8; –6)
Kõrguse määrab $\vec{C D}$ = (9; 12)

Et kolmnurk oleks teravnurkne, peab olema teravnurk.

Kontrollida on vaja nurka tipu juures.

Nurga koosinus on
cos α = $\frac{}{\sqrt{}}$ ,
nurk on α = °´.

D(3; –3), E(1; 5), F(5; 6), G(7; –2)

Nelinurk on ristkülik siis, kui (vali loetelust üks, mille näitamisest piisab)

vastasküljed on võrdsed
vastasküljed on paralleelsed
diagonaalid poolitavad üksteist
diagonaalid on võrdsed
nurkade summa on 360°
paar vastasnurki on 90°

$\vec{D E}$ = (; )

$\vec{D G}$ = (; )

$\vec{F G}$ = (; )

$\vec{F E}$ = (; )

$\vec{D E}$ · $\vec{G}$ = $\vec{F G}$ · $\vec{E}$ = + = .

Seotud sisu

Skalaarkorrutis

Kui $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ ja $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos φ =$ a₁b₁ + a₂b₂

Vektoritevahelise täisnurga korral on nende skalaarkorrutis
$\vec{a} \cdot \vec{b}$ .
Vektoritevahelise teravnurga korral on nende skalaarkorrutis
$\vec{a} \cdot \vec{b}$ .
Vektoritevahelise nürinurga korral on nende skalaarkorrutis
$\vec{a} \cdot \vec{b}$ .
Negatiivse skalaarkorrutise korral on vektoritevaheline nurk .
Positiivse skalaarkorrutise korral on vektoritevaheline nurk .
Kui skalaarkorrutis on 0, siis nendevaheline nurk .

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Vektorite skalaar­korrutis

Seotud sisu

Skalaarkorrutis

Märka

Näide 1

Seotud sisu

Skalaarkorrutise omadused

Märka

Seotud sisu

Skalaarkorrutis vektorite koordinaatide kaudu

Märka

Näited

Näide 2

Näide 3

Järeldus

Näide 4

Järeldus

Seotud sisu

Nurk vektorite vahel

Märka

Vastus

Vastus

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Vastus

Märka

Seotud sisu

Skalaarkorrutis

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Vektorite skalaarkorrutis